王春暉，孫朝陽(yáng)，郭祥如，魏云燦，蔡 旺

1) 北京科技大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院,北京 100083 2) 北京科技大學(xué)金屬輕量化成形制造北京市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,北京 100083 3) 北京科技大學(xué)順德研究生院,佛山 528000 4) 天津理工大學(xué)天津市先進(jìn)機(jī)電系統(tǒng)設(shè)計(jì)與智能控制重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,天津 300384

隨著以傳感器和激勵(lì)器為代表的微機(jī)械微電子元器件的廣泛應(yīng)用和發(fā)展，亞微米尺度晶體材料表現(xiàn)出明顯區(qū)別于宏觀尺度材料的力學(xué)行為[1?2]，如尺寸效應(yīng)[3?5]、時(shí)空不連續(xù)性[6?7]以及應(yīng)變率敏感性[8?9].為了評(píng)估并預(yù)測(cè)亞微米尺度晶體元器件在加工和服役中的性能，需要搭建起反常力學(xué)響應(yīng)與微結(jié)構(gòu)演化的橋梁，分析其在不同加載方式和應(yīng)變率下的力學(xué)響應(yīng)和位錯(cuò)機(jī)制.

實(shí)驗(yàn)研究表明，單向壓縮的亞微米尺度單晶在不同加載方式下呈現(xiàn)顯著的時(shí)空不連續(xù)性：在力加載時(shí)，應(yīng)力?應(yīng)變曲線呈現(xiàn)臺(tái)階狀；在位移加載時(shí)，應(yīng)力?應(yīng)變曲線呈現(xiàn)鋸齒狀.離散位錯(cuò)則以類似“雪崩”的方式貢獻(xiàn)塑性應(yīng)變，在晶體表面形成很多滑移帶和滑移線[10?11].Papanikolaou 等[12]和Maa?等[13]通過(guò)實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)了非常規(guī)的準(zhǔn)周期性雪崩式應(yīng)變爆發(fā).Csikor 等[14]通過(guò)三維位錯(cuò)動(dòng)力學(xué)（Three-dimensional discrete dislocation dynamics,3D?DDD）模擬和相應(yīng)變形行為的統(tǒng)計(jì)分析，確定了位錯(cuò)雪崩過(guò)程中應(yīng)變變化的分布，并建立了其對(duì)微晶尺寸的依賴關(guān)系.上述研究揭示了發(fā)生應(yīng)變突增或者應(yīng)力陡降的內(nèi)在原因，并基于模型和理論表征其規(guī)律性，然而未分析加載方式對(duì)間歇性行為的影響.Cui 等[15?16]在3D?DDD 模擬中通過(guò)調(diào)整外部加載方式，發(fā)現(xiàn)單晶銅微柱的力學(xué)行為從力控制下的應(yīng)變爆發(fā)轉(zhuǎn)變到位移控制下的準(zhǔn)周期振蕩.上述工作尚未分析不同加載方式下力學(xué)特征轉(zhuǎn)變的位錯(cuò)機(jī)理.

在類似碰撞和沖擊的高應(yīng)變率服役環(huán)境中，亞微米單晶銅應(yīng)變率相關(guān)的位錯(cuò)基動(dòng)態(tài)變形機(jī)制已成為重要的研究方向[17?18].Jennings 等[19]通過(guò)實(shí)驗(yàn)研究納米單晶銅在不同應(yīng)變率下的拉伸和壓縮行為，發(fā)現(xiàn)了流動(dòng)應(yīng)力的應(yīng)變率敏感性隨著晶體尺寸的減小和應(yīng)變率的上升出現(xiàn)轉(zhuǎn)變，其原理被認(rèn)為是位錯(cuò)機(jī)制從單臂位錯(cuò)源增殖變化到表面形核.Zheng 等[20]在傳統(tǒng)二維離散位錯(cuò)動(dòng)力學(xué)（Twodimensional discrete dislocation dynamics,2D?DDD）模型中引入熱激活位錯(cuò)逃逸機(jī)制，分析了應(yīng)力松弛和蠕變過(guò)程中鈦合金的應(yīng)變率敏感性行為.然而，上述研究?jī)H僅聚焦納米尺度晶體和低應(yīng)變率下變形行為.郭祥如等[21]基于3D?DDD 分析單晶鎳壓縮變形過(guò)程中流動(dòng)應(yīng)力和變形機(jī)制的應(yīng)變率效應(yīng)，揭示了更高應(yīng)變率下有效應(yīng)力代替位錯(cuò)源激活應(yīng)力成為流動(dòng)應(yīng)力的主要部分這一機(jī)理.Agnihotri 與Van der Giessen [22]的多晶銅拉伸變形的工作也表達(dá)相同的觀點(diǎn)，但是沒(méi)有基于理論解析的具體量化分析.

傳統(tǒng)的連續(xù)介質(zhì)力學(xué)理論缺乏材料的內(nèi)稟長(zhǎng)度參數(shù)，無(wú)法描述亞微米尺度位錯(cuò)形核、運(yùn)動(dòng)、湮滅等一系列演化反應(yīng)[23]，為了簡(jiǎn)化計(jì)算模型，提高處理晶體材料的計(jì)算效率，本文主要采用2D?DDD 模型來(lái)研究單晶銅不同加載方式和應(yīng)變率的塑性流動(dòng)問(wèn)題.通過(guò)與微壓縮的位移加載實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)照，驗(yàn)證了模型的可行性.在此基礎(chǔ)上，將加載方式與位錯(cuò)演化聯(lián)系起來(lái)，解釋了不同加載方式對(duì)應(yīng)的特征應(yīng)力?應(yīng)變曲線，揭示了高應(yīng)變率對(duì)單晶銅位錯(cuò)演化和屈服應(yīng)力的影響，確定了應(yīng)變率敏感性行為轉(zhuǎn)變機(jī)制.

