高中數(shù)學(xué)數(shù)列問(wèn)題教學(xué)中函數(shù)思想的應(yīng)用探究

趙清軍

摘 要：數(shù)列是以自變量為正整數(shù)集的一類特殊函數(shù)，是高中數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容。借助數(shù)列的函數(shù)特性解決數(shù)列問(wèn)題在一定程度上簡(jiǎn)化運(yùn)算，同時(shí)也對(duì)數(shù)列的幾何意義有更深刻的認(rèn)識(shí)。借助函數(shù)的定義、圖象、性質(zhì)以及構(gòu)造函數(shù)幾種途徑研究和解決數(shù)列問(wèn)題，對(duì)于解決數(shù)列通項(xiàng)、數(shù)列最值等問(wèn)題有重要作用。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué);函數(shù)思想;數(shù)列

數(shù)列是按照一定順序排列的一列數(shù)。數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，定義在正整數(shù)集或其有限子集。由此可見(jiàn)，任何數(shù)列問(wèn)題都蘊(yùn)含著函數(shù)的本質(zhì)及意義，具有函數(shù)的一些固有特征?？巳R因曾說(shuō)：“函數(shù)是數(shù)學(xué)的靈魂。”函數(shù)思想是數(shù)學(xué)思想的重要組成之一，是指用函數(shù)的概念和性質(zhì)去分析問(wèn)題、轉(zhuǎn)化問(wèn)題和解決問(wèn)題的思維策略。數(shù)列一直以來(lái)都是高考的重點(diǎn)內(nèi)容，而數(shù)列與函數(shù)的綜合應(yīng)用是高考命題的重點(diǎn)和熱點(diǎn)。因此我們?cè)诮鉀Q數(shù)列問(wèn)題時(shí)，應(yīng)充分利用函數(shù)相關(guān)知識(shí)，通過(guò)其概念、圖象和性質(zhì)，將數(shù)列與函數(shù)聯(lián)系起來(lái)，探究它們間的內(nèi)在聯(lián)系，從而有效的簡(jiǎn)化數(shù)列問(wèn)題，最終解決問(wèn)題。以函數(shù)的概念、圖象、性質(zhì)為工具，揭示函數(shù)思想在數(shù)列問(wèn)題中的應(yīng)用技巧。

一、函數(shù)思想下的高中數(shù)學(xué)數(shù)列課堂現(xiàn)狀

（一）照本宣科

現(xiàn)階段，有些教師在課堂上帶領(lǐng)學(xué)生應(yīng)用函數(shù)思想解決高中數(shù)學(xué)題時(shí)，大多都是毫無(wú)新意地對(duì)課本教材進(jìn)行復(fù)刻，雖然課本知識(shí)都是正確的，但是機(jī)械地搬弄只會(huì)讓學(xué)生感覺(jué)到學(xué)習(xí)的枯燥乏味，很難提起興趣。對(duì)比教師給出的相關(guān)概念與定義，通常會(huì)使學(xué)生回憶起初中學(xué)到的函數(shù)知識(shí)，此時(shí)的學(xué)生難免會(huì)產(chǎn)生疑惑“為何與之前學(xué)過(guò)的函數(shù)定義存在不同？”假如教師不能在本節(jié)課及時(shí)給學(xué)生答疑解惑，那么便會(huì)對(duì)其日后的學(xué)習(xí)造成不良影響，只會(huì)讓學(xué)生更難以理解后續(xù)的課程。因此，以函數(shù)思想為指導(dǎo)的高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)在具體開(kāi)展過(guò)程中，首先需要教師對(duì)比初中函數(shù)概念進(jìn)而引出高中階段需要學(xué)習(xí)的函數(shù)思想內(nèi)容，帶領(lǐng)學(xué)生完成由已知到新知的過(guò)渡，及時(shí)消除學(xué)生疑慮。

