摘要：為“理解”而教，基于深度學(xué)習(xí)的需要、課程改革的訴求、未來公民核心素養(yǎng)的呼喚等。從目標(biāo)指向、學(xué)習(xí)機(jī)理、核心要素三個(gè)維度闡釋為“理解”而教的內(nèi)涵，建構(gòu)“經(jīng)驗(yàn)性理解→工具性理解→結(jié)構(gòu)性理解→創(chuàng)新性理解→觀念性理解”的“數(shù)學(xué)理解層級(jí)模型”，并結(jié)合案例，從情境探學(xué)、交流展學(xué)、關(guān)聯(lián)拓學(xué)、遷移評(píng)學(xué)、反思省學(xué)等五個(gè)方面闡明實(shí)施路徑。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)理解;小學(xué)數(shù)學(xué);深度學(xué)習(xí);層級(jí)模型

本文系江蘇省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃2020年度重點(diǎn)課題“深度學(xué)習(xí)視域下小學(xué)數(shù)學(xué)理解性學(xué)習(xí)的實(shí)踐研究”（編號(hào)：xcb/2020/07）的階段性研究成果。

一、為“理解”而教的提出背景

（一）深度學(xué)習(xí)的需要

關(guān)于深度學(xué)習(xí)，理論研究與實(shí)踐探索都得到了廣泛的重視。

以下論點(diǎn)可以帶給我們諸多啟發(fā)：“深度學(xué)習(xí)過程著眼于學(xué)生對(duì)所學(xué)內(nèi)容的整體理解?！薄吧疃葘W(xué)習(xí)是一種基于理解的學(xué)習(xí)?！薄皵?shù)學(xué)學(xué)習(xí)必須糾正一個(gè)傾向：不講理解，或是停留于日常經(jīng)驗(yàn)與直觀感知……也正因此，很多學(xué)生看上去似乎已經(jīng)懂了，也能正確解答相應(yīng)的常規(guī)性問題，但卻很難說已經(jīng)達(dá)到了真正的理解。”“活性知識(shí)是以深度理解為基礎(chǔ)的，是有活力、可建構(gòu)、跨學(xué)科的，既能相互聯(lián)結(jié)，又能解決問題，能孕育、發(fā)展出新的知識(shí)，更是終身學(xué)習(xí)的必要條件。”顯然，追求“理解”應(yīng)成為深度學(xué)習(xí)的一個(gè)向度。

（二）課程改革的訴求

在一次小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平測(cè)試中有一道題：

學(xué)校舉行廣播操表演，每行有12人，一共有16行（如下頁(yè)圖1）。小明通過豎式計(jì)算（如下頁(yè)圖2）知道一共有192人參加表演。

圖2的豎式中箭頭所指的可以用圖（）（下頁(yè)圖3—圖6為可選選項(xiàng)）框中的點(diǎn)來表示。

數(shù)據(jù)顯示，某區(qū)學(xué)生該題的錯(cuò)誤率高達(dá)45%。這引發(fā)了我們的反思。追根溯源，我們平時(shí)的教學(xué)過于強(qiáng)化算法、弱化算理，練習(xí)的關(guān)注點(diǎn)都是如何快速地算出結(jié)果，而沒有關(guān)注學(xué)生是否理解每一步的數(shù)學(xué)意義。

進(jìn)一步反思，當(dāng)下教學(xué)活動(dòng)的任務(wù)主要是往“倉(cāng)庫(kù)”里填“知識(shí)”，以知識(shí)為中心的講解、訓(xùn)練雖有助于記憶事實(shí)、形成技能、獲得結(jié)果，卻不能形成真正的數(shù)學(xué)理解。長(zhǎng)此以往，不僅制約了學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)質(zhì)量的提升，還將數(shù)學(xué)變成了令人害怕的、剝離了豐富血肉的“枯骨般的數(shù)學(xué)”。為“理解”而教，成為當(dāng)下小學(xué)數(shù)學(xué)深化課改的必然訴求。