1 單晶銅二維離散位錯(cuò)動(dòng)力學(xué)模型

1.1 二維離散位錯(cuò)動(dòng)力學(xué)框架

離散位錯(cuò)動(dòng)力學(xué)是以晶體材料彈性連續(xù)介質(zhì)中線缺陷-位錯(cuò)為研究對(duì)象，通過(guò)對(duì)滑移系中大量位錯(cuò)的集群運(yùn)動(dòng)和相互反應(yīng)的顯式表達(dá)，描述塑性變形特征的微尺度力學(xué)建模方法.2D?DDD 模型，如圖1（a），忽略三維位錯(cuò)交割和螺位錯(cuò)交滑移等交互作用機(jī)制，將三維位錯(cuò)線投影到二維平面上，簡(jiǎn)化為平面模型中一個(gè)伏爾特拉（Volterra）奇異點(diǎn)，通過(guò)關(guān)注刃型位錯(cuò)點(diǎn)的受力、運(yùn)動(dòng)和演化，研究微尺度晶體塑性變形行為.

圖1 位錯(cuò)的二維簡(jiǎn)化及其應(yīng)力場(chǎng).（a）位錯(cuò)線在二維平面的投影示意圖；（b）水平方向和（c）傾斜45°方向正刃型位錯(cuò)剪切應(yīng)力場(chǎng)Fig.1 Two dimensional simplification of and stress field of dislocation:(a) planar representation of the dislocation line on a 2D plane;stress field (σxy)around a positive edge dislocation in the (b) horizontal direction and (c) tilt direction with an angle of 45°

晶體中位錯(cuò)受到的應(yīng)力來(lái)源主要是外部作用和模擬區(qū)域內(nèi)位錯(cuò)間的相互作用.根據(jù)施密特（Schmid）定律，計(jì)算外部載荷在滑移系上對(duì)位錯(cuò)的分解剪切應(yīng)力[24]，位錯(cuò)間的相互作用是通過(guò)位錯(cuò)彈性應(yīng)力場(chǎng)起作用，2D?DDD 中刃型位錯(cuò)在無(wú)限大介質(zhì)中的應(yīng)力場(chǎng)公式如下[25?26]：

其中，σxx,σyy,σxy分別是位錯(cuò)在x方向、y方向的正應(yīng)力以及剪切應(yīng)力，Pa；ν是泊松比，量綱為一；（x,y）是模擬區(qū)域任意點(diǎn)相對(duì)位錯(cuò)的位置，（m，m）；G和b分別為晶體材料的剪切模量(Pa)和位錯(cuò)的伯格斯（Burgers）矢量的模，m.由于位錯(cuò)間的相互作用的計(jì)算基于水平且平行的兩滑移面，在傾轉(zhuǎn)滑移系下應(yīng)力場(chǎng)的計(jì)算需要考慮坐標(biāo)系x?y和滑移坐標(biāo)系x′?y′兩個(gè)系統(tǒng)應(yīng)力張量的變換，具體公式如下[26]：

其中，σ為坐標(biāo)系x?y下的應(yīng)力張量，σ′為滑移坐標(biāo)系x′?y′下的應(yīng)力張量，R(α)為產(chǎn)生應(yīng)力場(chǎng)的位錯(cuò)所在滑移系α的坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)矩陣：

其中，φα是滑移系α中x′方向相對(duì)x方向的傾斜角度，（°）；應(yīng)力場(chǎng)旋轉(zhuǎn)結(jié)果如圖1（b）和圖1（c）所示.圖中，n代表位錯(cuò)環(huán)所在滑移面的單位法向，b表示位錯(cuò)的Burgers 矢量.

由于位錯(cuò)與邊界以及位錯(cuò)之間強(qiáng)相互作用，位錯(cuò)結(jié)構(gòu)熱力學(xué)不平衡態(tài)驅(qū)動(dòng)位錯(cuò)沿滑移系運(yùn)動(dòng)并重新分布，基于最小勢(shì)能原理，位錯(cuò)運(yùn)動(dòng)的熱力學(xué)構(gòu)型力，即位錯(cuò)皮奇?凱勒（Peach?Koehler）力為：

其中，ni表示位錯(cuò)i所在滑移面單位法向，bi表示位錯(cuò)i的Burgers 矢量，σapp表示外部作用應(yīng)力張量，求和項(xiàng)表示所有N個(gè)位錯(cuò)j對(duì)位錯(cuò)i的長(zhǎng)程作用應(yīng)力張量.

當(dāng)施加在位錯(cuò)上的驅(qū)動(dòng)力大于阻礙力時(shí)，位錯(cuò)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，主要包括滑移和攀移.位錯(cuò)滑移是連續(xù)彈性介質(zhì)場(chǎng)中位錯(cuò)沿晶體特定滑移系運(yùn)動(dòng)的保守運(yùn)動(dòng)，而位錯(cuò)攀移是在垂直滑移面通過(guò)吸收和釋放點(diǎn)缺陷實(shí)現(xiàn)位錯(cuò)擴(kuò)散運(yùn)動(dòng)的非保守運(yùn)動(dòng)[27].通常在非高溫變形環(huán)境下，位錯(cuò)運(yùn)動(dòng)形式以滑移為主.在Peach?Koehler 力作用下，考慮到位錯(cuò)運(yùn)動(dòng)處于過(guò)阻尼狀態(tài)，每個(gè)位錯(cuò)段的速度由作用在其上的總力和黏滯阻尼系數(shù)決定，即位錯(cuò)i的滑移速度表示為[24,28]：

其中，vi是位錯(cuò)i的滑移速度，m·s?1；B為位錯(cuò)滑移的黏性阻尼系數(shù)，N·s·m?1；fi為作用在位錯(cuò)i上的Peach?Koehler 力.vˉ是位錯(cuò)平均速度，m·s?1；vs為剪切波速，m·s?1.當(dāng)位錯(cuò)運(yùn)動(dòng)速度較低時(shí)，采用靜態(tài)黏性阻尼系數(shù)B0，N·s·m?1.

