于 江，呂旭濱，秦?fù)碥?/p>

新疆大學(xué)建筑工程學(xué)院，烏魯木齊 830047

混凝土是由粗、細(xì)骨料、水泥水化物、未水化水泥顆粒、孔隙及裂縫等組成的非均勻多相材料且由于其成型工藝養(yǎng)護(hù)條件等原因，在混凝土攪拌成型前，在其內(nèi)部已經(jīng)具有了大量的毛細(xì)孔及微裂紋等初始缺陷[1]，這些初始裂紋缺陷經(jīng)過(guò)萌生，發(fā)展，成核幾個(gè)階段最終形成宏觀的裂紋并導(dǎo)致混凝土構(gòu)件發(fā)生破壞[2].其裂紋發(fā)展往往呈現(xiàn)出“Z”字狀并在宏觀裂紋四周延伸出眾多縱橫交錯(cuò)的微小裂紋，這種具有隨機(jī)性的裂紋分布使得構(gòu)件破斷裂面呈現(xiàn)出凹凸不平的形態(tài).分形理論被看作為分析處理材料中的不規(guī)則現(xiàn)象的一種新型手段，現(xiàn)被廣泛應(yīng)用在混凝土等眾多具有大量非線性分布的微觀、宏觀裂紋缺陷的多相復(fù)合材料.對(duì)于無(wú)腹筋混凝土梁的受剪破壞研究一般采用經(jīng)典損傷力學(xué)、斷裂力學(xué)等理論進(jìn)行研究，但利用傳統(tǒng)的力學(xué)分析手段很難對(duì)這些混凝土裂縫損傷缺陷進(jìn)行精確的判斷，只是局限于某一層面上的解釋，在實(shí)際工程應(yīng)用中表現(xiàn)較好，但在理論上還是會(huì)有或多或少的不足[3]，因此我們嘗試采用可以定量分析描述斜裂紋發(fā)展分布等特征的分形理論對(duì)混凝土的裂縫損傷進(jìn)行分析.本文通過(guò)9 根無(wú)腹筋混凝土梁試驗(yàn)，應(yīng)用分形理論得出了在不同剪跨比作用下無(wú)腹筋混凝土梁斜裂縫的分布規(guī)律，證明了分形理論是分析無(wú)腹筋梁表面裂縫中一種十分有效的方法.

1 分形理論

分形理論于1975 年被Mandelbrot 與Wheeler[4]定義，被用作分析描述具有“不規(guī)則、不平整”等特性的物體.分形維數(shù)D是描述結(jié)構(gòu)分形現(xiàn)象特征過(guò)程中的一個(gè)量化定義[5]，分形理論要求結(jié)構(gòu)應(yīng)具有自相似性即結(jié)構(gòu)中的任何一部分應(yīng)與結(jié)構(gòu)整體具有相似的特征現(xiàn)象.混凝土作為一種集成材料，根據(jù)研究表明其骨料集配、微觀孔結(jié)構(gòu)、表面裂縫都具有分形效應(yīng)[6-10].董毓利等[11]對(duì)于混凝土聲發(fā)射b值及分形維數(shù)建立聯(lián)系，吳科如教授及其研究團(tuán)隊(duì)[12-13]通過(guò)激光法測(cè)定了混凝土斷裂面的分形維數(shù)D，徐志斌與謝和平[14]借助分形理論與損傷力學(xué)描述了分形維數(shù)D與損傷變量k之間的聯(lián)系.Carpinteri 等利用分形理論對(duì)混凝土與巖石的尺寸效應(yīng)進(jìn)行了深入的研究[15-16]，秦子鵬等[17]探究BFRP 布加固鋼筋混凝土梁抗彎性能的分形效應(yīng)，周瑞忠[18]分析了混凝土裂紋寬度的分形現(xiàn)象，驗(yàn)證了裂紋寬度亦具有尺寸效應(yīng).

