談?wù)労瘮?shù)奇偶性的應(yīng)用

鄒大博

函數(shù)奇偶性是函數(shù)的重要性質(zhì)之一，是指對(duì)于函數(shù)f（x），若定義域內(nèi)任意的x，都有f（-x）=-f（x），則函數(shù)f（x）為奇函數(shù);若都有f（-x）=f（x），則該函數(shù)f（x）為偶函數(shù).函數(shù)的奇偶性在高中數(shù)學(xué)解題中應(yīng)用廣泛，尤其在解不等式、求函數(shù)的值、求函數(shù)解析式時(shí)應(yīng)用較多.對(duì)此，筆者就函數(shù)奇偶性在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用進(jìn)行了探討，以期對(duì)同學(xué)們解題有所助益.

一、利用函數(shù)的奇偶性解不等式

有些不等式問(wèn)題較為復(fù)雜，很難快速找到解題的突破口，此時(shí)不妨仔細(xì)分析不等式左右兩邊式子的結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，將不等式問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題，再利用函數(shù)的奇偶性去處理，這樣便可使不等式問(wèn)題順利獲解.

例1.求證：??? .

分析：此不等式若直接證明十分棘手，可結(jié)合不等式的特點(diǎn)構(gòu)造出一個(gè)函數(shù)，利用偶函數(shù)的性質(zhì)將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，則可以輕松證明結(jié)論.

證明：設(shè)，

因?yàn)椋?/p>

所以f（x）為偶函數(shù).

當(dāng)x>0時(shí)，，可知f（x）<0;

當(dāng)x<0時(shí)，-x>0，f（x）=f（-x）&lt;0，

綜上所述，當(dāng)x≠0時(shí)，恒有f（x）<0，

即??? .

利用函數(shù)奇偶性解答不等式問(wèn)題的關(guān)鍵在于，結(jié)合不等式的結(jié)構(gòu)特征構(gòu)造具有奇偶性的函數(shù)，以便利用函數(shù)的奇偶性將問(wèn)題加以轉(zhuǎn)化.

二、利用函數(shù)的奇偶性求函數(shù)的值

求函數(shù)的值問(wèn)題是函數(shù)中的常見(jiàn)題目，常以選擇題或填空題的形式出現(xiàn).此類問(wèn)題中常含有參數(shù)，為了快速求得函數(shù)的值，我們可以利用函數(shù)的奇偶性，將f（-x）用±f（x）來(lái)替換，將函數(shù)式作整體處理，進(jìn)而求得函數(shù)的值.這樣不僅可以避免逐步討論、求解參數(shù)的值，還可以簡(jiǎn)化運(yùn)算，有利于提升解題的效率.

例2.若??? （其中a，b，c為常數(shù)），且f（-2）=5，試求f（2）的值.

分析：本題直接求函數(shù)f（2）的值較為困難，可結(jié)合f（x）表達(dá)式的特點(diǎn)，將含x的一部分構(gòu)造成具有奇偶性的函數(shù)，利用函數(shù)的奇偶性進(jìn)行處理，則不難求出函數(shù)f（2）的值.

解：設(shè)，

則，

易知g（x）為奇函數(shù)，故有g(shù)（-2）=-g（2），

又因?yàn)閒（x）=g（x）+x2，

則

將兩式相加可得f（-2）+f（2）=8，

因?yàn)閒（-2）=5，所以f（2）=3.

三、利用函數(shù)的奇偶性求函數(shù)的解析式

求解函數(shù)的解析式問(wèn)題的方法較多，利用函數(shù)奇偶性是常用的方法.在求函數(shù)的解析式時(shí)，要首先根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義判斷函數(shù)的奇偶性，然后將f（-x）用±f（x）來(lái)替換，這樣便能快速求得函數(shù)的解析式.

例3.已知f（x）與g（x）的定義域是，若f（x）是偶函數(shù)，g（x）是奇函數(shù)，且??? .試求f（x）與g（x）的解析式.

解：因?yàn)閒（x）是偶函數(shù)，所以f（-x）=f（x），

因?yàn)間（x）是奇函數(shù)，所以g（-x）=-g（x），

因?yàn)椋?/p>

所以①.

由已知可得②.

由①+②可得，

所以，

所以??? .

若已知函數(shù)是偶函數(shù)或奇偶數(shù)，則根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義f（-x）=-f（x）或f（-x）=f（x）進(jìn)行代換，便不難求出函數(shù)的解析式.在這一過(guò)程中，我們要注意把握奇函數(shù)或偶函數(shù)的定義域.

總之，對(duì)于某些較為復(fù)雜的函數(shù)問(wèn)題，同學(xué)們?nèi)裟軓暮瘮?shù)的奇偶性入手，往往可以拓寬解題的思路.所以，在平時(shí)的學(xué)習(xí)中，同學(xué)們要熟練掌握函數(shù)的性質(zhì).

（作者單位：江蘇省江浦高級(jí)中學(xué)）