基于對勾函數的新型天然氣壓縮因子計算關聯式

王藝晨 葉繼根 吳淑紅

中國石油勘探開發(fā)研究院

天然氣壓縮因子(Z因子)是石油天然氣工業(yè)中最重要的流體物性參數之一。在油氣藏工程領域，準確計算出天然氣的壓縮因子，對于天然氣儲量計算、開發(fā)方案編制和開發(fā)指標預測至關重要。一旦天然氣壓縮因子計算結果不夠準確，就會使儲量計算結果存在較大誤差，油氣開采也會遭受一定的經濟損失[1]。因此，在礦場實踐中快速而又準確地確定天然氣壓縮因子尤為關鍵。

確定天然氣壓縮因子的方法分為實驗測定法、圖版法和計算法。實驗測定法雖然直接可靠，但是具有周期長、成本高和費時費力的缺點；圖版法則存在人工讀值誤差，難以保證精度；而計算法簡單實用，得到了廣泛運用。計算法又可分為隱式計算法和顯式計算法。隱式計算法是指利用狀態(tài)方程擬合天然氣壓縮因子數據、進而得到隱式計算公式的方法，例如Hall和Yarborough[2]利用Starling-Carbahan狀態(tài)方程擬合壓縮因子數據得出的HY方法、Dranchuk等[3]利用BWR狀態(tài)方程得出的DPR方法、Dranchuk和Abou-Kassem[4]利用BWRS狀態(tài)方程得出的DAK方法。這3種經典方法雖然在0.2≤ppr≤15范圍內具有較高的計算精度，但是在15

為了提高0.2≤ppr≤30壓力范圍內天然氣壓縮因子的計算精度與計算效率，本研究基于天然氣壓縮因子圖版的曲線形態(tài)，利用非線性曲面擬合的方法，選擇對勾函數對壓縮因子圖版進行整體擬合，提出了一種新型天然氣壓縮因子顯式計算公式，以期為礦場實踐提供一種快速準確的天然氣壓縮因子預測方法。

1 天然氣壓縮因子圖版特征

1942年，Standing和Katz[12-13]基于對應狀態(tài)原理，根據實驗數據繪制了天然氣壓縮因子圖版(見圖1、圖2)。此后，該圖版成為石油行業(yè)中天然氣壓縮因子的標準圖版。大多數天然氣壓縮因子計算模型都是根據Standing-Katz圖版回歸擬合而成[9]，但是復雜的曲線形態(tài)給天然氣壓縮因子計算公式的擬合造成了極大的困難。

由于未能找到恰當的函數來擬合整個Standing-Katz圖版(見圖1和圖2)，學者們通常只選取圖版中某一規(guī)律性較強的區(qū)域中的壓縮因子數據進行擬合。由于選取的數據點不同，采用的擬合方法也不同，導致各種計算模型的計算精度及適用條件也不盡相同。例如Heidaryan等[10]僅使用0.2≤ppr≤15、1.2≤Tpr≤3.0范圍內的1 220組數據進行擬合，因此提出的經驗公式在15

由圖1可以看出，天然氣壓縮因子在0.2≤ppr≤15.0、1.05≤Tpr≤3.00條件下與擬對比壓力、擬對比溫度之間呈現出復雜的非線性函數關系。在各條等溫線上，壓縮因子隨著擬對比壓力的增大均呈現先減小后增大的趨勢；在曲線上升段，擬對比壓力越大，壓縮因子與擬對比壓力的關系越趨近于線性關系。由圖2可知，當150)的一類函數，因其一般函數圖像形似兩個關于直角坐標系原點中心對稱的對勾而得名。

選取中低壓圖版和高壓圖版上Tpr=1.4、1.6、1.8、2.0、2.2、2.4、2.6、2.8八條等溫線的數據合為一個整體，繪制出三維曲面圖(見圖3)。由圖3可以看出，曲面形態(tài)十分光滑，無明顯間斷和突變。因此，天然氣壓縮因子的中低壓圖版和高壓圖版有著較好的連續(xù)性，無需分區(qū)進行研究，可利用三維對勾曲面函數對圖版曲面進行整體擬合，嘗試解決壓縮因子圖版擬合困難的問題。

