張芝振 李亮?

1) (清華大學(xué)工程物理系,北京 100084)

2) (清華大學(xué),粒子技術(shù)與輻射成像教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,北京 100084)

X 射線熒光CT(X-ray fluorescence computed tomography,XFCT)是一種使用X 射線熒光(X-ray fluorescence,XRF)實(shí)現(xiàn)功能性成像的新技術(shù),在生物醫(yī)學(xué)成像中表現(xiàn)出較大潛力.但是,X 射線穿過生物體的同時(shí)還會(huì)產(chǎn)生大量康普頓散射光子,對(duì)XRF 信號(hào)的采集形成很強(qiáng)的背景噪聲;因此,如何有效消除康普頓散射噪聲對(duì)于提高XFCT 成像質(zhì)量至關(guān)重要.本文研究總結(jié)了XFCT 成像過程中涉及的物理過程,包括:熒光的產(chǎn)額、退激發(fā)時(shí)間、熒光發(fā)射角分布、熒光偏振態(tài)、康普頓散射角分布與散射光偏振態(tài),并通過研究熒光與散射光物理性質(zhì)的差異尋找去除康普頓散射噪聲的方法.經(jīng)過物理過程推導(dǎo)和分析計(jì)算,發(fā)現(xiàn):1) 高原子序數(shù)元素的K 層熒光退激發(fā)時(shí)間極短,在現(xiàn)有探測(cè)器的時(shí)間分辨率條件下,無法分辨散射光與熒光;2) K 層發(fā)射熒光的角分布各向同性,康普頓散射角分布在與入射光偏振方向附近取得最小值,而且入射光線偏振度越高,散射光的微分截面越小,偏振光源將有利于減少康普頓散射噪聲;3) K 層熒光線偏振度為零,而康普頓散射光子在一些散射方向上具有一定線偏振度,因此偏振態(tài)的差異可能用于降低康普頓散射噪聲.

1 引言

X 射線熒光CT(X-ray fluorescence computed tomography,XFCT)是一種針對(duì)高原子序數(shù)元素的功能成像技術(shù).XFCT 通過探測(cè)X 射線與物體內(nèi)高原子序數(shù)元素發(fā)生光電效應(yīng)后產(chǎn)生的XRF 得到物質(zhì)內(nèi)該元素的濃度分布圖像,所以兼具透射型CT 結(jié)構(gòu)成像和發(fā)射型CT 功能成像的優(yōu)點(diǎn).Boisseau 和Grodzins[1]利用美國國家同步輻射光源首次實(shí)現(xiàn)XFCT 實(shí)驗(yàn).同步輻射光源具有準(zhǔn)單能和高線偏振度的特性,是XFCT 成像的理想光源,但是因?yàn)橥捷椛湔加脠龅睾统杀靖甙旱膯栴},所以基于同步輻射的XFCT 系統(tǒng)很難應(yīng)用于實(shí)際醫(yī)學(xué)應(yīng)用中.X 光機(jī)相比于同步輻射具有巨大的靈活性和經(jīng)濟(jì)性優(yōu)勢(shì),近年來有很多基于X 光機(jī)的XFCT 系統(tǒng)設(shè)計(jì)的研究[2?9].因?yàn)閄 光機(jī)光源采用電子軔致輻射的方式產(chǎn)生X 射線,所以其能譜是分布范圍較大的連續(xù)譜并且不具備線偏振特性.相比于同步輻射光源,X 光機(jī)光源會(huì)產(chǎn)生更大的散射背景,嚴(yán)重影響了XFCT 的成像質(zhì)量.

去除散射背景的方法主要有兩種.第一種方法采用略高于和略低于熒光物質(zhì)的K-edge 的單能入射光分別采取兩組數(shù)據(jù),兩組數(shù)據(jù)之差可近似為熒光信號(hào)[10].第一種方法對(duì)光源單能性要求很高,一般采用同步輻射源.第二種方法利用散射光子能量連續(xù)分布的特點(diǎn),通過三次多項(xiàng)式擬合的方式估計(jì)散射,進(jìn)而在數(shù)據(jù)中減去散射的貢獻(xiàn)[2],該方法對(duì)探測(cè)器的能量分辨率要求高,一般使用單像素X 射線譜儀采集熒光信號(hào),導(dǎo)致掃描時(shí)間很長.