上述研究成果表明，分形理論可以利用混凝土的表面裂縫定性地描述混凝土受載過(guò)程中的剪切性能，本文通過(guò)不同剪跨比及縱筋配筋率作用下的無(wú)腹筋混凝土梁的試驗(yàn)加載結(jié)果，分析了無(wú)腹筋混凝土梁在剪切破壞下梁表面的裂縫發(fā)展趨勢(shì)及分布形式，驗(yàn)證了梁在受載過(guò)程中不同剪跨比作用下的無(wú)腹筋混凝土梁表面裂縫的分布具有分形特征，并獲得其在加載全過(guò)程中每級(jí)荷載所對(duì)應(yīng)的分形維數(shù)D；研究了全梁區(qū)域的表面裂縫分形維數(shù)與荷載、極限承載力、跨中撓度及延性系數(shù)之間的關(guān)系.分析的結(jié)論可以為無(wú)腹筋混凝土梁剪切性能方面的研究及實(shí)際工程中分形理論的運(yùn)用提供理論依據(jù).

2 試驗(yàn)概況

2.1 試驗(yàn)原材料與配合比

本次試驗(yàn)采用紅雁牌P·O 42.5 普通硅酸鹽水泥，其化學(xué)性能如表1，粗骨料采用新疆烏魯木齊市烏拉泊采石場(chǎng)連續(xù)級(jí)配為5～25 mm 的天然卵石，其物理性能如表2，細(xì)骨料選用烏魯木齊地區(qū)的中砂，細(xì)度模數(shù)為2.9，表觀密度為2640 kg·m-3，拌合水采用烏魯木齊當(dāng)?shù)刈詠?lái)水.

表1 水泥的化學(xué)成分(質(zhì)量分?jǐn)?shù))Table 1 Chemical composition of cement %

表2 粗骨料的實(shí)驗(yàn)性能Table 2 Properties of coarse aggregate

2.2 試驗(yàn)方案

試件采用矩形截面簡(jiǎn)支梁，梁長(zhǎng)1800 mm，凈跨為1400 mm，矩形截面尺寸是150 mm×250 mm，梁底設(shè)立2 根縱筋，梁的腹部不設(shè)架立筋及箍筋，在支座外設(shè)立3 根直徑為6 mm 的HPB300 的箍筋，間距為60 mm，保護(hù)層厚度為20 mm，圖1 為梁的尺寸及配筋圖.

圖1 無(wú)腹筋梁尺寸及配筋圖（單位:mm）Fig.1 Dimensions and reinforcement drawing of girder without rib (Unit:mm)

為了研究不同剪跨比λ及縱筋配筋率作用下無(wú)腹筋梁表面裂縫的分形特征與抗剪性能間的聯(lián)系，本次試驗(yàn)設(shè)計(jì)采用9 根試驗(yàn)梁，共分成3 組，而剪跨比對(duì)無(wú)腹筋梁受剪破壞影響程度最大，由于不配置腹筋，在此不考慮腹筋率作用，縱筋配筋率影響次之，為了貼近實(shí)際工程應(yīng)用，設(shè)定梁發(fā)生剪壓破壞（1<λ>3）與適筋破壞，對(duì)比斜拉與斜壓破壞，剪壓破壞延性較大，脆性較低，為了確保試件的延性相對(duì)更大；挑選縱筋配筋率作為一個(gè)主要因素，是為了一方面得到其對(duì)無(wú)腹筋梁受剪性能的影響，另一方面通過(guò)分形維數(shù)得到其對(duì)裂紋擴(kuò)展的影響程度.因此選取下述剪跨比及縱筋配筋率.因此第一組梁的縱筋配筋率為1.28%，第二組為1.62%，第三組為1.99%，且每組設(shè)定剪跨比依次為1.5、2、2.5，并分別測(cè)試與每組梁同條件養(yǎng)護(hù)條件下的混凝土立方體試塊抗壓強(qiáng)度，試驗(yàn)參數(shù)見表3.

