組合緊相連 拆分互轉(zhuǎn)換
——對(duì)2020年一道“走樣”高考試題剖析

楊偉達(dá)

(廣東省廣州市花都區(qū)第二中學(xué) 510800)

一、題目再現(xiàn)

圖1

(1)證明：PA⊥平面PBC；

(2)求二面角B-PC-E的余弦值.

考點(diǎn)分析本題考查了線(xiàn)面垂直的證明及二面角的大小. 知識(shí)考點(diǎn)覆蓋了立體幾何的核心知識(shí).包括圓錐定義、性質(zhì)、正三棱錐、線(xiàn)面垂直判定及二面角大小等；從思想方法和數(shù)學(xué)素養(yǎng)層面看，需要具備較高的直觀想象、邏輯推理、轉(zhuǎn)化與化歸、運(yùn)算求解、數(shù)形結(jié)合等，同時(shí)還需要學(xué)生穩(wěn)定的心理素質(zhì).

二、思路探究及解答過(guò)程

1.題目已知條件是什么？結(jié)論是什么？并在圖中作標(biāo)注

一個(gè)圖中圖即圓錐里面套著一個(gè)正三棱錐.第(1)問(wèn)是證明線(xiàn)面垂直；第(2)問(wèn)是求二面角大小.本題涉及圓錐、正三棱錐、圓內(nèi)接等邊三角形、圓錐母線(xiàn)與圓直徑相等、圓錐和三棱錐高的數(shù)量關(guān)系，分別標(biāo)注于幾何體中.

2.常見(jiàn)相關(guān)類(lèi)型題目及解題思路

有關(guān)線(xiàn)面垂直的判定定理其實(shí)就是在平面內(nèi)找兩條相交垂線(xiàn)，關(guān)鍵是證明線(xiàn)線(xiàn)垂直；有關(guān)求二面角大小常見(jiàn)方法是建立空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)運(yùn)算求法向量，用數(shù)量積求解即可，這是教師常見(jiàn)的固化思維.

3.思維障礙

觀察圖形，本題線(xiàn)條比較多，容易產(chǎn)生錯(cuò)覺(jué)，不少學(xué)生比較陌生，圖形轉(zhuǎn)換困難.原因是不會(huì)利用圖形轉(zhuǎn)換，導(dǎo)致線(xiàn)線(xiàn)垂直沒(méi)有經(jīng)過(guò)詳細(xì)的推理證明，沒(méi)有求出相關(guān)數(shù)值，也沒(méi)有勾股定理的身影，從而不少學(xué)生想當(dāng)然認(rèn)為空間中兩條直線(xiàn)垂直；其次第二問(wèn)需要建立空間直角坐標(biāo)系時(shí)，點(diǎn)P，B，C，E的坐標(biāo)很關(guān)鍵、求法向量運(yùn)算容易出錯(cuò).

分析解決此問(wèn)題，最好的辦法就是對(duì)幾何體分割，拆分成圓錐和正三棱錐.第(1)問(wèn)：幾何體之間要進(jìn)行圖形交互轉(zhuǎn)換，分別求出各元素的值，利用勾股定理即可證明PA⊥PC，PA⊥PB，進(jìn)而得證；第(2)問(wèn)：根據(jù)題目的條件，選擇適當(dāng)?shù)膞軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面PBC及平面PCE的法向量，利用向量的數(shù)量積公式計(jì)算即可.

圖2

三、解題后反思

在教學(xué)中，立體幾何試題一直被認(rèn)為必得分題！圍繞平行、垂直的高考題歷來(lái)根深蒂固，但是從來(lái)沒(méi)有出現(xiàn)一模一樣的高考題！“?？汲Ｐ?、年年考年年新”是高考題的顯著特點(diǎn)！如何圍繞平行、垂直做文章，如何走出這種固有思維？一直是許多教育工作者的期待！也是命題專(zhuān)家的良苦用心！而今年這種“走樣”高考題很接地氣，給師生一種“傳統(tǒng)而富有新意”的感覺(jué).對(duì)不少考生來(lái)說(shuō)：“熟悉而不陌生、新穎而不陳舊、容易而難滿(mǎn)分”.