2 公式擬合

Poettman 和Carpenter[18]、Katz等[13]和Smith[19]分別給出了中低壓圖版(見圖1)的數值化結果，共計5 940個數據點。經過研究比對，上述學者給出的數值化結果中有7個數據點疑似有誤，因為在這些點處壓縮因子數值存在突變的情況。文獻[6]和文獻[17]僅對其中5個有誤的數據點進行了更正，需要補充完善。根據附近數據點的取值和壓縮因子圖版的曲線延伸趨勢，對這7個有誤的壓縮因子數據做出改正，如表1所列。

表1 壓縮因子數據點的改正Tprppr文獻[18]中的Z值文獻[13]中的Z值文獻[19]中的Z值改正的Z值1.202.500.4190.5190.5190.5191.800.250.9980.9980.9880.9881.057.650.9870.9870.9870.9771.158.500.0461.0461.0461.0461.1014.351.6501.6501.6501.6541.307.050.8940.8940.8970.8942.602.800.9660.9960.9660.996

將高壓圖版(見圖2)進行數值化處理，得到1 048組數據。基于改正后的中低壓天然氣壓縮因子圖版數值化結果和高壓天然氣壓縮因子圖版數值化結果(總計6 988組數據)，以ppr和Tpr為自變量，以Z為因變量，以對勾曲面函數為目標函數，利用Matlab編寫相關程序，進行大量的非線性曲面擬合，最終得到0.2≤ppr≤30.0、1.05≤Tpr≤3.00范圍內天然氣壓縮因子計算模型，見式(1)～式(4)：

(1)

(2)

(3)

(4)

式中：Z為天然氣壓縮因子，無量綱；ppr為天然氣擬對比壓力，無量綱；Tpr為天然氣擬對比溫度，無量綱；a1～a18為擬合系數，無量綱。

根據非線性最小二乘擬合的結果，式(2)～式(4)中系數a1～a18的值如表2所列。

表2 計算模型中的系數值系數擬合值系數擬合值a10.060 53a103.941 32a20.250 11a11-15.453 89a3-0.006 50a121.794 60a43.763 35a13-0.006 77a56.919 30a14-0.001 16a6-39.801 13a155.897 69a738.344 47a166.111 33a8-8.810 56a170.391 16a90.554 71a18-0.404 03

利用數理統計學中的平均絕對誤差Ea、平均相對誤差Er和均方根誤差Erms來評價擬合效果，其計算公式見式(5)～式(7)。天然氣壓縮因子圖版20條等溫線擬合效果如表3所列。

(5)

(6)

(7)

表3 各條等溫線的擬合效果TprEaErErms1.050.022 570.045 750.032 761.100.011 420.017 830.015 841.150.008 070.010 850.012 291.200.009 890.013 020.015 131.250.012 550.015 590.017 181.300.015 060.018 580.019 621.350.013 670.016 630.018 261.400.012 340.012 130.019 531.450.011 640.013 220.014 881.500.009 420.010 440.012 141.600.007 250.006 210.010 211.700.003 310.003 570.004 631.800.005 640.004 160.009 021.900.005 760.005 550.007 952.000.009 130.007 610.013 972.200.013 480.011 570.020 332.400.016 410.014 240.024 432.600.018 640.016 070.026 742.800.021 070.017 790.029 683.000.021 690.019 890.026 85所有等溫線0.012 510.013 590.017 57

式中：ZCal為天然氣壓縮因子計算值，無量綱；ZMea為天然氣壓縮因子實測值，無量綱。

根據表3中的統計學指標，從Ea上來看，20條等溫線的Ea均較小，均在0.003 3～0.022 6之間；從Er上來看，1.10≤Tpr≤3.00，19條等溫線的Er值較小，均在0.02以下，Tpr=1.05時，Er值稍大，但也在誤差允許的范圍內(0.05以下)；從Erms上來看，20條等溫線的Erms值均較小，均在0.004 6～0.032 8之間。因此，利用式(1)～式(4)對Standing-Katz圖版數據進行擬合能夠取得良好的效果。

3 實例驗證

為了檢驗本研究中提出的新型天然氣壓縮因子計算方法在實際應用中的準確程度，選用Satter和Campbell[20]、Buxton和Campbell[21]發(fā)表的237組中低壓條件下壓縮因子的實測數據以及郭緒強等[22-23]發(fā)表的219組高壓條件下壓縮因子的實測數據作為驗證實例。表4給出了上述作為驗證實例的天然氣試樣的組成數據。