表3 試件參數(shù)信息Table 3 Parameter information of test pieces

2.3 試驗(yàn)加載方案

按照GB 50152—2012《混凝土結(jié)構(gòu)試驗(yàn)方法標(biāo)準(zhǔn)》對(duì)無(wú)腹筋混凝土梁進(jìn)行四點(diǎn)加載，并在梁頂端放置一個(gè)分配梁將力分導(dǎo)為2 個(gè)對(duì)稱的集中荷載，試驗(yàn)加載裝置采用液壓千斤頂，由于試驗(yàn)條件有限，未采用位移加載選用力加載方式，且為了方便控制加卸載速度和觀測(cè)分析結(jié)構(gòu)的各種變化，也為了統(tǒng)一各點(diǎn)的加載步調(diào)采用分級(jí)加載的方式，加載后持續(xù)3 min 用以記錄梁的裂縫等，在梁出現(xiàn)裂縫前采用每級(jí)5 kN 加載，出現(xiàn)裂縫后以10 kN 加載，當(dāng)加載到試驗(yàn)梁破壞荷載的90%時(shí)，改為每級(jí)5 kN 加載，直至梁發(fā)生破壞，試驗(yàn)加載裝置及位移計(jì)布置圖如圖2 所示.

圖2 加載裝置布置圖.（a）λ=1.5；（b）λ=2；（c）λ=2.5；（d）現(xiàn)場(chǎng)布置圖Fig.2 Load device layout:(a) λ=1.5;(b) λ=2;(c) λ=2.5;(d) site layout

試驗(yàn)加載過(guò)程中詳細(xì)記錄裂縫的發(fā)展趨勢(shì)與相應(yīng)的荷載值，并使用DH3816 采集箱采集應(yīng)變（縱筋、跨中混凝土、應(yīng)變片花）、跨中與支座處的位移及荷載值等數(shù)據(jù).

3 試驗(yàn)結(jié)果分析

3.1 梁表面裂縫分布

基于試驗(yàn)過(guò)程的觀察，當(dāng)9 根無(wú)腹筋梁受到荷載作用時(shí)，在到達(dá)開裂荷載之前，并無(wú)任何現(xiàn)象產(chǎn)生，當(dāng)加載到極限荷載的20%～25%時(shí)，在梁的跨中底部會(huì)率先出現(xiàn)數(shù)條微小的垂直裂縫，隨后在無(wú)腹筋梁的彎剪區(qū)的受拉區(qū)邊緣產(chǎn)生一些垂直裂縫，這些垂直裂縫沿垂直方向發(fā)展一小段距離后將會(huì)沿斜向發(fā)展，并且發(fā)展的較為迅速進(jìn)而演變成一條沿梁高貫穿的臨界斜裂縫，其總體發(fā)展走向是沿支座到加載點(diǎn)部位，而此時(shí)跨中的裂縫也已停止發(fā)展且最終停留在梁的2/3 高度，而臨界斜裂縫的出現(xiàn)也將導(dǎo)致了剪彎段剪壓區(qū)高度減小，隨著荷載的增加，裂縫寬度也逐漸增大，加載點(diǎn)部位混凝土被壓碎，最終梁發(fā)生破壞，試驗(yàn)梁加載停止.圖3 為各組無(wú)腹筋梁受載過(guò)程中裂縫演化分布圖，其中粗線為最終主導(dǎo)破壞的裂紋.

圖3 試驗(yàn)梁裂縫分布圖.（a）WL-1；（b）WL-2；（c）WL-3；（d）WL-4；（e）WL-5；（f）WL-6；（g）WL-7；（h）WL-8；（i）WL-9Fig.3 Crack distribution of test beam:(a) WL-1;(b) WL-2;(c) WL-3;(d) WL-4;(e) WL-5;(f) WL-6;(g) WL-7;(h) WL-8;(i) WL-9

3.2 荷載-撓度曲線

根據(jù)試驗(yàn)全過(guò)程中所采集的荷載及跨中撓度，并繪制荷載-撓度曲線，如圖4 和圖5 所示.