經(jīng)歷劇烈塑性變形后的金屬晶體，其位錯(cuò)密度可增加4～5 個(gè)數(shù)量級(jí)，說(shuō)明晶體在塑性變形過(guò)程中必然發(fā)生著位錯(cuò)增殖.其中，弗蘭克?瑞德（Frank?Read）位錯(cuò)源形核是內(nèi)部位錯(cuò)增殖的一種主要方式.2D?DDD 方法將位錯(cuò)源簡(jiǎn)化和近似成滑移面上一點(diǎn)，當(dāng)作用在點(diǎn)源上的分切應(yīng)力τ大于臨界形核強(qiáng)度τnuc并保持臨界發(fā)育時(shí)間tnuc后，一對(duì)帶有異號(hào)Burgers 矢量位錯(cuò)偶極子形核在位錯(cuò)源點(diǎn)兩側(cè)，其分布極性與分切應(yīng)力方向?qū)?yīng).為使位錯(cuò)源開(kāi)動(dòng)，作用在位錯(cuò)源的分解切應(yīng)力需克服位錯(cuò)線彎曲時(shí)的線張力.根據(jù)奧羅萬(wàn)（Orowan）應(yīng)力判據(jù)[21]，位錯(cuò)源靜態(tài)平衡破壞需要的臨界切應(yīng)力為：

其中，β為一個(gè)量化參數(shù)，對(duì)Frank?Read 源，β≈1，l0為位錯(cuò)源初始長(zhǎng)度，m；與晶體尺寸有關(guān).l0滿足一個(gè)均值和標(biāo)準(zhǔn)差Δl0的高斯分布，以確保位錯(cuò)源強(qiáng)度在一定范圍內(nèi)變動(dòng).

位錯(cuò)臨界形核時(shí)間為[22,29]：

其中，η1是描述位錯(cuò)從半橢圓到完全位錯(cuò)環(huán)的增強(qiáng)因子，η2為與黏性阻尼系數(shù)B有關(guān)的常數(shù)，Pa·s.

一對(duì)偶極子的臨界形核距離Lnuc由臨界形核應(yīng)力確定[25]，從而確保當(dāng)一對(duì)位錯(cuò)偶極子產(chǎn)生，作用偶極子上外部分解切應(yīng)力正好與偶極子之的間互相吸引應(yīng)力平衡：

當(dāng)同一滑移面中一對(duì)異號(hào)位錯(cuò)互相吸引并靠近會(huì)發(fā)生湮滅，在2D?DDD 模型中，設(shè)置當(dāng)正負(fù)位錯(cuò)相互距離小于臨界距離Lanni，位錯(cuò)發(fā)生湮滅.Lanni是材料相關(guān)參數(shù)，m；在計(jì)算中一般取Lanni=6b[30].

1.2 離散位錯(cuò)動(dòng)力學(xué)模型的數(shù)值實(shí)現(xiàn)

本研究中離散位錯(cuò)動(dòng)力學(xué)模型計(jì)算流程如圖2 所示，采用前向歐拉積分算法以時(shí)間增量步的方式進(jìn)行.在每個(gè)增量步中，需要的計(jì)算主要是：①確定當(dāng)前位錯(cuò)的構(gòu)型、應(yīng)力和應(yīng)變狀態(tài)；②根據(jù)位錯(cuò)所處應(yīng)力狀態(tài)計(jì)算位錯(cuò)運(yùn)動(dòng)Peach?Koehler 力；③根據(jù)式（7）～（11）的本構(gòu)法則處理位錯(cuò)運(yùn)動(dòng)、Frank?Read 源形核、異號(hào)湮滅等短程位錯(cuò)構(gòu)型的變化.為了提高計(jì)算效率，節(jié)約計(jì)算成本，根據(jù)應(yīng)變率和計(jì)算總應(yīng)變確定固定時(shí)間步增量.同時(shí)，為了考慮實(shí)際情況位錯(cuò)不會(huì)超過(guò)前面位錯(cuò)的特點(diǎn)，計(jì)算中需要對(duì)相鄰位錯(cuò)判斷，若當(dāng)前時(shí)間步內(nèi)發(fā)生位錯(cuò)越過(guò)現(xiàn)象則需要對(duì)位錯(cuò)速度進(jìn)行修正.本文主程序基于Matlab 平臺(tái)編寫，使用C 語(yǔ)言編寫的mex 子程序計(jì)算位錯(cuò)間相互作用.

圖2 2D?DDD 模型的模擬流程Fig.2 Flow chart of the 2D?DDD model

小應(yīng)變假設(shè)下的2D?DDD 模型，忽略了試樣有限變形誘導(dǎo)晶格轉(zhuǎn)動(dòng)和形狀改變對(duì)滑移動(dòng)量平衡的影響，因此計(jì)算過(guò)程中應(yīng)變一般不超過(guò)0.01.總塑性應(yīng)變率是所有滑移系位錯(cuò)運(yùn)動(dòng)的貢獻(xiàn)之和：

其中，ρ(α)為滑移系α上位錯(cuò)密度，m?2；vˉ(α)為滑移系α上位錯(cuò)平均速度，m·s?1.