逆康普頓散射源相比于同步輻射源不僅具有占地面積小和價(jià)格適中的優(yōu)勢(shì),而且具有同步輻射源準(zhǔn)單能和線偏振的特性,適合應(yīng)用于XFCT 成像系統(tǒng)設(shè)計(jì)中.逆康普頓散射源與同步輻射源降低XFCT 散射背景的原理都是應(yīng)用了線偏振X 光康普頓散射的角分布特性.Chi 等[11]蒙卡模擬研究了逆康普頓光源線偏振特性對(duì)XFCT 成像質(zhì)量的影響,發(fā)現(xiàn)逆康普頓光源能抑制XFCT 成像的康普頓散射背景約1.6 倍.

此外,熒光與散射光的物理性質(zhì)的差別可能用于降低散射背景,比如是否有可能利用熒光與散射光飛行時(shí)間、角分布和偏振態(tài)的差別減少散射背景或?qū)ふ疑⑸浔尘白钚〉奶綔y(cè)方位.本文分析了XFCT中熒光與散射光相關(guān)物理過程的性質(zhì):熒光與散射光的角分布,熒光退激發(fā)時(shí)間與熒光產(chǎn)額,熒光與散射光的偏振態(tài).這些物理過程決定了XFCT 熒光成像的極限,通過這些物理過程性質(zhì)能夠指導(dǎo)XFCT 的系統(tǒng)設(shè)計(jì),減少XFCT 的康普頓散射背景和提高XRF 信號(hào)強(qiáng)度.

2 XFCT 成像方法和物理原理

在XFCT 所涉及的能量范圍內(nèi),X 射線與物質(zhì)相互作用方式有光電效應(yīng)、相干散射和康普頓散射.在X 射線能量為幾十keV 時(shí),相干散射截面與康普頓散射截面相當(dāng),所以在處理XFCT 散射問題時(shí)相干散射和康普頓散射一般都要考慮,其中相干散射主要沿著小角方向散射,對(duì)光子的傳播會(huì)有影響,但通過后面的討論可以看出,在大角度方向康普頓散射是主要的.

XFCT 成像系統(tǒng)幾何設(shè)計(jì)有很多種方式[2?12],其中基于小孔成像、扇束X 射線源和XRF 探測(cè)器陣列的成像系統(tǒng)設(shè)計(jì)能大幅提高掃描速度[5],其XFCT 實(shí)驗(yàn)布置示意圖如圖1 所示.小孔準(zhǔn)直器作用是使XRF 探測(cè)器具有空間分辨能力.示意圖中被掃描物體是一個(gè)包含四個(gè)小圓柱的大圓柱模型,四個(gè)小圓柱里含有不同濃度的某種高原子序數(shù)元素的溶液.圖1 中描繪了某一條光路以及該路徑上可能產(chǎn)生的XRF 光子和散射光子,入射光與溶液中的重金屬元素原子發(fā)生光電效應(yīng),重金屬原子發(fā)射熒光(特征X 射線),熒光經(jīng)過小孔后,被XRF探測(cè)器陣列探測(cè),同時(shí)散射光子也會(huì)進(jìn)入XRF 探測(cè)器,形成散射背景.XRF 探測(cè)器可通過設(shè)置能窗閾值得到入射到每個(gè)探測(cè)器單元的相應(yīng)能窗的光子計(jì)數(shù).X 射線探測(cè)器陣列用于傳統(tǒng)的透射型CT成像,其得到的衰減系數(shù)分布圖可用于XFCT 成像的衰減校正.

圖1 基于小孔成像方式的XFCT 實(shí)驗(yàn)設(shè)置Fig.1.Experimental setup based on pinhole imaging.