基于圖4 的曲線分布情況，在不同縱筋配筋率ρ的加載作用下，λ=1.5 時(shí)，三種不同縱筋配筋率的無(wú)腹筋梁，每級(jí)荷載作用下的跨中撓度值差異值較小，基本處于一條直線，隨著剪跨比λ的增大，在不同縱筋配筋率的作用下，每級(jí)荷載所對(duì)應(yīng)的撓度值差異性越大，總體趨勢(shì)表現(xiàn)為縱筋配筋率為1.28%的梁在每級(jí)荷載下的撓度值最大，而縱筋配筋率為1.62%的梁每級(jí)荷載所對(duì)應(yīng)的跨中撓度最小.縱筋配筋率為1.99%的梁跨中撓度次之.這表明縱筋配筋率為1.62%的無(wú)腹筋梁延性相對(duì)較好，縱筋配筋率越小，梁抵抗變形能力越弱，而縱筋配筋率偏大對(duì)于無(wú)腹筋梁的撓度控制會(huì)起反作用，因此適當(dāng)?shù)目刂瓶v筋配筋率可以有效的控制梁的撓度.

圖4 相同剪跨比、不同縱筋配筋率作用下的荷載與撓度間關(guān)系.（a）λ=1.5；（b）λ=2；（c）λ=2.5Fig.4 Relationship between load and deflection under the same shear-span ratio and different longitudinal reinforcement ratios:(a) λ=1.5;(b) λ=2;(c) λ=2.5

在不同剪跨比作用下，根據(jù)圖5 的描述，在同一縱筋配筋率條件下，剪跨比越大，在同級(jí)荷載作用下的跨中撓度值越大，剪跨比與無(wú)腹筋梁的撓度呈現(xiàn)正相關(guān)關(guān)系.而伴隨著縱筋配筋率的增大，這種規(guī)律性亦表現(xiàn)的較為明顯.

圖5 相同縱筋配筋率、不同剪跨比作用下荷載與撓度間的關(guān)系.（a）ρ=1.28%；（b）ρ=1.62%；（c）ρ=1.99%Fig.5 Relationship between load and deflection under the same longitudinal reinforcement ratio and different shear span ratios:(a) ρ=1.28%;(b) ρ=1.62%;(c) ρ=1.99%

3.3 開裂荷載與極限荷載

WL-1、WL-2 和WL-3 梁在加載過(guò)程中，可以發(fā)現(xiàn)伴隨著剪跨比λ的增大，其開裂荷載依次減小，在跨中率先產(chǎn)生豎向裂縫，隨后在剪彎區(qū)出現(xiàn)豎向裂紋并逐漸發(fā)展為臨界斜裂縫，最終無(wú)腹筋梁產(chǎn)生破壞，都屬于剪壓破壞，其相應(yīng)的極限荷載隨著試驗(yàn)梁設(shè)定的剪跨比λ的增大而逐漸減小.WL-4、WL-5、WL-6、WL-7、WL-8 和WL-9 發(fā)展趨勢(shì)與上述相同，都屬于剪壓破壞.圖6 是試驗(yàn)梁開裂荷載及極限荷載的對(duì)比圖，當(dāng)剪跨比相同時(shí)，各組梁的開裂荷載并無(wú)明顯的區(qū)別，隨著縱筋配筋率的增大，極限荷載也有較大的提高，且隨著剪跨比的增大提高的程度也逐步增大.