（二）不顧學(xué)情，盲目授課

在廣大的教師隊(duì)伍中還有這樣一類教師，其年輕敬業(yè)，卻習(xí)慣性忽視學(xué)生的實(shí)際學(xué)情。這些教師在給兩個(gè)不同班級(jí)教學(xué)時(shí)，常常忽視每個(gè)班的學(xué)生在學(xué)習(xí)能力方面存在著較大差距，教師在給能力更強(qiáng)的班級(jí)授課時(shí)會(huì)迅速遞進(jìn)相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，一節(jié)課包含眾多知識(shí)點(diǎn)，然而等到課下批閱學(xué)生作業(yè)時(shí)卻發(fā)現(xiàn)學(xué)生很快就能接受所學(xué)知識(shí)，效果還不錯(cuò)，就會(huì)認(rèn)為這種教法是有效的。因此，到另一個(gè)班教學(xué)時(shí)，依然會(huì)套用相同的教學(xué)思路與方法。此時(shí)，這個(gè)班的學(xué)生學(xué)習(xí)起來(lái)就相當(dāng)費(fèi)力，眼下的知識(shí)點(diǎn)還沒(méi)搞清楚就要跟上教師步伐學(xué)習(xí)下一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，一節(jié)課下來(lái)大多學(xué)生都是云里霧里的，完全不清楚這節(jié)課講了什么，最終導(dǎo)致能力較差的學(xué)生學(xué)習(xí)效果不佳。因此，在日常教學(xué)中，尤其是在講授函數(shù)概念性內(nèi)容時(shí)，教師務(wù)必要重視分析學(xué)生實(shí)際學(xué)情，制定相適宜的教學(xué)計(jì)劃，以求給學(xué)生日后順利、高效學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。

（三）枯燥無(wú)味

還有一些教師講課時(shí)根本提不起學(xué)生興趣，給學(xué)生造成枯燥乏味的認(rèn)知。主要是因?yàn)閯倓偵敫咧械膶W(xué)生還沒(méi)有完全適應(yīng)眼下的學(xué)習(xí)生活，加之函數(shù)板塊的內(nèi)容本就晦澀難懂，很多教師在課程剛開(kāi)始時(shí)就單刀直入切進(jìn)正題，缺少有效的鋪墊引導(dǎo)，所以很難激發(fā)學(xué)生興趣，導(dǎo)致教學(xué)效果不理想。因此，給學(xué)生講授函數(shù)模塊的內(nèi)容時(shí)，需要教師融入新課程理念，鼓勵(lì)學(xué)生自主探究學(xué)習(xí)內(nèi)容，主動(dòng)獲取知識(shí)，掌握高效學(xué)習(xí)方法。教師可適時(shí)為學(xué)生創(chuàng)設(shè)相應(yīng)教學(xué)情境，引導(dǎo)其嘗試親近數(shù)學(xué)概念、定理、公式、思想方法等，在此基礎(chǔ)上點(diǎn)燃其學(xué)習(xí)熱情，增強(qiáng)學(xué)習(xí)興趣，進(jìn)一步打造高效課堂。最后，還有一個(gè)不容忽視的問(wèn)題，就是教師自身的數(shù)學(xué)素養(yǎng)缺乏。存在這一問(wèn)題的基本上都是剛剛走上教育工作崗位的青年教師，針對(duì)抽象且雜亂的函數(shù)思想內(nèi)容，很多教師尚未形成清晰的教學(xué)思路，教學(xué)方案缺少邏輯性、連貫性，很難吸引學(xué)生注意力。