為描述入射和散射X 射線的偏振態(tài),引入Stokes矢量[13]:

其中I表示光強(qiáng)度;P1和P2表示在與傳播方向垂直的平面內(nèi)成 4 5?夾角的兩對(duì)正交方向下分別測(cè)量得到的平面偏振度;P3表示圓偏振度.光束的線偏振度和圓偏振度定義分別為[14]

其中PL表示線偏振度;PC表示圓偏振度;Imax和Imin分別表示經(jīng)過理想線偏振片后光強(qiáng)的最大與最小值;IR和IL分別表示光束中右旋光和左旋光的強(qiáng)度.定義歸一化Stokes 矢量為

Stokes 矢量與正交方向選擇有關(guān),選定ξ1?1 對(duì)應(yīng)的線偏振方向?yàn)閤軸,則ξ1+1 對(duì)應(yīng)的線偏振方向?yàn)閥軸,傳播方向?yàn)閦軸正向,并規(guī)定:迎著光子傳播方向(z軸正向)看時(shí),繞z軸順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度為正,繞z軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度為負(fù),則在旋轉(zhuǎn)ψ角度后的新正交方向下的Stokes 矢量 [ 1,ζ]T與原正交方向下的Stokes 矢量 [ 1,ξ]T由變換矩陣M聯(lián)系,即 [ 1,ζ]TM[1,ξ]T.M的非零元為

一束光經(jīng)過某個(gè)相互作用后,其Stokes 矢量會(huì)改變,通過一個(gè) 4×4 變換矩陣T聯(lián)系相互作用前后的Stokes 矢量:

3 K 層熒光物理性質(zhì)

3.1 熒光產(chǎn)額

某個(gè)殼層或子殼層的熒光產(chǎn)額定義為該殼層產(chǎn)生一個(gè)空穴后,通過發(fā)射熒光退激發(fā)的概率.K 殼層產(chǎn)生空穴后,不同躍遷方式產(chǎn)生的熒光的能量和強(qiáng)度不同.一般地,殼層越高的電子通過退激發(fā)填充K 層空穴,產(chǎn)生的熒光的能量越高,某種熒光的強(qiáng)度正比于該熒光對(duì)應(yīng)躍遷的分支比.熒光產(chǎn)額的半經(jīng)驗(yàn)公式[15]:

式中,ωK表示K 層熒光產(chǎn)額;Z表示原子序數(shù);Ci表示擬合參數(shù).(6)式中參數(shù)Ci可以由實(shí)驗(yàn)得到的不同元素?zé)晒猱a(chǎn)額數(shù)據(jù)擬合得到.Bambynek 等[15]和Hubbell 等[16]結(jié)合理論計(jì)算與實(shí)驗(yàn)給出擬合參數(shù)和元素?zé)晒猱a(chǎn)額數(shù)據(jù)表.

K 層熒光產(chǎn)額ωK是原子序數(shù)Z的增函數(shù),對(duì)Z >60 的元素,ωK>90%,所以高原子序數(shù)原子的K 層空穴態(tài)通過發(fā)射熒光退激的概率最大.因此XFCT 應(yīng)該選擇高原子序數(shù)元素作為熒光元素,在高Z元素范圍內(nèi)熒光產(chǎn)額基本飽和,提高Z對(duì)增加熒光產(chǎn)額的收益很低,但提高Z可增大熒光能量,能量高的光子更容易穿透物體被探測(cè)器采集到,從而降低統(tǒng)計(jì)噪聲.