圖6 開裂荷載與極限荷載對(duì)比圖Fig.6 Comparison of cracking load and ultimate load

4 基于分形理論的試驗(yàn)結(jié)果分析

4.1 裂縫分形維數(shù)D 的理論計(jì)算

不規(guī)則的圖像多種多樣，并不是所有都具備分形特征，唯有在一定標(biāo)度范圍中滿足自相似性的圖像才被稱為具有分形特征[19].無(wú)腹筋混凝土梁在加載過(guò)程中裂縫分布具有隨機(jī)性，是否具有分形特征還有待驗(yàn)證，基于分形理論對(duì)圖像的分形維數(shù)的計(jì)算方法有：盒維數(shù)法[20-21]、分形布朗運(yùn)動(dòng)模型法[22-23]、小島法[24]和投影覆蓋法[25-26]等.針對(duì)混凝土梁表面裂縫的分形維數(shù)的測(cè)量一般選用盒維數(shù)法.計(jì)算步驟為：采用規(guī)格為L(zhǎng)×L的正方形網(wǎng)格去覆蓋無(wú)腹筋混凝土全梁的裂縫分布區(qū)域，統(tǒng)計(jì)計(jì)算出覆蓋區(qū)域內(nèi)存在裂縫的網(wǎng)格數(shù)目并記為N(L)，隨后利用改變網(wǎng)格邊長(zhǎng)L來(lái)改變網(wǎng)格密度并統(tǒng)計(jì)N(L)，繪制lnN(L)-ln(1/L)的圖像.若關(guān)系曲線滿足線性關(guān)系，則證明梁表面的裂縫具有自相似性[27]，擁有分形特征.lnN(L)-ln(1/L)關(guān)系曲線的斜率即為分形維數(shù).分形維數(shù)D表示為

4.2 荷載作用梁表面裂紋的分形研究

基于試驗(yàn)梁在分級(jí)加載過(guò)程中對(duì)裂縫的定位及描繪，將每個(gè)試件的裂縫轉(zhuǎn)換為數(shù)字圖像，通過(guò)盒計(jì)數(shù)法計(jì)算在不同等級(jí)荷載作用下的分形維數(shù)，設(shè)定盒的尺寸為30～150 mm，共13 種尺寸，每種尺寸相隔10 mm，將這13 種尺寸的盒網(wǎng)格覆蓋到無(wú)腹筋梁的表面，統(tǒng)計(jì)出存在裂縫的格子數(shù)N(L)，并繪制lnN(L)-ln(1/L)的圖像如圖7.

由圖5 可以看出，基于不同剪跨比及縱筋配筋率的無(wú)腹筋梁，其加載全過(guò)程中的裂縫發(fā)展分布在不同網(wǎng)格尺寸覆蓋下所展示的lnN(L)-ln(1/L)曲線具有明顯的線性關(guān)系，這無(wú)腹筋梁表面的裂縫在一定標(biāo)度范圍內(nèi)具有分形特征.通過(guò)圖7 能明顯的發(fā)現(xiàn)荷載等級(jí)越大，lnN(L)-ln(1/L)曲線的斜率越大，這代表其分形維數(shù)也越大.表4 為在不同荷載作用下無(wú)腹筋梁表面的分形維數(shù).

圖7 不同等級(jí)荷載下梁表面的lnN(L)-ln(1/L)圖.（a）WL-1；（b）WL-2；（c）WL-3；（d）WL-4；（e）WL-5；（f）WL-6；（g）WL-7；（h）WL-8；（i）WL-9Fig.7 lnN(L)-ln(1/L) diagram of beam surface under different grades of load:(a) WL-1;(b) WL-2;(c) WL-3;(d) WL-4;(e) WL-5;(f) WL-6;(g) WL-7;(h) WL-8;(i) WL-9

根據(jù)表4 所示，伴隨著每級(jí)荷載的增加，分形維數(shù)亦在相應(yīng)的增大.而分形維數(shù)可以較好地反映梁內(nèi)部的損傷程度，分形維數(shù)與梁內(nèi)部的損傷程度成正比關(guān)系，分形維數(shù)越大，無(wú)腹筋梁內(nèi)部的損傷越大.9 組無(wú)腹筋梁中，最小和最大分形維數(shù)（Dmin和Dmax）分別為0.964 和1.449.