（三）未來公民核心素養(yǎng)的呼喚

在工業(yè)時(shí)代，教學(xué)主要是圍繞知識(shí)的傳遞來進(jìn)行的，對(duì)學(xué)習(xí)者的評(píng)價(jià)重心在于知識(shí)的記憶。而進(jìn)入信息時(shí)代，許多知識(shí)通過“百度”便可以搜索到，在這樣的背景下，教學(xué)的重心應(yīng)該如何轉(zhuǎn)變？蔡元培先生的話給我們啟示：“教育者，非為已往，非為現(xiàn)在，而專為將來?！薄盀閷怼保纯紤]未來的公民需要怎樣的核心素養(yǎng)。2016年9月，《中國(guó)學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)》發(fā)布，其中的一些要點(diǎn)引人注目：“崇尚真知”“尊重事實(shí)和證據(jù)”“邏輯清晰”的理性思維;“具有問題意識(shí)”“獨(dú)立思考”“多角度、辯證地分析問題”的批判質(zhì)疑;“能自覺、有效地獲取、評(píng)估、鑒別、使用信息”的信息意識(shí);“能依據(jù)特定情境和具體條件，選擇制訂合理的解決方案”的問題解決等。而這一切都要建立在“理解”的基礎(chǔ)之上。

二、為“理解”而教的內(nèi)涵闡釋

從現(xiàn)代心理學(xué)的視角觀察“理解”，“理解實(shí)質(zhì)上是學(xué)習(xí)者以信息的傳輸、編碼為基礎(chǔ)，根據(jù)已有經(jīng)驗(yàn)及認(rèn)知結(jié)構(gòu)，主動(dòng)建構(gòu)內(nèi)部的心理表征，進(jìn)而獲得心理意義的過程”。從教育學(xué)的視角觀察“理解”，最為知名的是“理解的六側(cè)面，即：能解釋、能闡明、能應(yīng)用、能洞察、能神入、能自知”。在小學(xué)數(shù)學(xué)中，理解是“一個(gè)進(jìn)行中的、動(dòng)態(tài)的、非線性的且反反復(fù)復(fù)建構(gòu)組織的過程”，是“對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的正確、完整、合理的表征”，是“學(xué)生在理解基礎(chǔ)上的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，也即，通過這樣的學(xué)習(xí)，學(xué)生獲得了對(duì)數(shù)學(xué)的理解”。本文試從如下三方面闡釋為“理解”而教的主要內(nèi)涵。

（一）目標(biāo)指向：學(xué)科育人

會(huì)解題、會(huì)計(jì)算是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，但不是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的全部?！袄斫庑詫W(xué)習(xí)”倡導(dǎo)進(jìn)一步去反思為什么要這樣做、是怎樣做的，盡可能去體悟數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的過程，數(shù)學(xué)家對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的論述，數(shù)學(xué)對(duì)人類文明的作用，即“理解數(shù)學(xué)”。

比如，教學(xué)“用數(shù)對(duì)確定位置”，可相機(jī)介紹“笛卡兒從蜘蛛織網(wǎng)聯(lián)想到坐標(biāo)”的數(shù)學(xué)故事。又如，教學(xué)“圓”，可以相機(jī)介紹“圓，一種同長(zhǎng)也”“圓是世界上最美的圖形”等論述，既加深學(xué)生對(duì)圓特征的認(rèn)識(shí)，也讓學(xué)生感受中外古代數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家的智慧。再如，教學(xué)“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”，除了教材上的一般計(jì)算程序（豎式），還可以介紹我國(guó)古代的“鋪地錦”算法，思考“鋪地錦”算法與豎式計(jì)算的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，有助于學(xué)生加深對(duì)豎式的理解，進(jìn)而比較算法的優(yōu)劣，形成數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)意識(shí);同時(shí)，感受中國(guó)古代數(shù)學(xué)家的智慧，燃起濃濃的民族自豪感。這是生動(dòng)的“立德樹人”“學(xué)科育人”。

