基于一類迭代方程可微性解存在探討

胡國興

(合肥幼兒師范高等?？茖W(xué)校，安徽 合肥 230013)

0 引言

1 基本概念和相關(guān)引理

1.1 基本概念

不動點(diǎn)是一個函數(shù)術(shù)語，在數(shù)學(xué)中是指“被一個函數(shù)映射到其自身一個點(diǎn)”。用數(shù)學(xué)語言描述為:給定函數(shù)f:R→R，如果x∈R使f(x)=x，稱x為f的一個不動點(diǎn)。一般地，若y=f(u),又u=g(x)，則函數(shù)y=f(g(x))叫x的復(fù)合函數(shù)[5]，其中y=f(u)叫外層函數(shù)，u=g(x)叫內(nèi)層函數(shù)，x為自變量，y為因變量，u為中間變量。函數(shù)f和g的復(fù)合運(yùn)算也可簡單寫作f°g。簡言之:復(fù)合函數(shù)就是把一個函數(shù)中的自變量換成另一個函數(shù)所得的新函數(shù)。復(fù)合函數(shù)也可以由多個函數(shù)相繼復(fù)合而成。

迭代[6]即重復(fù)執(zhí)行一系列運(yùn)算步驟,從前面的量依次求出后面的量的過程。此過程的每一次結(jié)果,都是由對前一次所得結(jié)果施行相同的運(yùn)算步驟得到的。用數(shù)學(xué)語言描述為：設(shè)I是任意一個區(qū)間,函數(shù)f:I→I，將f反復(fù)地復(fù)合，產(chǎn)生f2(x)=f°f(x)，f3(x)=f°f°f(x)。一般地，fn(x)=f°fn-1(x)(n≥3)。則fn為f的第n次迭代。設(shè)函數(shù)φ在點(diǎn)t處可導(dǎo)，函數(shù)f在點(diǎn)x=φ(t)處可導(dǎo)，那么復(fù)合函數(shù)f°φ在點(diǎn)t處可導(dǎo)，并且(f°φ)′(t)=(f′°φ(t))φ′(t)，即稱為復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t。

1.2 相關(guān)引理

引理1[6]若f°f有唯一的不動點(diǎn), 則f也有唯一的不動點(diǎn)。

證明設(shè)函數(shù)f°f有唯一的不動點(diǎn)a,即f°f(a)=a。再設(shè)f(a)=b,則f(b)=f°f(a)=a,f°f(b)=f(a)=b,所以b也是f°f的不動點(diǎn),又因?yàn)閒°f有唯一的不動點(diǎn),故b=a。從而f(a)=a,即a是f的不動點(diǎn)。如果f還有不動點(diǎn)c,則f°f(c)=c,則c也是f°f的不動點(diǎn),由唯一性得c=a,所以a是f唯一的不動點(diǎn)。

引理2[6]設(shè)f:R→R,若f°f有且僅有兩個不動點(diǎn)a,b(a≠b),只有以下兩種情況：1)a,b都是f的不動點(diǎn);2)f(a)=b,f(b)=a。

證明1)如果a,b都是f的不動點(diǎn),它們顯然也是f°f的不動點(diǎn)。

2)如果不是1)的情況,則a,b中必有一個不是f的不動點(diǎn)。不妨設(shè)a不是f的不動點(diǎn),令f(a)=c≠a，由于f(c)=f(f(a))=a,f°f(c)=f(a)=c。這就說明c也是f°f的不動點(diǎn)。由于c≠a,因此必有c=b，由此即得f(a)=b,f(b)=a。

引理3 設(shè)f:R→R,若f°f有且僅有三個不動點(diǎn)a,b,c(a≠b≠c),只有以下四種情況：

1)a,b,c都是f的不動點(diǎn)

2)f(a)=b,f(b)=a,f(c)=c

3)f(a)=a,f(b)=c,f(c)=b

4)f(a)=c,f(b)=b,f(c)=a

證明1)如果a,b,c都是f的不動點(diǎn),它們顯然也是f°f的不動點(diǎn)。

2)若f(a)=b，則f(b)=a，由于(f°f)(f(c))=f(f°f(c))=f(c)。所以f(c)也是f°f的不動點(diǎn)，因此f(c)必等于a,b,c之一。但顯然f(c)=a或f(c)=b都會導(dǎo)致矛盾，從而必有f(c)=c。即f(a)=b,f(b)=a,f(c)=c。

3)同理，若f(b)=c，則f(c)=b,從而必有f(a)=a。

4)同理，若f(a)=c，則f(c)=a,從而必有f(b)=b。

2 迭代方程可微性解存在性分析

2.1 映射g有一個不動點(diǎn)的情形

定理1 若g只有唯一不動點(diǎn)a,且g′(a)<0,則f°f=g無可微解。

證明假定存在可微函數(shù)f使得f°f=g,則由引理1知f也有唯一的不動點(diǎn)，即f(a)=a。按復(fù)合函數(shù)微商法則，得[f′(a)]2=f′(f(a))·f′(a)=(f°f)′(a)=g′(a)<0，顯然這是不可能成立的。故f°f=g無可微解。

例1 在R上不存在可導(dǎo)函數(shù)f,使其滿足f°f(x)=-x3+x2+1。

證明事實(shí)上，對于函數(shù)g(x)=-x3+x2+1,g(x)-x=-(x-1)(x2+1)，顯然g(x)-x=0只有一個實(shí)根，這表明g(x)只有唯一的不動點(diǎn)x=1。又g′(x)=-3x2+2x，故g′(1)=-1<0，由此可見g(x)滿足定理1的條件，從而結(jié)論得證。