1.3 單晶銅塑性變形過(guò)程2D?DDD 模型的建立

為了分析不同加載方式和應(yīng)變率對(duì)位錯(cuò)運(yùn)動(dòng)的影響，并且驗(yàn)證2D?DDD 模型的準(zhǔn)確性，本文以崔一南建立的3D?DDD 模型[15?16]為參照，并與之進(jìn)行對(duì)比并建立2D?DDD 模型.初始化設(shè)置主要包含材料參數(shù)和模型計(jì)算參數(shù)初始化，以及幾何構(gòu)型初始化兩個(gè)部分.本研究對(duì)象單晶銅具體的模擬參數(shù)如表1 所示.幾何構(gòu)型初始化主要是確定模擬區(qū)域的尺寸、滑移面取向與排列、位錯(cuò)源的位置分布以及邊界條件等方面.

表1 單晶銅2D?DDD 模擬參數(shù)Table 1 Model parameters used in the 2D?DDD model for single crystal copper

如圖3 所示，模擬區(qū)域晶體尺寸為1 μm×3 μm.單晶銅是面心立方（Face?centred cubic,FCC）材料，模擬系統(tǒng)的x軸和y軸分別沿著和[001]方向[31]，考慮到平面應(yīng)變狀態(tài)的3 種主動(dòng)滑移系的相對(duì)夾角近似為{0°,±60°}，由于0°取向的滑移系的Schmid 因子為0，因此忽略0°滑移系，選取的滑移方向分別與x軸成±60°，滑移面間距設(shè)定為150b.模擬平面內(nèi)無(wú)初始位錯(cuò)，位錯(cuò)源隨機(jī)分布在滑移系上，為保證多滑移系變形均勻，兩個(gè)滑移系上的位錯(cuò)源數(shù)目設(shè)置相當(dāng).對(duì)于單晶微柱試樣，模擬區(qū)域的左右邊界視作不可逾越的障礙.為了避免數(shù)值計(jì)算的復(fù)雜性，參考通用的模型簡(jiǎn)化方法和實(shí)驗(yàn)微柱壓縮形態(tài)[31?32]，與左右約束端相交的滑移面在模型中沒(méi)有考慮，而上下邊界對(duì)應(yīng)為微柱的自由表面，位錯(cuò)運(yùn)動(dòng)到上下邊界不僅要計(jì)算位錯(cuò)所受鏡像應(yīng)力還要考慮位錯(cuò)的湮滅.

圖3 單晶銅晶體學(xué)取向及計(jì)算模型.（a）FCC 晶體滑移系取向；（b）壓縮載荷下2D-DDD 計(jì)算模型Fig.3 Crystallographic orientation and calculation model of single crystal copper:(a) slip system orientation for the FCC crystal;(b) the 2D?DDD model under compression

初始化完成后，沿著[001]方向進(jìn)行壓縮加載，以實(shí)現(xiàn)多滑移條件.為對(duì)比不同加載方式的作用效果，分別采用位移加載和力加載方式.位移控制加載時(shí)選擇恒定應(yīng)變率為1000 s?1，根據(jù)胡克定律可將其轉(zhuǎn)變?yōu)橥饬υ鲩L(zhǎng)率 σ˙app：

其中，E*為二維模型在平面應(yīng)變條件下的/楊(氏模)量，Pa；考慮到平面應(yīng)變的情況，E?=E1?ν2，E為一般楊氏模量，Pa；為加載應(yīng)變率，s?1；是塑性應(yīng)變率，s?1.

力控制加載時(shí)，設(shè)定力增加率為一個(gè)恒定值，對(duì)應(yīng)式（14）位移控制加載方式，初始塑性應(yīng)變率為0.在離散位錯(cuò)動(dòng)力學(xué)模擬中，Rao 等[33]提出了一種利用截?cái)嗨苄詰?yīng)變率控制力加載的方式，將其與材料內(nèi)部位錯(cuò)的運(yùn)動(dòng)聯(lián)系起來(lái).即對(duì)位錯(cuò)的運(yùn)動(dòng)設(shè)置一個(gè)塑性應(yīng)變率閾值，當(dāng)位錯(cuò)運(yùn)動(dòng)引起的塑性應(yīng)變率低于該閾值時(shí)，以恒定應(yīng)力速率加載，反之，外加作用應(yīng)力不再增加，即力增加率為0.這種方式需要確定臨界塑性應(yīng)變率和應(yīng)力增量的大小，可能會(huì)影響位錯(cuò)雪崩的大小.本文中利用加權(quán)位錯(cuò)速度的方式[15?16]來(lái)控制應(yīng)力的加載，與塑性應(yīng)變率控制類似，存在一個(gè)加權(quán)位錯(cuò)速度閾值vth，當(dāng)加權(quán)位錯(cuò)速度vw低于該臨界值時(shí)，力加載正常進(jìn)行.反之，當(dāng)位錯(cuò)爆發(fā)式運(yùn)動(dòng)，加權(quán)位錯(cuò)速度vw高于該臨界值時(shí)，應(yīng)力保持恒定不變.位錯(cuò)速度閾值vth和加權(quán)位錯(cuò)速度vw的計(jì)算公式如下：

其中，ρ0為初始位錯(cuò)密度，m?2；這里采用位錯(cuò)源密度表示，li表示位錯(cuò)段i的長(zhǎng)度，m；vi表示位錯(cuò)段i的速度，m·s?1.在2D?DDD 模型中，每個(gè)位錯(cuò)均是等效的無(wú)限長(zhǎng)，加權(quán)位錯(cuò)速度vw即是平均位錯(cuò)速度，m·s?1.