表4 不同荷載作用下梁表面分形維數(shù)Table 4 Fractal dimension of beam surface under different loads

4.3 極限荷載作用下梁表面的分形研究

針對(duì)無(wú)腹筋梁受載破壞時(shí)梁表面裂縫分布分形維數(shù)進(jìn)行探究，可以較好的分析其在不同剪跨比及縱筋配筋率下的破壞形式.選取每組無(wú)腹筋梁基于極限荷載作用下的裂縫進(jìn)行計(jì)算統(tǒng)計(jì)，繪制lnN(L)-ln(1/L)曲線，如圖8 所示.

通過(guò)圖8 可以發(fā)現(xiàn)各組梁的lnN(L)-ln(1/L)曲線都具有較好的線性關(guān)系，這表明：無(wú)腹筋梁在極限荷載作用下的梁表面裂縫仍然具有分形特征，不論在梁加載階段還是破壞階段都可以通過(guò)分形幾何學(xué)進(jìn)行分析.

圖8 極限荷載下梁表面的lnN(L)-ln(1/L)圖Fig.8 lnN(L)-ln(1/L) diagram of the beam surface under ultimate load

圖9 表示在極限荷載作用下各組無(wú)腹筋梁表面裂縫分形維數(shù)的對(duì)比圖.通過(guò)對(duì)比圖中各個(gè)試件的分形維數(shù)，可以發(fā)現(xiàn)在極限荷載作用下，各組無(wú)腹筋混凝土梁表面的分形維數(shù)變化幅度不大，穩(wěn)定在一個(gè)固定的界面，其數(shù)值變化范圍為1.321～1.449，普遍都在1.33 附近，這表明在不同剪跨比及縱筋配筋率的作用下，無(wú)腹筋梁最終破壞時(shí)表面裂縫的分形維數(shù)變化范圍較小，剪跨比與縱筋配筋率對(duì)其影響較小.

圖9 極限荷載作用下梁的分形維數(shù)Fig.9 Fractal dimension of the beam under ultimate load

4.4 分形維數(shù)與極限承載力間的關(guān)系

統(tǒng)計(jì)各組無(wú)腹筋梁的極限荷載，并繪制基于不同剪跨比與縱筋配筋率的分形維數(shù)與極限荷載的曲線，如圖10 和11 所示.

根據(jù)圖10 和11 所示，可以發(fā)現(xiàn)分形維數(shù)與試驗(yàn)梁極限荷載之間的規(guī)律性較弱，在相同剪跨比不同縱筋配筋率的條件下，其無(wú)腹筋梁表面裂縫的分形維數(shù)表現(xiàn)為先增大后減小，而在相同配筋率不同剪跨比條件下，其分形維數(shù)與極限荷載表現(xiàn)的差異性較大，總體而言，在不同剪跨比及縱筋配筋率作用下，對(duì)于極限荷載作用下的裂縫擴(kuò)展將產(chǎn)生不同的影響，裂縫的擴(kuò)展及分布具有不同的形態(tài)，進(jìn)而使分形維數(shù)也產(chǎn)生較大的差異性，規(guī)律性較小，在今后有待深入探究.

圖10 相同剪跨比、不同縱筋配筋率作用下的極限荷載與分形維數(shù)間的關(guān)系.（a）λ=1.5；（b）λ=2；（c）λ=2.5Fig.10 Relationship between ultimate load and fractal dimension under the same shear span ratio and different longitudinal reinforcement ratios:(a) λ=1.5,(b) λ=2,(c) λ=2.5

4.5 分形維數(shù)與分級(jí)荷載間的關(guān)系

基于無(wú)腹筋混凝土梁不論在分級(jí)荷載作用下還是極限荷載作用下都具有分形特征，通過(guò)表4，建立分形維數(shù)D與分級(jí)荷載F之間的聯(lián)系.