K 殼層空穴態(tài)不同躍遷方式產(chǎn)生不同能量的熒光,熒光按末態(tài)空穴所在層分成兩組,即Kα代表來自L 層電子的躍遷產(chǎn)生的熒光,Kβ表示來自M 層及更高層電子躍遷產(chǎn)生的熒光,同一組內(nèi)的熒光能量相近.Ertu?ral 等[17]給出了原子序數(shù)16≤Z≤92 范圍內(nèi)59 種元素的Kβ/Kα熒光強(qiáng)度比測(cè)量值,Scofield[18]給出了10≤Z≤98 原子序數(shù)范圍內(nèi)Kβ/Kα熒光強(qiáng)度比理論計(jì)算值,從實(shí)驗(yàn)和理論計(jì)算結(jié)果可以看出,熒光強(qiáng)度比Kβ/Kα隨原子序數(shù)增大而增大,對(duì)于Z>60 的元素,Kβ/Kα熒光強(qiáng)度比在0.3 左右.通過熒光強(qiáng)度比和K 層熒光產(chǎn)額ωK可以得到K 層不同能量熒光的產(chǎn)額.

入射X 射線也會(huì)與重金屬原子的L,M 和N等更高電子殼層的電子發(fā)生光電效應(yīng),且發(fā)射的熒光能量隨層數(shù)增高而減小,其中熒光能量最高的L 層熒光的能量一般為十幾keV,屬于低能區(qū)的光子,幾乎無法穿透模體,所以L,M 和N 等更高電子殼層的熒光在XFCT 熒光成像中可以忽略.

3.2 熒光退激發(fā)時(shí)間

如果熒光退激發(fā)半衰期很長,且長于探測(cè)器的時(shí)間分辨率,那么可以采用極短時(shí)間的X 光脈沖作為光源,在散射光子到達(dá)探測(cè)器后,延遲一段時(shí)間采集熒光光子,這樣就可以在時(shí)間上分開散射和熒光從而去除康普頓散射背景;如果探測(cè)器的時(shí)間分辨率大于熒光退激發(fā)半衰期,那么熒光和散射光子到達(dá)探測(cè)器的平均時(shí)間差小于探測(cè)器時(shí)間分辨率,從而無法分辨熒光和散射光子.為了證明這種方法是否可行,需要計(jì)算熒光退激發(fā)時(shí)間.原子發(fā)生光電效應(yīng)后處于激發(fā)態(tài),激發(fā)態(tài)是不穩(wěn)定的,假設(shè)t=0 時(shí)刻原子處于激發(fā)態(tài),則在以后的t時(shí)刻體系仍然停留在這個(gè)態(tài)的概率是

式中,τ是激發(fā)態(tài)平均存在時(shí)間,亦稱激發(fā)態(tài)壽命,其與激發(fā)態(tài)能級(jí)寬度Γ關(guān)系為

K層熒光分寬度ΓR與K層熒光產(chǎn)額的關(guān)系是[15]

對(duì)于Z>40 的元素,K層空穴態(tài)能級(jí)寬度半經(jīng)驗(yàn)公式為[15]

通過(8)式和(9)式得到K層熒光壽命τK為

可見,K 層熒光壽命隨原子序數(shù)增加快速下降,對(duì)已知的XFCT 應(yīng)用的最低原子序數(shù)的元素釓(Z64),K 層熒光壽命為0.03 ps.當(dāng)前對(duì)伽馬光子探測(cè)器時(shí)間分辨率要求最高的PET 設(shè)備的符合時(shí)間分辨率在百皮秒量級(jí)[19],遠(yuǎn)大于中高原子序數(shù)元素的K 層熒光退激發(fā)時(shí)間,因此,無法通過時(shí)間差別來分辨熒光與散射光子進(jìn)而減少散射背景.

3.3 熒光發(fā)射角分布與線偏振度

原子內(nèi)殼層熒光發(fā)射角分布和偏振態(tài)在理論和實(shí)驗(yàn)上已經(jīng)有很多研究[20?26]:若空穴態(tài)的總角動(dòng)量量子數(shù)J1/2,則熒光發(fā)射角分布各向同性且線偏振度為零[20];若J>1/2,則熒光發(fā)射一般各向異性并且部分偏振[22].因?yàn)镵 層空穴態(tài)J1/2[22],所以K 層空穴態(tài)發(fā)射熒光的角分布各向同性且線偏振度為零.L,M 等不同子層具有不盡相同的總角動(dòng)量量子數(shù),而且某些子層的空穴態(tài)會(huì)通過Coster-Kronig 躍遷將空穴轉(zhuǎn)移到其他子層,因此L,M 等殼層的空穴態(tài)發(fā)射熒光更加復(fù)雜多樣,剔除Coster-Kronig 效應(yīng)的影響后,不同子層空穴態(tài)發(fā)射熒光角分布與線偏振度也滿足上述角動(dòng)量規(guī)則[24].