（二）學(xué)習(xí)機(jī)理：構(gòu)建聯(lián)系

為“理解”而教的過程就是師生共同建立數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)的過程。恰如希伯特與卡彭特所言，“數(shù)學(xué)概念的理解，是指它成了學(xué)生內(nèi)部心理網(wǎng)絡(luò)的一個(gè)部分……理解的程度是由結(jié)構(gòu)內(nèi)部聯(lián)系的數(shù)目和強(qiáng)度來確定的……隨著網(wǎng)絡(luò)的變大和組織的更完善，理解就增長(zhǎng)了”。

比如，教學(xué)“乘法”，不是機(jī)械地讓學(xué)生去背乘法口訣，而是需要提供“為什么要學(xué)乘法？”這樣一個(gè)建立知識(shí)結(jié)構(gòu)體系的前提性問題，即“乘法是加法的簡(jiǎn)便運(yùn)算，當(dāng)很多個(gè)相同加數(shù)連加，人們感覺到不方便了”。又如，還是教學(xué)“乘法”，為什么2+2+2=6既可以寫成2×3，還可以寫成3×2？如果停留于“乘法是加法的簡(jiǎn)便運(yùn)算”是無法解釋的。這就需要通過畫出一個(gè)2×3的點(diǎn)子圖或方陣圖，也可通過一個(gè)具體的問題“每2臺(tái)電腦一組，有3組;每3臺(tái)電腦一組，有2組”，來幫助學(xué)生理解與思考?！巴环鶊D，橫著看是2×3，豎著看就成了3×2?！毙屡f知識(shí)之間、不同表征之間的豐富聯(lián)系，有效地幫助學(xué)生達(dá)成對(duì)數(shù)學(xué)的深刻理解，讓學(xué)生體悟到“原來如此”。

（三）核心要素：學(xué)以致用

為“理解”而教，要求學(xué)生能靈活地遷移所學(xué)知識(shí)。遷移主要表現(xiàn)為在一種新的情境中，靈活地運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)以及相關(guān)技能。

比如，“簡(jiǎn)便運(yùn)算”教學(xué)成功的標(biāo)志不在于學(xué)生“題目要求簡(jiǎn)便運(yùn)算才使用簡(jiǎn)便運(yùn)算”，而是“看到這道題可以簡(jiǎn)便運(yùn)算，我就使用簡(jiǎn)便運(yùn)算”，甚至“這道題原來不可以簡(jiǎn)便運(yùn)算，我想辦法讓它可以簡(jiǎn)便運(yùn)算”。又如，“解決問題的策略——畫圖”教學(xué)成功的標(biāo)志不在于學(xué)生“題目要求畫（線段）圖才畫（線段）圖”，而是“遇到含有復(fù)雜的倍數(shù)、相差等數(shù)量關(guān)系的問題時(shí)，能主動(dòng)想到并能畫出（線段）圖來幫助分析”;再進(jìn)一步，遇到需要“一一列舉”或“列表”的相關(guān)問題時(shí)，能靈活地辨別和使用相關(guān)策略，而不是機(jī)械套用畫圖策略。

三、為“理解”而教的實(shí)施路徑

由于小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科有其自身的特點(diǎn)，如嚴(yán)密的邏輯性、高度的抽象性、知識(shí)的系統(tǒng)性、學(xué)習(xí)的連貫性和廣泛地運(yùn)用符號(hào)等，要想實(shí)現(xiàn)為“理解”而教，需要對(duì)應(yīng)理解的層級(jí)，精心設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng)?；谏鲜鏊伎?，在借鑒有關(guān)成果的基礎(chǔ)上，筆者建構(gòu)了“理解”層級(jí)發(fā)展模型（如圖7），以下結(jié)合具體案例分級(jí)闡釋。

（一）情境探學(xué)：激活經(jīng)驗(yàn)性理解

學(xué)生對(duì)日常生活中的真實(shí)世界與客觀對(duì)象有一些自然體悟和原初認(rèn)識(shí)，當(dāng)然，隨著年級(jí)的升高，許多已學(xué)知識(shí)和方法也成為學(xué)生的原初經(jīng)驗(yàn)。不過，受年齡、閱歷、知識(shí)等限制，這樣的經(jīng)驗(yàn)大多原始且雜亂、零碎而局部。原初經(jīng)驗(yàn)對(duì)學(xué)生來說非常重要，是學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在依據(jù)。以原初經(jīng)驗(yàn)為根，“別的知識(shí)方可接得上去”;而如果沒有立足原初經(jīng)驗(yàn)，數(shù)學(xué)知識(shí)對(duì)學(xué)生來說，宛如水中月、鏡中花。