2 模型驗(yàn)證

基于不同加載方式的單晶銅2D?DDD 模型計(jì)算得出力控制和位移控制加載的力學(xué)曲線，如圖4所示.兩種加載方式下，單晶銅的最高應(yīng)力水平均在100～120 MPa 范圍內(nèi)，初始塑性變形應(yīng)力在90 MPa左右，近似與Frank?Read 位錯(cuò)源形核應(yīng)力的均值（99 MPa）對(duì)應(yīng)，說(shuō)明此時(shí)位錯(cuò)開(kāi)始以位錯(cuò)源激活的方式增殖并貢獻(xiàn)塑性應(yīng)變.在經(jīng)歷一段純彈性變形行為后，塑性階段流動(dòng)響應(yīng)都呈現(xiàn)很強(qiáng)的不連續(xù)性，并且這種不連續(xù)的應(yīng)力?應(yīng)變曲線的形狀不同：位移加載時(shí)，應(yīng)力?應(yīng)變曲線呈現(xiàn)準(zhǔn)周期的鋸齒狀；力加載時(shí)，應(yīng)力?應(yīng)變曲線呈現(xiàn)應(yīng)力單調(diào)增加的臺(tái)階狀.這些不連續(xù)性的力學(xué)特征反映為微觀的位錯(cuò)劇烈演化，隨著位錯(cuò)增殖或運(yùn)動(dòng)顯著，真實(shí)的塑性應(yīng)變呈現(xiàn)爆發(fā)式增長(zhǎng).

這種現(xiàn)象已經(jīng)在很多微拉壓實(shí)驗(yàn)和模擬中被發(fā)現(xiàn)[34?35]，通過(guò)與Cui 等[16]3D?DDD 模型中力加載和實(shí)驗(yàn)[36]中位移加載穩(wěn)定流動(dòng)應(yīng)力范圍的對(duì)比，模型預(yù)測(cè)在誤差允許范圍內(nèi)吻合良好，定量化地驗(yàn)證本模型的可靠性.本工作將應(yīng)變率為103s?1時(shí)2D?DDD 的預(yù)測(cè)結(jié)果與實(shí)驗(yàn)的準(zhǔn)靜態(tài)壓縮結(jié)果相對(duì)比，遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于實(shí)驗(yàn)中采用的應(yīng)變率，因?yàn)樵陔x散位錯(cuò)動(dòng)力學(xué)中，應(yīng)變率小于103s?1時(shí)均可認(rèn)為準(zhǔn)靜態(tài)條件，應(yīng)變率可以在一個(gè)很寬范圍并且計(jì)算結(jié)果不再受應(yīng)變率的影響[21].由于單晶銅單軸壓縮實(shí)驗(yàn)的微柱尺寸（800 nm）和3D?DDD 模型尺寸（3000b）小于本模擬尺寸參數(shù)，而且2D?DDD 模擬忽略了位錯(cuò)攀移和交滑移等三維機(jī)制對(duì)塑性變形的影響，因此可能導(dǎo)致模擬結(jié)果相較于實(shí)驗(yàn)和其他模擬流動(dòng)應(yīng)力偏小.

3 結(jié)果和討論

3.1 加載方式對(duì)單晶銅力學(xué)行為的影響

為了對(duì)比兩種加載方式下單晶銅應(yīng)力?應(yīng)變曲線形狀的差異及解釋其內(nèi)在機(jī)理，以上述加載條件為例，單獨(dú)研究發(fā)生一次位錯(cuò)雪崩的情況，如圖5 所示.在力和位移控制加載下，發(fā)生一次位錯(cuò)雪崩事件時(shí)力學(xué)響應(yīng)呈現(xiàn)不同的形式，前者為應(yīng)變的陡增，后者為應(yīng)力的陡降.具體表現(xiàn)為，一次位錯(cuò)雪崩時(shí)，力加載時(shí)的應(yīng)變陡增，對(duì)應(yīng)的應(yīng)變?cè)隽繛?.02%，而應(yīng)力在此時(shí)幾乎無(wú)變化；位移加載時(shí)的應(yīng)力突降，對(duì)應(yīng)的應(yīng)力增量為12.89 MPa，而應(yīng)變?cè)诖藭r(shí)幾乎無(wú)變化.

圖5 不同加載方式下發(fā)生一次位錯(cuò)爆發(fā)的應(yīng)力-應(yīng)變曲線Fig.5 Stress-strain curves of dislocation avalanches under different loading modes

力加載時(shí)，圖6（a）對(duì)比加權(quán)位錯(cuò)速度和應(yīng)力隨應(yīng)變的變化曲線，可以看出，應(yīng)力?應(yīng)變曲線發(fā)生應(yīng)變突增時(shí)，加權(quán)位錯(cuò)速度與位錯(cuò)速度閾值相等.由于外加力的增長(zhǎng)是通過(guò)加權(quán)位錯(cuò)速度來(lái)調(diào)節(jié)，當(dāng)加權(quán)位錯(cuò)速度超過(guò)位錯(cuò)速度閾值時(shí)，恒定速率上升的外加應(yīng)力停止增加，此時(shí)相當(dāng)于保載條件下位錯(cuò)弛豫過(guò)程，位錯(cuò)依靠自組織演化，根據(jù)公式（13），持續(xù)貢獻(xiàn)塑性應(yīng)變，速度抖動(dòng)地下降；當(dāng)加權(quán)位錯(cuò)速度低于位錯(cuò)速度閾值時(shí)，外加應(yīng)力率大于0，應(yīng)力繼續(xù)增加，直至加權(quán)位錯(cuò)速度再次達(dá)到位錯(cuò)速度閾值，以上過(guò)程重復(fù).因此，在一個(gè)完整的位錯(cuò)雪崩階段，外加應(yīng)力保持穩(wěn)定，而塑性應(yīng)變持續(xù)增加，應(yīng)力應(yīng)變響應(yīng)表現(xiàn)為臺(tái)階狀，就出現(xiàn)了應(yīng)變?cè)隽看蠖鴳?yīng)力增量幾乎為0 的現(xiàn)象.