4 XFCT 中的散射

4.1 散射光角分布

實(shí)驗(yàn)室參考系下單個(gè)自由電子與線偏振光的康普頓散射截面Klein-Nishina 公式為[25]

式中,r0是經(jīng)典電子半徑;k和k0分別是出射和入射光子能量,以電子靜質(zhì)量能為單位;e'和e分別是出射光偏振方向和入射光偏振方向; d?是立體角元.假設(shè)在出射方向n放置偏振器,該偏振器透光軸沿e'方向,一個(gè)偏振態(tài)為e的入射光子經(jīng)過康普頓散射到出射方向n,則該光子通過偏振器的概率正比于n方向上的 dσKN/d?[27].散射方向和偏振方向如圖2 所示,入射光沿Z軸正向入射,用矢量k0(|k0|k0)表示;散射光沿方向出射,用矢量k(|k|k)表示.e是描述入射光偏振方向的單位矢量,θ∠SOZ是散射角,φ∠AOX是散射的方位角.y和y'表示垂直于散射平面SOX的線偏振方向,x和x'表示平行于平面SOX的線偏振方向,位于平面x′Sy′內(nèi)的e'表示散射光的偏振方向,e'與y'夾角為β,顯然,x',y'和e'垂直kf.從圖2描述的幾何關(guān)系得到 (e·e′)2cos2β(1?sin2θcos2φ).

圖2 偏振康普頓散射示意圖Fig.2.Schematic diagram of polarized Compton scattering.

對(duì)出射光相互垂直的兩個(gè)偏振方向x'和y'的分截面求和得到入射光為線偏振光且不測(cè)量散射光偏振的實(shí)驗(yàn)中的截面[25]為

一般地,如果入射光是線偏振度為PL(0

式中,pp 表示部分偏振(partially polarized),相應(yīng)的圖2 中X軸方向取為入射光透過理想偏振片后的透射強(qiáng)度最大方向.注意到公式中k/k01/[1+k0(1?cosθ)] 與 方位角φ無關(guān),所以公式對(duì)φ積分后得到截面沿散射角θ的分布與線偏振度PL無關(guān),進(jìn)而總截面與PL無關(guān).

下面討論(14)式的最小值,做變換xk/k0,則

式中,x∈[1/(1+2k0),1].記(15)式右邊方括號(hào)內(nèi)的項(xiàng)為函數(shù)g(x,φ),則

?g/?x在x1/(1+2k0) 處的值為

令f(k0,a)0,得到k0關(guān)于a的唯一解,記為k0K(a).易知,當(dāng)f(k0,a)≤0 時(shí),方程h(x,a)0 在定義域內(nèi)存在唯一解,記為xX(a).討論函數(shù)(15)的最小值得到如下結(jié)論:若k0

由于K(1+PL)≥K(1)≈1.74,熒光CT 所用X 射線能量一般小于0.2 個(gè)電子靜能(100 keV),遠(yuǎn)小于K(1),所以最終得到截面最小值點(diǎn)對(duì)應(yīng)的θmin:

不同入射光能量下的截面最小點(diǎn)θmin隨偏振度P的變化如圖3 所示,可見熒光CT 所用的X光能量范圍內(nèi),微分截面最小值對(duì)應(yīng)散射角在90°附近.偏振度越高且入射能量越低,則θmin越接近90°.由于部分偏振光可以統(tǒng)計(jì)描述為完全偏振光(PL1 )和一個(gè)完全非偏振光(PL0)的疊加,所以最小微分截面方向接近入射光完全偏振成分的電矢量方向.