走樣之一考查內(nèi)容不一樣.圖中圖，傳統(tǒng)中有新意.傳統(tǒng)的是：熟悉的背景(圓錐和正三棱錐)，試題設(shè)問(wèn)部分沒(méi)有變化.第一問(wèn)論證部分，強(qiáng)調(diào)邏輯證明，突顯邏輯推理；第二問(wèn)求值部分，強(qiáng)調(diào)空間向量，突顯運(yùn)算求解.新意在于圖中圖，像這種圓錐套正三棱錐的幾何體往往很少見(jiàn)到.考查圓錐的內(nèi)容不一樣，以往考查往往專(zhuān)注于考查圓錐的體積、面積、三視圖、展開(kāi)圖，而這次考查了圓錐的定義、性質(zhì)(柱垂直于底面，圓錐母線(xiàn)都相等)，來(lái)自圓錐最原始的概念、最基本的老祖宗.這是命題專(zhuān)家命制幾何試題的初心和使命，也是一次突破和創(chuàng)新.簡(jiǎn)單而不復(fù)雜，再次見(jiàn)證幾何的味道！

走樣之二考查題型不一樣.按照往年的慣例，組合體一般分布在選擇題或填空題中.而今年出人意料的是：這次組合體出現(xiàn)在解答題中；其次考查組合體內(nèi)容也不同，按照以往經(jīng)驗(yàn)，與球有關(guān)的組合體出現(xiàn)的概率比較常見(jiàn)，或者多見(jiàn)于與柱體有關(guān)的組合體，而這次圓錐里面套著正三棱錐實(shí)屬不多見(jiàn)，圖形常見(jiàn)而新穎，它們都藴含著特殊圖形.如直角三角形及等邊三角形.

走樣之三直觀視覺(jué)不一樣.注重幾何基礎(chǔ)，突顯直觀想象.所謂幾何直觀就是依托圖形進(jìn)行數(shù)學(xué)思考和想象，其實(shí)就是一種通過(guò)圖形所展開(kāi)的想象能力.它往往需要邏輯支撐，把看到的與學(xué)到的結(jié)合起來(lái)，通過(guò)思考、想象，猜想出一些可能的結(jié)論和論證思路.與往年高考立體幾何試題不同的是，今年高考立體幾何題是組合體，圖中圖、線(xiàn)條多，涉及元素復(fù)雜，容易造成“眼花”，這是命題專(zhuān)家們考查學(xué)生在幾何直觀素養(yǎng)方面的一大杰作.為避免看走眼，產(chǎn)生圖形錯(cuò)覺(jué)，最可行的辦法最好就是分割！分拆成圓錐和正三棱錐.比對(duì)兩個(gè)圖形，逐一找出相同的量和不同的量，分別算出各自所需的值，最終還原到組合體中.下面是對(duì)今年高考立體幾何試題分割后的圖形比對(duì).

注重觀察比對(duì)，突顯轉(zhuǎn)化和化歸.通過(guò)圖3觀察，比對(duì)圖形，在三個(gè)圖形之間交互轉(zhuǎn)換，以便尋找相同元素，區(qū)別出不同元素，逐一計(jì)算并標(biāo)注，得出所需的數(shù)值，最終還原到組合體中，達(dá)到快速解題.

圖3

當(dāng)前，在大力倡導(dǎo)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的背景下，試題的背景或形式發(fā)生改變，而主心骨并沒(méi)有變！所以教師在教學(xué)中如何抓住主心骨？讓學(xué)生會(huì)思考，會(huì)解題，解對(duì)題！這將引領(lǐng)我們向更深層次的思考，從而更好地提高教學(xué)質(zhì)量.