位移加載時(shí)，通過(guò)對(duì)比塑性應(yīng)變率變化曲線以及應(yīng)力?應(yīng)變曲線，如圖6（b），每次應(yīng)力陡降的發(fā)生都出現(xiàn)在塑性應(yīng)變率等于外加應(yīng)變率的時(shí)候.根據(jù)載荷施加公式（14），塑性應(yīng)變率較小且低于加載應(yīng)變率時(shí)，外加應(yīng)力速率大于零，應(yīng)力持續(xù)增加，晶體內(nèi)位錯(cuò)和位錯(cuò)源受力逐漸增大.在滿足臨界形核強(qiáng)度并保持臨界發(fā)育時(shí)間后，位錯(cuò)源激活驅(qū)動(dòng)位錯(cuò)增殖，位錯(cuò)密度逐漸增大，塑性應(yīng)變率隨之上升；當(dāng)塑性應(yīng)變率高于加載應(yīng)變率，應(yīng)力增長(zhǎng)率小于零，外加應(yīng)力下降，位錯(cuò)源的受力不足以繼續(xù)增殖位錯(cuò)，塑性應(yīng)變率隨之下降.直至塑性應(yīng)變率再次低于應(yīng)變率加載率，以上過(guò)程重復(fù).因此，位錯(cuò)源激活誘發(fā)位錯(cuò)雪崩發(fā)生時(shí)，通過(guò)降低外加應(yīng)力的大小以匹配塑性應(yīng)變率和加載應(yīng)變率，就出現(xiàn)了應(yīng)力增量變化大的現(xiàn)象.

圖6 （a）力控制加載下應(yīng)力和加權(quán)位錯(cuò)速度隨應(yīng)變演化；（b）位移控制加載下應(yīng)力和應(yīng)變率隨應(yīng)變演化Fig.6 (a) Evolution of stress and weighted dislocation velocity with strain under stress-controlled mode and (b) evolution of stress and strain rate with strain under strain-controlled mode

對(duì)于應(yīng)力控制的外部載荷，位錯(cuò)運(yùn)動(dòng)相對(duì)速度閾值調(diào)控外加載荷的增加和停止，因此位錯(cuò)雪崩效應(yīng)歸結(jié)于位錯(cuò)速度的隨機(jī)性；而當(dāng)外部約束為位移控制時(shí)，由于位錯(cuò)源對(duì)形核強(qiáng)度和形核時(shí)間的要求，各個(gè)位錯(cuò)源的開(kāi)動(dòng)表現(xiàn)為間歇性，位錯(cuò)雪崩由位錯(cuò)源交替的開(kāi)動(dòng)和停滯主導(dǎo).

3.2 應(yīng)變率對(duì)單晶銅力學(xué)行為的影響

當(dāng)位移加載時(shí)，應(yīng)變率的大小會(huì)影響材料的屈服應(yīng)力.本文利用2D?DDD 模擬，研究不同應(yīng)變率下位錯(cuò)演化對(duì)單晶銅塑性變形的影響.圖7（a）為4 種不同應(yīng)變率（102、103、104和4×104s?1）的應(yīng)力?應(yīng)變曲線，由于模型初始無(wú)位錯(cuò)的設(shè)置，所以不同應(yīng)變率下都經(jīng)歷一個(gè)完整重復(fù)的彈性階段.將0.1%塑性應(yīng)變處設(shè)置為初始屈服點(diǎn)[22]，提取各應(yīng)變率下的屈服應(yīng)力，如圖7（b）所示，屈服應(yīng)力隨應(yīng)變率的增大而增大，呈現(xiàn)典型的正應(yīng)變率敏感性行為.然而高應(yīng)變率（104和4×104s?1）的屈服強(qiáng)度與其他應(yīng)變率相比具有明顯的差別.一些文獻(xiàn)[22,37]也反映了相似的力學(xué)行為，屈服強(qiáng)度的應(yīng)變率關(guān)聯(lián)性被分成兩個(gè)作用域，在應(yīng)變率低于103s?1的第一作用域，屈服強(qiáng)度隨著應(yīng)變率保持著相對(duì)穩(wěn)定，而在更高應(yīng)變率范圍的第二作用域，屈服強(qiáng)度隨應(yīng)變率顯著提高.這兩個(gè)作用域機(jī)制一般被解釋為：在較低應(yīng)變率下位錯(cuò)以熱激活方式越過(guò)障礙，轉(zhuǎn)變?yōu)楦邞?yīng)變率下的位錯(cuò)阻尼運(yùn)動(dòng).然而，這些理論一般適用于討論宏觀塊體或者介觀多晶等晶體內(nèi)位錯(cuò)密度較高的情況[8,22,37].為了分析不同應(yīng)變率下微米單晶力學(xué)行為轉(zhuǎn)變的位錯(cuò)機(jī)理，基于上述的模擬結(jié)果并通過(guò)解析方法進(jìn)行定量分析.