圖3 不同入射能量時(shí),θmin 隨線偏 振度變化Fig.3.θmin varying with polarization for different incident energy.

圖4 描述了不同入射能量下,微分截面最小值隨偏振度的變化.可見在熒光CT 成像的能量范圍內(nèi),隨入射光偏振度的增大,最小微分截面值減小.這為熒光CT 去散射提供了思路,即入射光偏振度越高,在θθmin,φ0 or π 處的康普頓散射本底越低.

圖4 不同入射能量時(shí)最小微分截面隨偏振度的變化Fig.4.Minimum differential cross section varying with polarization for different incident energy.

前面討論的情形是單個(gè)自由電子與入射光的康普頓散射截面,這種情形很理想,方便分析.實(shí)際上物質(zhì)中的電子都不是自由的,此時(shí),一個(gè)原子的總散射截面與其各個(gè)電子在自由狀態(tài)下散射截面的總和一般不相等,引入非相干散射函數(shù)S(q,Z),則一個(gè)原子的非相干散射微分截面為[29]

式中,Z是原子序數(shù);xsin(θ/2)/λ0,

λ0是入射光子波長(單位為?).非相干散射函數(shù)的理論計(jì)算方法和數(shù)值表可在相關(guān)文獻(xiàn)中查尋[30?33].非相干散射函數(shù)滿足 0 ≤S(x,Z)/Z≤1,對(duì)于低Z原子的散射,只有在x較小(軟X 射線或小角度散射,x<1 )時(shí),S(x,Z)/Z才顯著小于1.例如100 keV 入射光子,波長約為0.124 ?,入射到氧原子(Z8 ),散射角滿足θ<4?才使S(x,Z)/Z <0.5,實(shí)際實(shí)驗(yàn)中,入射光束總有發(fā)散角和寬度,在小散射角處測(cè)量熒光信號(hào)存在很強(qiáng)的入射光背景,所以實(shí)驗(yàn)設(shè)置應(yīng)該在較大角度處測(cè)量熒光信號(hào),因此在這個(gè)測(cè)量角度范圍內(nèi)單個(gè)自由電子微分截面最小值的分析依然是有效的,即考慮非相干散射函數(shù)后,入射光線偏振優(yōu)勢(shì)方向是依然是近似的散射強(qiáng)度最小點(diǎn).

單個(gè)自由電子的Klein-Nishina 散射微分截面公式在kk0→0 時(shí)得到單個(gè)自由電子的Thomson散射截面公式:

若入射光線偏振度為PL,則相應(yīng)的散射截面公式為

由(22)式易知,最小微分截面方向?yàn)棣圈?2 且φ0,π,所以最小微分截面方向?yàn)槿肷涔馔耆癯煞值碾娛噶糠较?從經(jīng)典電動(dòng)力學(xué)角度出發(fā)也可以得到相同的散射截面公式,即電子在入射光電場驅(qū)動(dòng)下振動(dòng)輻射電磁波.

一個(gè)原子的相干散射截面為[25]

其中F(x,Z) 是原子形狀因子,可通過文獻(xiàn)[30?32]查詢?cè)有螤钜蜃雍屠碚撚?jì)算方法.原子形狀因子隨x的變化趨勢(shì)與非相干散射函數(shù)相反,x越大F(x,Z) 越接近零,相反地,x趨于零時(shí)F(x,Z) 趨于Z.

根據(jù)(20)式和(23)式,一個(gè)原子的康普頓散射與相干散射微分截面的總和為

(20)式、(23)式和(24)式忽略光的偏振對(duì)原子形狀因子和散射因子的影響[26],所以根據(jù)(14)式和(22)式的最小值的討論,一個(gè)原子的總微分截面的最小值點(diǎn)一定滿足φ0,π.