比如，《角》一課教學(xué)。課堂伊始，教師安排的第一個(gè)活動(dòng)就是“畫角”：你認(rèn)為什么是角？請(qǐng)把你心目中的角畫在紙上。有的學(xué)生畫的是桌角，有的學(xué)生畫的是羊角，有的學(xué)生已經(jīng)能畫出“數(shù)學(xué)中的角”。這樣的設(shè)計(jì)，可以了解學(xué)生對(duì)角的認(rèn)識(shí)，暴露其原初經(jīng)驗(yàn)。教師根據(jù)學(xué)生的情況，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)既有的原初經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行篩選、整理、優(yōu)化和提升，區(qū)分生活中的角與數(shù)學(xué)中的角，實(shí)現(xiàn)經(jīng)驗(yàn)的改造或重組。

（二）交流展學(xué)：達(dá)成工具性理解

隨著學(xué)生對(duì)自身的原初經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行整理、組織、概括與重新表征，并使經(jīng)驗(yàn)性理解逐步擺脫原初經(jīng)驗(yàn)中的非本質(zhì)屬性，會(huì)用概念判斷某一事物是否為概念的具體例證，便步入了形式化理解的層級(jí)，也叫工具性理解。關(guān)于工具性理解，有一個(gè)生動(dòng)的比喻“屠夫與刀”：工具性理解水平的“屠夫”，只要知道如何使用“刀”就可以了，不需要知道“刀”是如何制造的等其他關(guān)聯(lián)的內(nèi)容。

比如，對(duì)于“分?jǐn)?shù)的意義”，學(xué)生通過一個(gè)物體、一個(gè)圖形、一個(gè)計(jì)量單位、許多物體組成的一個(gè)整體等若干例子，概括提煉出“把單位‘1平均分成若干份就是分母，表示這樣的一份或幾份就是分子”，就可以說明所有的分?jǐn)?shù)的意義了，這就是工具性理解。至于“一個(gè)圖形的二分之一與一個(gè)整體的二分之一的區(qū)別與聯(lián)系”“單位‘1是可以動(dòng)態(tài)變化的”等諸多問題暫時(shí)不去關(guān)注。

（三）關(guān)聯(lián)拓學(xué)：實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)性理解

與工具性理解只關(guān)注單一數(shù)學(xué)概念或知識(shí)的學(xué)習(xí)不同，結(jié)構(gòu)性理解往往會(huì)把所學(xué)知識(shí)與有著各種關(guān)聯(lián)的其他知識(shí)進(jìn)行比較、分類、分層，從而找出它們的相同點(diǎn)、不同點(diǎn)以及層次關(guān)系?！叭绻芙M織起有效的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，并使之成為內(nèi)部知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的一部分，那么就說明是理解了?！睂?duì)某一具體的數(shù)學(xué)知識(shí)而言，網(wǎng)絡(luò)的結(jié)點(diǎn)和通道越豐富，對(duì)其本質(zhì)的理解就越深刻。

比如，《認(rèn)識(shí)千米》一課教學(xué)。在學(xué)生有了走100米的直接感受的基礎(chǔ)上，教師告知“像這樣的10個(gè)100米就是1000米，也就是1千米”，再告知“我們的操場(chǎng)1圈有300米，3圈多一些就是1千米”，學(xué)生就會(huì)有間接的感受。這是一種體驗(yàn)關(guān)聯(lián)。當(dāng)然，僅僅如此還不夠，還應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生關(guān)聯(lián)之前所學(xué)的“毫米”“厘米”“分米”“米”等舊知，形成“毫米10厘米10分米10米1000千米”這樣的結(jié)構(gòu)性理解，以便于知識(shí)儲(chǔ)存。當(dāng)然，除了這樣的縱向關(guān)聯(lián)，還可以橫向關(guān)聯(lián)。如圖8所示，長(zhǎng)度單位之間可以結(jié)構(gòu)化，面積單位、質(zhì)量單位等也可以結(jié)構(gòu)化。