圖7 不同應(yīng)變率下的（a）應(yīng)力?應(yīng)變曲線；（b）屈服應(yīng)力；（c）位錯(cuò)密度?應(yīng)變曲線；（d）組成應(yīng)力Fig.7 Effect of strain rate on the evolution of：(a) stress vs strain;(b) yield stress;(c) dislocation density vs strain;(d) stress composition

圖7（c）展示的是不同應(yīng)變率下位錯(cuò)密度隨應(yīng)變演化曲線，整個(gè)應(yīng)變率范圍單晶銅屈服時(shí)的位錯(cuò)密度都沒(méi)有超過(guò)1013m?2，由位錯(cuò)密度增加的滯后性可以看出，當(dāng)滑移系上分解切應(yīng)力達(dá)到位錯(cuò)源激活強(qiáng)度并經(jīng)歷一定形核時(shí)間后，位錯(cuò)增殖才會(huì)開(kāi)始發(fā)生.在低于103s?1的應(yīng)變率范圍內(nèi)，位錯(cuò)密度隨著應(yīng)變率增加而增加；而在更高應(yīng)變率下，位錯(cuò)密度隨應(yīng)變率的增加而降低，且其演化的波動(dòng)性增大.考慮應(yīng)變率對(duì)位錯(cuò)增殖和位錯(cuò)運(yùn)動(dòng)的作用，位錯(cuò)滑移貢獻(xiàn)的塑性滑移被量化為每個(gè)滑移系上分解剪切應(yīng)變的總和，不同應(yīng)變率下的滑移量分布如圖8 所示.隨著應(yīng)變率的上升，屈服時(shí)單晶銅更多的滑移面被激活，塑性應(yīng)變?cè)诟鱾€(gè)滑移面分布越來(lái)越均勻，說(shuō)明單一滑移面上位錯(cuò)源形核時(shí)間的限制促使其他滑移面位錯(cuò)源的開(kāi)啟，應(yīng)變率的增加對(duì)位錯(cuò)增殖具有顯著的促進(jìn)作用.在103s?1應(yīng)變率以后的滑移面開(kāi)啟量趨于飽和，此時(shí)位錯(cuò)增殖速率不再明顯增加，而高應(yīng)變率下外加作用力增加，位錯(cuò)滑移速度加快導(dǎo)致滑出自由邊界更加容易，晶體內(nèi)位錯(cuò)密度降低，并且間歇的增殖和快速的滑出湮滅也會(huì)導(dǎo)致位錯(cuò)密度演化的波動(dòng)性增大.類似于單晶微柱變形出現(xiàn)尺寸效應(yīng)的“位錯(cuò)匱乏”機(jī)制，即使多數(shù)滑移面的位錯(cuò)源開(kāi)啟，也不能滿足施加的應(yīng)變率.

圖8 不同應(yīng)變率下塑性滑移量分布.（a）102 s?1；（b）103 s?1；（c）104 s?1；（d）4×104 s?1Fig.8 Plastic slip distribution resulting from the strain rates at:(a) 102 s?1;(b) 103 s?1;(c) 104 s?1;(d) 4×104 s?1

本文進(jìn)一步分析了屈服時(shí)位錯(cuò)流動(dòng)應(yīng)力的組成，以確定不同應(yīng)變率下單晶銅力學(xué)行為.單晶銅流動(dòng)應(yīng)力τ等于位錯(cuò)運(yùn)動(dòng)的熱應(yīng)力τth和非熱應(yīng)力τa之和[38]：

其中，τth是施加在位錯(cuò)上的熱應(yīng)力項(xiàng)，Pa，控制位錯(cuò)的熱激活行為，使位錯(cuò)借助自身的能量起伏，越過(guò)包括派爾斯（Peierls）障礙等能壘的過(guò)程；τa是作用在位錯(cuò)上的非熱應(yīng)力項(xiàng)，Pa，它的來(lái)源是位錯(cuò)間的長(zhǎng)程彈性相互作用力和位錯(cuò)源形核相關(guān)應(yīng)力.對(duì)于面心立方晶體，在正常溫度和應(yīng)變率條件下，熱應(yīng)力項(xiàng)τth來(lái)源主要是Peierls 障礙，大約為0.5 MPa，位錯(cuò)很容易克服該障礙.因此，熱應(yīng)力項(xiàng)τth的影響可以被忽略，流動(dòng)應(yīng)力τ主要由非熱應(yīng)力項(xiàng)τa提供.根據(jù)泰勒（Taylor）硬化法則和公式（9），非熱應(yīng)力項(xiàng)τa可以表示為[39-40]：

其中，第一項(xiàng)為位錯(cuò)密度相關(guān)的相互作用力，k為量綱一常數(shù)，一般取值為0.5；ρ是位錯(cuò)密度，m?2；第二項(xiàng)為基于Orowan 應(yīng)力判據(jù)的位錯(cuò)源激活應(yīng)力；第三項(xiàng)是位錯(cuò)增殖應(yīng)力，與位錯(cuò)形核時(shí)間相關(guān)，是加載應(yīng)變率，m·s?1；m為Schmid 因子.對(duì)于位錯(cuò)增殖應(yīng)力項(xiàng)[22]，一旦外加應(yīng)力滿足第二項(xiàng)的位錯(cuò)源形核強(qiáng)度，被激活的位錯(cuò)源需要一段形核時(shí)間tnuc去產(chǎn)生一對(duì)偶極子才能完成一個(gè)完整的位錯(cuò)增殖過(guò)程.在此時(shí)間間隔內(nèi)，彈性應(yīng)變?cè)黾?，因而貢獻(xiàn)了流動(dòng)應(yīng)力的上升.

基于解析表達(dá)式（18）和位錯(cuò)密度參數(shù)，不同應(yīng)變率下單晶銅屈服應(yīng)力組成如圖7（d）所示.解析表達(dá)式計(jì)算得到的屈服應(yīng)力與圖7（b）中2D?DDD 模擬的結(jié)果吻合較好.其中，102～104s?1應(yīng)變率下模擬屈服應(yīng)力略低于解析計(jì)算值，這是因?yàn)榻馕霰磉_(dá)式的位錯(cuò)源激活應(yīng)力以初始位錯(cuò)源長(zhǎng)度均值500 nm 計(jì)算的，為保證各滑移面上位錯(cuò)源不會(huì)同時(shí)激活，位錯(cuò)源長(zhǎng)度滿足一個(gè)高斯分布，因而初始激活的位錯(cuò)源強(qiáng)度一定小于均值99.33 MPa.