一個(gè)分子的散射截面角分布為[34]

其中m(x) 表示分子干涉函數(shù);s(x) 和f(x) 表示采用獨(dú)立原子模型(independent atomic modelling,IAM)計(jì)算得到的非相干散射函數(shù)和分子形狀因子[33],即

其中Fi(x,Zi) 表示分子中第i種元素原子的形狀因子;Si(x,Zi) 表示第i種元素的非相干散射函數(shù);ni表示分子中第i種元素的原子個(gè)數(shù);m(x) 表示分子干涉函數(shù)[34].

計(jì)算得到水分子在方位角φ0,π 處的微分散射截面隨散射角θ的分布如圖5 所示.從圖5(a)可以看出,相干散射微分截面隨散射角增大快速減小,在大角度處,微分散射截面由主要由非相干散射貢獻(xiàn).由圖5(b)中總微分截面角分布隨線偏振度的變化可知,線偏振度越高,垂直方向散射的微分截面越小.PL0.5 時(shí)不同入射光能量下的總微分截面如圖5(c)所示,可見在XFCT 的光源能量范圍內(nèi),不同能量光子的水分子散射截面最小值均在入射光線偏振優(yōu)勢(shì)方向附近,且該方向上微分截面相近.

圖5 φ=0,π 處微分截面隨散射角變化 (a) PL=1 時(shí)相干、非相干和總微分截面;(b) 不同線偏振度時(shí)的總微分截面;(c) PL=0.5 時(shí)不同入射能量下的總微分截面Fig.5.Differential cross section varying with θ at φ=0,π :(a) Incoherent,coherent and total differential cross section at PL=1 ;(b) total differential cross section varying with θ for different PL ;(c) total differential cross section varying with θ for different incident energy at PL=0.5.

4.2 散射光的偏振

聯(lián)系康普頓散射前后光束Stokes 矢量的變換矩陣T為[25]

其中k0k0n0,kkn,S是電子初始自旋方向,n0是入射光動(dòng)量方向,n是散射光動(dòng)量方向.在各向同性材料中,電子初始自旋方向的平均值為0,所以矩陣T中含S的矩陣元為零.在變換矩陣T成立的坐標(biāo)系中要求垂直散射平面方向完全線偏振光的歸一化Stokes 矢量為即y和y'軸垂直于散射平面,由圖2 易知,坐標(biāo)系xOy可 由XOY繞OZ軸旋轉(zhuǎn)ψ?φ得 到,則 由(4a)式、(4b)式和(4c)式可知,在XOY坐標(biāo)系內(nèi)Stokes 矢量為的入射光轉(zhuǎn)換到坐標(biāo)系xOy后歸一化Stokes 矢量變?yōu)?/p>

在各向同性材料某點(diǎn)發(fā)生康普頓散射后,散射光Stokes 矢量變?yōu)?[If,ζ′]T,即:

由(29)式亦可得到散射光偏振的主方向與散射平面法向夾角β,符號(hào)規(guī)定為:迎著光子動(dòng)量方向,在表示散射光偏振的局部坐標(biāo)系x′Sy′內(nèi),y'軸以最小角度旋轉(zhuǎn)到e',若其旋轉(zhuǎn)方向?yàn)轫槙r(shí)針,則β為正,否則為負(fù).規(guī)定β的符號(hào)后,在局部坐標(biāo)x′Sy′旋轉(zhuǎn)β角得到的新坐標(biāo)系中,散射光Stokes矢量的第二個(gè)分量應(yīng)達(dá)到正的最大值,據(jù)此條件可求得

其中函數(shù) a tan2(y,x) 為雙參數(shù)反正切函數(shù).

在φ0 or π 散射平面上散射光的歸一化Stokes矢量、線偏振度和偏振主方向角為β分別為

特別地,在θπ/2,φ0,π 散射方向上散射光的歸一化Stokes 矢量和線偏振度為

圖6 展示了在不同入射光能量下φ0,π 散射平面內(nèi)隨散射角θ的變化.圖7 展示了不同能量下θπ/2,φ0,π 散射方向上散射光線偏振度隨入射光線偏振度的變化.若入射光為完全線偏振光(1 ),則θπ/2,φ0,π 散射方向上散射光的線偏振度為零,這與(12)式是相符的.從圖6 可以看出,在XFCT 所涉及的能量范圍內(nèi),相同散射角處不同能量下散射光線偏振度差距較小,而在θπ/2 附近,部分偏振的入射光,其散射光也具有較高偏振度.從圖7 可知,只有當(dāng)入射光線偏振度接近完全線偏振時(shí),θπ/2 的散射光的偏振度才顯著降低.

