運用同構(gòu)法解題的步驟

焦學(xué)剛

同構(gòu)法是指通過構(gòu)造同構(gòu)式建立函數(shù)模型，利用函數(shù)的圖象和性質(zhì)來解答問題的方法.具有相同結(jié)構(gòu)的兩個代數(shù)式稱為同構(gòu)式.同構(gòu)法常用于解答較為復(fù)雜的代數(shù)問題.運用同構(gòu)法解題，能達到出奇制勝的效果.

運用同構(gòu)法解題的常規(guī)思路是：（1）將不等式或方程合理進行變形，得到同構(gòu)式;（2）根據(jù)同構(gòu)式的特點構(gòu)造函數(shù)模型;（3）明確函數(shù)的某些性質(zhì)，借助這些性質(zhì)將方程或不等式化簡，從而得到新的關(guān)系式，求得問題的答案.

下面舉例說明.

例 1.若實數(shù) t ≥2，則下列不等式中一定成立的是（）.

分析：觀察 A，B，D 三個選項，我們可以發(fā)現(xiàn)它們左右兩邊的式子均為同構(gòu)式，可以運用同構(gòu)法來解題.分別根據(jù)三個不等式的特點構(gòu)造出對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)模型，然后利用對數(shù)、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性來判斷它們的正確性.對于 C 選項，可通過取特殊值來判斷不等式是否成立.

綜上，本題應(yīng)選ABD三項.

例 2.已知θ∈[0，2π），若關(guān)于 k 的不等式? 上恒成立，則θ的取值范圍為_____.

分析：我們觀察已知不等式可以發(fā)現(xiàn)，該不等式左右式子的結(jié)構(gòu)比較類似，可將不等式變形為同構(gòu)式，構(gòu)造函數(shù) ，再利用函數(shù)的單調(diào)性建立新的不等式便可解題.

解：將 變形可得 ，

例 3.已知實數(shù) x1，x2滿足? ，則 x1 x2= ____.

分析：可將已知的兩個關(guān)系式轉(zhuǎn)化為結(jié)構(gòu)相同的形式，然后構(gòu)造函數(shù) ，借助函數(shù)的單調(diào)性建立關(guān)于 x1，t 的關(guān)系式，即可解題.

解法一：實數(shù) ，

解法二：

在 的兩邊取對

數(shù)得

這兩種解法在本質(zhì)上是相同的，解題的關(guān)鍵是對已知等式進行變形，使其結(jié)構(gòu)相同，然后構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性求解.

例 4.設(shè)實數(shù)λ>0若對任意的 x ∈（1，+∞） ，不等式 恒成立，求λ的最小值.

分析：可考慮對不等式變形，使其變成同構(gòu)式，利用同構(gòu)法解題.

由此可以說明，運用同構(gòu)法解題的關(guān)鍵在于將方程或不等式變形.常常需要對指數(shù)、對數(shù)式進行轉(zhuǎn)換，常用方法有：? .有時需要在等式兩邊進行加乘變換，常見的同構(gòu)式有兩種（1）積型： ，可將其變換為 .（2）和差型： ?，可將其變換為 .同學(xué)們熟練掌握這些常見的同構(gòu)式及運用同構(gòu)法解題的思路，便能順利破解難題.

（作者單位：江蘇省邗江區(qū)蔣王中學(xué)）