2.2 映射g有兩個不動點(diǎn)的情形

定理2 若函數(shù)g恰有兩個不動點(diǎn)a,b且1)g′(a)≠g′(b);2)g′(a)<0或g′(b)<0，則f°f=g無可微解。

證明假定存在可微函數(shù)f使得f°f=g，則由引理2有以下兩種情況：

1)f(a)=a,f(b)=b

2)f(a)=b,f(b)=a

首先考慮第一種情況，按復(fù)合函數(shù)微商法則，可以得到

[f′(a)]2=f′(f(a))·f′(a)

=(f°f)′(a)=g′(a)<0

或 [f′(b)]2=f′(f(b))·f′(b)=(f°f)′(b)

=g′(b)<0

顯然這是不可能的，故f°f=g無可微解。

然后看第二種情況，按復(fù)合函數(shù)微商法則，有

g′(a)=f′(f(a))·f′(a)=f′(b)·f′(a)

g′(b)=f′(f(b))·f′(b)=f′(a)·f′(b)

由此得g′(a)=g′(b)，與題設(shè)g′(a)≠g′(b)矛盾。故f°f=g無可微解。

例2 在R上不存在可導(dǎo)函數(shù)f,使其滿足f°f(x)=x2-3x+3。

證明事實(shí)上，對于函數(shù)g(x)=x2-3x+3，g(x)-x=(x-1)(x-3)，顯然g(x)-x=0有兩個實(shí)根,這表明g(x)有兩個不動點(diǎn)x=1，x=3。又g′(x)=2x-3，故g′(1)=-1<0,g′(3)=3>0。由此可見g(x)滿足定理2的條件，從而結(jié)論得證。

2.3 映射g有三個不動點(diǎn)的情形

定理3 若函數(shù)g恰有三個不動點(diǎn)a,b,c且g′(c)<0;g′(c)≠g′(b);g′(c)≠g′(a)，則f°f=g無可微解。

證明假定存在可微函數(shù)f使得f°f=g,則由引理3有以下四種情況：

1)f(a)=a,f(b)=b,f(c)=c

2)f(a)=b,f(b)=a,f(c)=c

3)f(a)=a,f(b)=c,f(c)=b

4)f(a)=c,f(b)=b,f(c)=a

先考慮前兩種情況，按復(fù)合函數(shù)微商法則，得到

[f′(c)]2=f′(f(c))·f′(c)=(f°f)′(c)

=g′(c)<0

這是不可能的，故f°f=g無可微解。

然后看第三種情況，按復(fù)合函數(shù)微商法則，有

g′(b)=f′(f(b))·f′(b)=f′(c)·f′(b)

g′(c)=f′(f(c))·f′(c)=f′(b)·f′(c)

由此應(yīng)有g(shù)′(c)=g′(b)，與題設(shè)g′(c)≠g′(b)矛盾。故f°f=g無可微解。

最后看第四種情況，按復(fù)合函數(shù)微商法則，有

g′(a)=f′(f(a))·f′(a)=f′(c)·f′(a)

g′(c)=f′(f(c))·f′(c)=f′(a)·f′(c)

由此應(yīng)有g(shù)′(c)=g′(a)，與題設(shè)g′(c)≠g′(a)矛盾。故f°f=g無可微解。

例3 在R上不存在可導(dǎo)函數(shù)f,使其滿足f°f(x)=-x3+5x2-5x。

證明對于函數(shù)g(x)=-x3+5x2-5x，g(x)-x=-x3+5x2-6x=-x(x-2)(x-3)。顯然g(x)-x=0有三個實(shí)根，這表明g(x)有三個不動點(diǎn)x=0，x=2，x=3。又g′(x)=-3x2+10x-5，故g′(0)=-5<0，g′(2)=3，g′(3)=-2。由此可見g(x)滿足定理3的條件，從而結(jié)論得證。

例4 在R上不存在可導(dǎo)函數(shù)f,使其滿足f°f(x)=x3-5x2+3x+8。

證明函數(shù)g(x)=x3-5x2+3x+8，g(x)-x=x3-5x2+2x+8=(x+1)(x-2)(x-4)。顯然g(x)-x=0有三個實(shí)根，這表明g(x)有三個不動點(diǎn)x=-1，x=2，x=4。又g′(x)=3x2-10x+3，故g′(-1)=16，g′(2)=-5<0，g′(4)=11。由此可見g(x)滿足定理3的條件，從而結(jié)論得證。

3 結(jié)論

文章從可微函數(shù)f不存在這個方面討論了一類迭代方程的可微解，得到這類方程可微解不存在的條件，利用這些條件可以很方便的判斷出滿足f°f=g的可微函數(shù)f都不存在。從f°f=g有一個不動點(diǎn)的情形開始討論，逐漸推廣到f°f=g有二個和三個不動點(diǎn)的情形，并分別舉例加以驗(yàn)證。然而對于很多的函數(shù)g，滿足f°f=g的可微函數(shù)f都不存在。一方面如何找到更多的函數(shù)g,滿足f°f=g的可微函數(shù)f都不存在；另一方面，能否找到這樣一組條件，使得只要函數(shù)g滿足這組條件，就一定存在函數(shù)f使f°f=g，將是后續(xù)需要研究的課題。