圖6 φ=0 or π 處 隨散 射角變化Fig.6. varying with θ at φ=0, π.

圖7 不同能量下 θ =π/2,φ=0, π 處散射光線偏振度隨入射光線偏振度變化Fig.7.The linear polarization of scattering photons varying with at θ =π/2,φ=0, π for different incident energy.

從(30)式、(31)式和(32a)式可知:完全非偏振入射光的散射光的偏振主方向始終垂直于散射平面,部分偏振入射光的散射光偏振;部分偏振入射光在φ0,π 平面內(nèi)的散射光偏振度是散射角的函數(shù),且存在兩個(gè)零點(diǎn),左零點(diǎn)左側(cè)和右零點(diǎn)的右側(cè)偏振優(yōu)勢(shì)方向平行于散射平面,在兩個(gè)零點(diǎn)之間,偏振優(yōu)勢(shì)方向垂直于散射平面,在兩個(gè)零點(diǎn)處散射光完全非偏振;在φ0,π 散射平面內(nèi),完全線偏振入射光的散射光在θπ/2 時(shí)的偏振優(yōu)勢(shì)方向均平行于散射平面,在θπ/2 時(shí)散射光完全非偏振.

根據(jù)以上關(guān)于散射光的線偏振度及熒光線偏振度的分析,并假設(shè)存在理想的X 光偏振片,因?yàn)镵 層熒光的線偏振度為零,K 層熒光經(jīng)過理想偏振片后減少50%,而散射光具有一定線偏振度,比如當(dāng)入射光完全非偏振時(shí),在單個(gè)自由電子這個(gè)理想的情況下,垂直于入射光方向的散射光的線偏振度可達(dá)到90%,經(jīng)過理想偏振片后散射光可減少95%,因此,在經(jīng)過偏振片后,雖然熒光強(qiáng)度減半,但是熒光強(qiáng)度與散射強(qiáng)度比值即信噪比在理想情況下可提高十倍,所以在原理上,散射光的線偏振度和K 層熒光線偏振度的差異可用于提高熒光CT 成像的信噪比.

5 結(jié)論

本文分析了XFCT 的物理過程及其性質(zhì).計(jì)算熒光退激發(fā)時(shí)間和熒光產(chǎn)額發(fā)現(xiàn),中高Z元素?zé)晒猱a(chǎn)額基本飽和,而熒光退激發(fā)時(shí)間遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于現(xiàn)有探測(cè)器時(shí)間分辨率,因此,熒光退激發(fā)時(shí)間無法用于分辨散射光與熒光,提高原子序數(shù)可以增加熒光的能量,熒光能量越高,其穿透性越強(qiáng),有助于提高探測(cè)到的熒光光子數(shù),減小統(tǒng)計(jì)噪聲,提高信噪比.偏振光源有助于減少康普頓散射背景,入射光偏振度不影響康普頓散射總截面,但對(duì)截面的角分布有影響,部分偏振入射光在偏振方向附近具有最小的散射截面,在此方向上探測(cè)熒光光子有助于降低康普頓散射背景,并且對(duì)于完全非偏振或部分偏振的入射光,在大部分方向上的散射光仍然具有一定的線偏振度,而K 層熒光線偏振度為零,因此熒光和散射光線偏振度差異可以用于進(jìn)一步降低熒光探測(cè)中的康普頓散射背景,由于實(shí)際成像過程的復(fù)雜性,通過偏振性質(zhì)來減少散射背景需要進(jìn)一步模擬和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證.