值得注意的是，在4×104s?1應(yīng)變率時(shí)，模擬屈服應(yīng)力反而略高于解析計(jì)算值，這里歸因于位錯(cuò)阻尼運(yùn)動(dòng)受力，通過(guò)兩種方法計(jì)算4×104s?1應(yīng)變率時(shí)屈服應(yīng)力的差值估計(jì)，位錯(cuò)運(yùn)動(dòng)阻尼力稍大于18.27 MPa，表明阻尼作用并不是高應(yīng)變率屈服應(yīng)力的主導(dǎo)機(jī)制.阻尼力來(lái)自位錯(cuò)與晶格熱振動(dòng)之間的相互作用，可表示為：.其中，γ˙為剪應(yīng)變率，s?1.可見(jiàn)，在具有一定位錯(cuò)密度的晶體內(nèi)，隨著位錯(cuò)運(yùn)動(dòng)速度增加，電子和聲子對(duì)位錯(cuò)運(yùn)動(dòng)的阻力也會(huì)隨之增大.然而，加載應(yīng)變率越高，小尺寸試樣中的位錯(cuò)越容易在滑移時(shí)從自由表面逃逸，并且位錯(cuò)逃逸的速度會(huì)超出位錯(cuò)增殖的速度，晶體尺寸效應(yīng)開(kāi)始顯著[7]，由圖7（c）可知，高應(yīng)變率下的位錯(cuò)密度大大降低.此時(shí)，阻尼力計(jì)算值趨向于無(wú)窮大，與位錯(cuò)運(yùn)動(dòng)相關(guān)的阻尼力公式無(wú)法合理表達(dá)流動(dòng)應(yīng)力貢獻(xiàn).

應(yīng)變率從102s?1到4×104s?1，位錯(cuò)源激活應(yīng)力在屈服應(yīng)力中占比逐漸減小，位錯(cuò)增殖應(yīng)力逐漸增大，說(shuō)明屈服應(yīng)力的應(yīng)變率敏感性機(jī)制從位錯(cuò)源激活轉(zhuǎn)變?yōu)槲诲e(cuò)增殖.低應(yīng)變率下位錯(cuò)通過(guò)更多的滑移面位錯(cuò)源激活來(lái)貢獻(xiàn)塑性應(yīng)變，位錯(cuò)源激活應(yīng)力只與位錯(cuò)源初始長(zhǎng)度有關(guān)，與應(yīng)變率無(wú)關(guān)，所以隨著應(yīng)變率增加，屈服強(qiáng)度保持相對(duì)穩(wěn)定.在較高的應(yīng)變率下，有限的內(nèi)部源無(wú)法產(chǎn)生足夠的塑性來(lái)抵抗外部加載的增加，位錯(cuò)增殖成為屈服應(yīng)力增加的主要因素，位錯(cuò)增殖應(yīng)力與應(yīng)變率密切相關(guān)，因而隨著應(yīng)變率增加，屈服強(qiáng)度顯著增加.三維模擬也說(shuō)明相似的現(xiàn)象，反過(guò)來(lái)，這些內(nèi)部位錯(cuò)源可能由于應(yīng)力的增加而被破壞，位錯(cuò)增殖機(jī)制會(huì)從內(nèi)部Frank?Read 位錯(cuò)源轉(zhuǎn)變?yōu)楸砻嫘魏薣18].

4 結(jié)論

（1）本文基于二維離散位錯(cuò)動(dòng)力學(xué)理論建立的單晶銅亞微米柱壓縮模型，通過(guò)引入截?cái)辔诲e(cuò)速度準(zhǔn)則描述力控制下的位錯(cuò)雪崩，模擬得出應(yīng)力?應(yīng)變曲線在位移加載時(shí)呈現(xiàn)準(zhǔn)周期的鋸齒狀，力加載時(shí)時(shí)呈現(xiàn)應(yīng)力單調(diào)增加的臺(tái)階狀，模擬結(jié)果與微壓縮實(shí)驗(yàn)結(jié)果相吻合，驗(yàn)證了模型在預(yù)測(cè)單晶銅位錯(cuò)基塑性變形行為方面的可靠性.

（2）力控制和位移控制的加載方式，不連續(xù)性行為表現(xiàn)為應(yīng)變突增的臺(tái)階狀應(yīng)力?應(yīng)變曲線和應(yīng)力陡降的鋸齒狀應(yīng)力?應(yīng)變曲線，由于兩者分別通過(guò)加權(quán)位錯(cuò)速度和塑性應(yīng)變率調(diào)控外加載荷的大小，位錯(cuò)雪崩效應(yīng)的內(nèi)在機(jī)制歸結(jié)為位錯(cuò)速度的隨機(jī)性和位錯(cuò)源開(kāi)動(dòng)的間歇性.

（3）應(yīng)變率在102～4×104s?1的范圍內(nèi)，單晶銅的屈服應(yīng)力表現(xiàn)為正應(yīng)變率敏感性，且應(yīng)變率敏感性機(jī)制發(fā)生改變.通過(guò)對(duì)比位錯(cuò)滑移塑性滑移量分布、建立流動(dòng)應(yīng)力不同機(jī)制解析表達(dá)，結(jié)果表明在高應(yīng)變率時(shí)，位錯(cuò)演化特征為多滑移面激活均勻變形，應(yīng)變率相關(guān)的位錯(cuò)增殖機(jī)制代替位錯(cuò)源激活主導(dǎo)塑性屈服.