（四）遷移評(píng)學(xué)：獲得創(chuàng)新性理解

如果學(xué)生沒有達(dá)到結(jié)構(gòu)性理解，那么將難以建構(gòu)完善的認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu);而學(xué)生沒有達(dá)到創(chuàng)新性理解，則難以在陌生的問題情境中應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題。還是以“屠夫與刀”來類比：高水平的“屠夫”不僅知道如何用“刀”，對(duì)“刀”的好壞也能加以甄別。如果“屠夫”能創(chuàng)造性地用“刀”解決一些稍復(fù)雜的問題，并發(fā)現(xiàn)“刀”的不足，對(duì)“制刀”提出問題和建議，這就獲得了創(chuàng)新性理解。

比如，《認(rèn)識(shí)千米》一課教學(xué)。學(xué)生形成“毫米10厘米10分米10米1000千米”這樣的結(jié)構(gòu)性理解后，如果能提出“之前學(xué)的相鄰長(zhǎng)度單位間的進(jìn)率是10，而米和千米的進(jìn)率為什么是1000？”“有沒有‘十米‘百米？”“為什么不學(xué)‘十米‘百米？”等問題，就標(biāo)志著學(xué)習(xí)進(jìn)入創(chuàng)新性理解階段。

同樣的標(biāo)志還有，學(xué)生在學(xué)習(xí)“公頃”時(shí)提出的“平方米和公頃的進(jìn)率為什么是10000？”“平方米和公頃之間還存在什么面積單位？”等問題。

（五）反思省學(xué)：走向觀念性理解

當(dāng)學(xué)生的學(xué)習(xí)達(dá)到了結(jié)構(gòu)性理解和創(chuàng)新性理解之后，還可以再上升一個(gè)層級(jí)，那就是觀念性理解（也叫文化性理解）。數(shù)學(xué)作為一種文化，所蘊(yùn)含的思想方法、理性精神、對(duì)社會(huì)的重要推動(dòng)作用、獨(dú)一無二的美，會(huì)影響學(xué)生的一生。

如前文所述，教學(xué)“用數(shù)對(duì)確定位置”時(shí)，相機(jī)介紹“笛卡兒從蜘蛛織網(wǎng)聯(lián)想到坐標(biāo)”的數(shù)學(xué)故事;教學(xué)“圓”時(shí)，相機(jī)介紹“圓，一種同長(zhǎng)也”“圓是世界上最美的圖形”等論述;教學(xué)“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”，在豎式計(jì)算方法后，介紹“鋪地錦”算法……長(zhǎng)此以往，學(xué)生可以逐步形成對(duì)數(shù)學(xué)綜合的、整體性的理解，對(duì)數(shù)學(xué)高屋建瓴式的體察與感受，進(jìn)而對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生積極情感。

當(dāng)然，建構(gòu)屬于學(xué)生的數(shù)學(xué)理解，支持學(xué)生的深度學(xué)習(xí)，是數(shù)學(xué)教學(xué)的本質(zhì)追求，理應(yīng)成為小學(xué)數(shù)學(xué)教育工作者的不懈追求。今后，也還需要做更為深入的探索。

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（吳存明，江蘇省南京市溧水區(qū)洪藍(lán)中心小學(xué)副校長(zhǎng)。南京市學(xué)科帶頭人。江蘇省優(yōu)秀教育工作者，江蘇省教育科研先進(jìn)個(gè)人，南京市中青年拔尖人才。獲評(píng)首屆新一輪南京市“斯霞獎(jiǎng)”。著有《小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)問題與對(duì)策》《讓學(xué)習(xí)深度發(fā)生：小學(xué)“讓學(xué)課堂”的思考與實(shí)踐》等。）