由于上述天然氣試樣中含有非烴類組分，因此需要使用Wichert-Aziz校正方法對天然氣的擬臨界壓力和擬臨界溫度予以校正[24]，其計算公式如下：

表4 天然氣樣品的組成數據組分摩爾分數最大值最小值平均值CO20.201 600.002 380.061 19N20.032 280.003 390.012 60H2S0.197 000.047 000.100 00CH40.929 950.584 100.824 34C2H60.286 700.033 230.080 39C3H80.028 680.011 500.021 22i-C4H100.010 770.002 570.005 99n-C4H100.007 780.002 600.005 02i-C5H120.002 810.000 890.001 71n-C5H120.001 630.000 570.001 02n-C6H140.001 450.000 320.000 74n-C7H160.001 330.000 000.000 51n-C8H180.000 690.000 000.000 22

(8)

(9)

ε=[120(M0.9-M1.6)+15(N0.5-N4)]/1.8

(10)

將本研究提出的新型天然氣壓縮因子計算方法以及胡建國、張立俠、Beggs-Brill、Papay、Mahmoud方法的計算結果進行比較，如圖4所示。利用平均絕對誤差Ea、平均相對誤差Er和均方根誤差Erms來分別評價中低壓條件和高壓條件下各方法計算結果與實測值之間的誤差，結果如表5所列。

由圖4可以直觀地看出，本研究提出的新型天然氣壓縮因子計算方法的計算結果數據點均勻而又緊密地分布在零誤差線周圍，說明計算結果與實測值接近，計算結果準確程度較高，而其他方法的計算結果數據點分布散亂且距離零誤差線較遠，計算精度和計算穩(wěn)定性較差。

由表5中的統計學指標可知，在中低壓條件下，本研究提出的新型天然氣壓縮因子計算方法的Ea值、Er值和Erms值均小于胡建國、張立俠、Beggs-Brill、Papay和Mahmoud方法；在高壓條件下，本研究提出的新型天然氣壓縮因子計算方法的Ea值、Er值和Erms值與胡建國方法、張立俠方法相近，小于Beggs-Brill、Papay和Mahmoud方法；總的來看，本方法的Ea值僅為0.018 95，Er值僅為0.015 08，Erms值僅為0.024 19，小于其他5種顯式或隱式的天然氣壓縮因子計算方法。因此，本研究提出的顯式計算公式更為準確，計算穩(wěn)定性更高，在0.2≤ppr≤30.0壓力范圍內均具有較高的計算精度。

表5 誤差分析計算方法中低壓條件高壓條件全部壓力條件EaErErmsEaErErmsEaErErms本方法0.011 520.013 060.014 730.026 980.017 270.031 350.018 950.015 080.024 19胡建國0.149 920.176 580.222 880.027 460.017 230.030 820.091 110.100 050.162 09張立俠0.050 220.056 190.058 470.027 390.017 300.030 640.039 260.037 510.047 20Beggs-Brill0.021 690.023 000.025 470.058 910.035 940.070 780.039 560.029 220.052 37Papay0.545 930.591 090.583 160.425 070.262 480.543 270.487 880.433 270.564 35Mahmoud0.046 960.048 230.071 950.960 640.581 951.140 190.485 770.304 560.791 86

4 結論

(1) 基于Standing-Katz天然氣壓縮因子圖版的曲線形態(tài)，將中低壓圖版和高壓圖版視為一個整體，采用非線性曲面擬合的方法，得到了一種對勾函數形式的新型天然氣壓縮因子顯式計算公式。擬合值與圖版值的平均絕對誤差僅為0.012 51，平均相對誤差僅為0.013 59，均方根誤差僅為0.017 57。本研究提出的方法擬合Standing-Katz圖版數據效果良好，能夠較為準確地表征圖版數據。

(2) 實例驗證結果表明，本方法的計算結果值與456組中低壓或高壓條件下的實測天然氣壓縮因子數據最為接近，平均絕對誤差僅為0.018 95，平均相對誤差僅為0.015 08，均方根誤差僅為0.024 19，優(yōu)于其余5種常用的顯式或隱式計算方法。本方法在實際應用中的準確程度較高，適用范圍更廣。本方法推薦使用的壓力溫度條件為：0.2≤ppr≤30.0、1.05≤Tpr≤3.00。

(3) 本研究提出的新型天然氣壓縮因子計算方法形式簡單，在計算時無需分區(qū)，也無需編程迭代，計算精度和計算效率較高。利用該方法能夠在礦場實踐中快速且準確地對天然氣壓縮因子進行預測。