如圖12 和圖13 所示，基于兩種不同變量作用下的荷載-分形維數(shù)的曲線呈現(xiàn)較好的對(duì)數(shù)關(guān)系，其擬合的數(shù)學(xué)方程如式2，k和m為參數(shù)，數(shù)值如表5所示.λ為試驗(yàn)梁剪跨比，ρ為縱筋配筋率.

表5 分級(jí)荷載與分形維數(shù)關(guān)系的k、m 值Table 5 k,m values of the relationship between the graded load and the fractal dimension

圖11 相同縱筋配筋率、不同剪跨比作用下的極限荷載與分形維數(shù)間的關(guān)系.（a）ρ=1.28%；（b）ρ=1.62%；（c）ρ=1.99%Fig.11 Relationship between ultimate load and fractal dimension under the same longitudinal reinforcement ratio and different shear span ratios:(a) ρ=1.28%;(b) ρ=1.62%;(c) ρ=1.99%

圖12 相同剪跨比、不同縱筋配筋率作用下的分級(jí)荷載與分形維數(shù)間關(guān)系.（a）λ=1.5；（b）λ=2；（c）λ=2.5Fig.12 Relationship between the graded load and the fractal dimension under the same shear span ratio and different longitudinal reinforcement ratios:(a) λ=1.5;(b) λ=2;(c) λ=2.5

圖13 相同縱筋配筋率、不同剪跨比作用下的分級(jí)荷載與分形維數(shù)間關(guān)系.（a）ρ=1.28%；（b）ρ=1.62%；（c）ρ=1.99%Fig.13 Relationship between the graded load and the fractal dimension under the same longitudinal reinforcement ratio and different shear span ratios:(a) ρ=1.28%;(b) ρ=1.62%;(c) ρ=1.99%

當(dāng)荷載按照規(guī)范依次增加，分形維數(shù)也不斷增加，且在不同荷載等級(jí)下，不同剪跨比及縱筋配筋率作用下，荷載-分形維數(shù)擬合曲線呈現(xiàn)出不同的分布形態(tài).如圖13 所示，在無(wú)腹筋混凝土梁表面裂縫的荷載-分形維數(shù)曲線的曲率隨著剪跨比的增大逐漸減小.這是在沒有腹筋作用情況下，由于剪跨比在一定程度反映截面彎矩與剪力的相對(duì)比值，它對(duì)無(wú)腹筋梁的斜截面受剪破壞具有決定性的影響，剪跨比越小，無(wú)腹筋梁的承載力越高，梁表面的裂紋發(fā)展越充分，其分形維數(shù)也越大.同樣的在不同縱筋配筋率作用下，如圖12 所示，隨著縱筋配筋率的逐漸增大，荷載-分形維數(shù)曲線的曲率越大，在同一荷載作用下，縱筋配筋率越大，分形維數(shù)越小，裂紋相對(duì)較少，這是由于縱筋配筋率的增大，縱筋與混凝土黏結(jié)強(qiáng)度越高，其抗拉能力越高，在分級(jí)荷載作用下裂紋發(fā)展較為充分，在同等荷載等級(jí)下分形維數(shù)也相較更小.因此剪跨比與縱筋配筋率對(duì)于無(wú)腹筋混凝土梁的裂縫發(fā)展及承載力的變化都具有顯著的影響.

4.6 分形維數(shù)與跨中撓度的關(guān)系

采集無(wú)腹筋混凝土梁加載全過(guò)程的跨中撓度，并擬合在不同變量作用下跨中撓度-分形維數(shù)的曲線如圖14 和圖15.

圖14 相同剪跨比、不同縱筋配筋率作用下的跨中撓度與分形維數(shù)間的關(guān)系.（a）λ=1.5；（b）λ=2；（c）λ=2.5Fig.14 Relationship between mid-span deflection and fractal dimension under the same shear-span ratio and different longitudinal reinforcement ratios:(a) λ=1.5;(b) λ=2;(c) λ=2.5

圖15 相同縱筋配筋率、不同剪跨比作用下的跨中撓度與分形維數(shù)間關(guān)系.（a）ρ=1.28%；（b）ρ=1.62%；（c）ρ=1.99%Fig.15 Relationship between mid-span deflection and fractal dimension under the same longitudinal reinforcement ratio and different shear-span ratios:(a) ρ=1.28%;(b) ρ=1.62%;(c) ρ=1.99%

根據(jù)圖14 所示，跨中撓度-分形維數(shù)曲線在不同剪跨比作用下表現(xiàn)出較好的對(duì)數(shù)關(guān)系，曲線曲率的差異性較為明顯，跨中撓度-分形維數(shù)曲線的曲率隨著縱筋配筋率的增大表現(xiàn)出先增大后減小的趨勢(shì)，縱筋配筋率ρ=1.62%的無(wú)腹筋梁其荷載-分形維數(shù)曲線的曲率相對(duì)最高，而剪跨比作用下的其他曲線的差異性較大，其所表現(xiàn)的規(guī)律性較不明顯，因此剪跨比對(duì)跨中撓度的變化影響程度相對(duì)較小，但基于圖14 和圖15 中能發(fā)現(xiàn)在不同剪跨比與縱筋配筋率的作用下，跨中撓度-分形維數(shù)曲線亦呈現(xiàn)較好的對(duì)數(shù)關(guān)系，分形維數(shù)D與跨中撓度y具有正比關(guān)系，其數(shù)學(xué)表達(dá)式如式（3）所示.

式中，n和v為參數(shù)，數(shù)值如表6 所示.

表6 跨中撓度與分形維數(shù)關(guān)系的n、v 值Table 6 n,v values of the relationship between the mid-span deflection and the fractal dimension

5 結(jié)論與展望

（1）無(wú)腹筋混凝土梁在不同剪跨比與縱筋配筋率作用下呈現(xiàn)出剪跨比與極限荷載及開裂荷載成反比，而縱筋配筋率與極限荷載成正比，但對(duì)開裂荷載的影響程度相對(duì)較小.

（2）無(wú)腹筋混凝土梁表面的裂縫分布不論在分級(jí)荷載作用還是極限荷載作用下都在一定標(biāo)度范圍內(nèi)擁有分形特征，且在分級(jí)荷載作用下，分形維數(shù)在0.964～1.449，在極限荷載作用下的分形維數(shù)在1.33 附近.

（3）在不同剪跨比及縱筋配筋率作用下，分級(jí)荷載、跨中撓度與無(wú)腹筋混凝土梁表面裂縫的分形維數(shù)呈現(xiàn)較好的對(duì)數(shù)關(guān)系，分級(jí)荷載-分形維數(shù)曲線受剪跨比及縱筋配筋率的影響表現(xiàn)出一定的規(guī)律性，但極限荷載-分形維數(shù)之間線性關(guān)系不明顯，伴隨著縱筋配筋率的增大呈現(xiàn)出先增大后減小的趨勢(shì)，隨著剪跨比的增大呈現(xiàn)的差異性較大.而跨中撓度受剪跨比的影響較小，受縱筋配筋率的影響，跨中撓度-分形維數(shù)曲線的曲率呈現(xiàn)出先增大后減小的趨勢(shì).

（4）基于分形理論研究無(wú)腹筋混凝土梁表面裂縫時(shí)定量的對(duì)試件的剪切性能的描述，這一方法是可行、可靠的，且為今后對(duì)無(wú)腹筋混凝土梁剪切性能的研究提供一定的依據(jù).

（5）考慮縱筋配筋率及剪跨比作用的無(wú)腹筋混凝土梁在分形理論的處理下，分形維數(shù)與梁的受力性能及微觀特征之間的關(guān)系還需要大量的試驗(yàn)驗(yàn)證，有待進(jìn)一步探究.