二、基于函數(shù)思想的數(shù)列解題應(yīng)用研究

（一）函數(shù)思想解決數(shù)列問(wèn)題一直是高考數(shù)學(xué)評(píng)估中的關(guān)鍵和難點(diǎn)問(wèn)題。數(shù)列由有序數(shù)字組成，每個(gè)都可將其看作一個(gè)函數(shù)。函數(shù)思想與科學(xué)研究的獨(dú)立變量有關(guān)。兩者可以在一定條件下相互轉(zhuǎn)換，從而簡(jiǎn)化了復(fù)雜的問(wèn)題。因此，在學(xué)生解題的整個(gè)過(guò)程中，應(yīng)探索題目?jī)?nèi)隱藏條件，深入地分析問(wèn)題，并建立函數(shù)思想和數(shù)列間存在的聯(lián)系性、規(guī)律性?；诤瘮?shù)思想解決數(shù)列問(wèn)題，有助于深化數(shù)列定義、等比、等差等知識(shí)銜接。數(shù)列問(wèn)題求解，應(yīng)抓住題目中的已知條件與利用函數(shù)的單調(diào)性與連續(xù)性等定義互相轉(zhuǎn)化，求得數(shù)列分布規(guī)律和通項(xiàng)公式，促使問(wèn)題得到高效解決。此外，教師在課堂上應(yīng)有目的地指導(dǎo)學(xué)生找到最佳解題方案，點(diǎn)燃數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)熱情，發(fā)展學(xué)生的邏輯思維能力，幫助其掌握函數(shù)思想。保持靈活性，借助數(shù)學(xué)思想來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題，并提高學(xué)生的數(shù)學(xué)水平。最后，教師應(yīng)重視訓(xùn)練學(xué)生的數(shù)學(xué)思想應(yīng)用能力，并在課堂上充分說(shuō)明數(shù)學(xué)思想的重要性。

（二）借助函數(shù)定義簡(jiǎn)化數(shù)列問(wèn)題

數(shù)列的第n項(xiàng)，與序號(hào)n之間的關(guān)系可以用這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式來(lái)表示，即=f（n），也就是說(shuō)，數(shù)列的通項(xiàng)公式是關(guān)于自變量n的表達(dá)式，即為一個(gè)函數(shù)。顯然可知，等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和均是關(guān)于n的函數(shù)，其定義域?yàn)檎麛?shù)集或其有限子集{1，2，…，n}。所以我們?cè)诮鉀Q數(shù)列問(wèn)題時(shí)，可以通過(guò)將其考慮為函數(shù)來(lái)簡(jiǎn)化問(wèn)題，借助函數(shù)的本質(zhì)、意義對(duì)問(wèn)題進(jìn)行分析，從而簡(jiǎn)化數(shù)列問(wèn)題，使問(wèn)題得以解決。

（三）巧用函數(shù)圖象簡(jiǎn)化數(shù)列問(wèn)題

函數(shù)圖象是直觀反映函數(shù)特征的工具，利用圖象解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，即數(shù)形結(jié)合，它是中學(xué)重要的數(shù)學(xué)思想方法之一，借助函數(shù)圖象能直觀有效的解決數(shù)列問(wèn)題。將等差數(shù)列的通項(xiàng)公式改寫為，它是關(guān)于n的一次函數(shù)，其圖象是一條直線上的離散點(diǎn)集。因?yàn)榈炔顢?shù)列的前n項(xiàng)和的公式改寫成，它是關(guān)于n的常數(shù)項(xiàng)為0的二次函數(shù)，其圖象為過(guò)原點(diǎn)的某拋物線上的離散點(diǎn)。在等比數(shù)列中，當(dāng)公比q=1時(shí)，等比數(shù)列{an}是常數(shù)列，其對(duì)應(yīng)的圖像是平行于橫坐標(biāo)的一條直線上的離散點(diǎn)，等比數(shù)列前項(xiàng)和是關(guān)于的一次函數(shù)，其圖象是一條直線上的離散點(diǎn);等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，等比數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn， ?（q≠1）即 （q≠1）均是關(guān)于n的指數(shù)類型的函數(shù)，其圖象是指數(shù)函數(shù)圖象上的離散點(diǎn)。所以在解決數(shù)列問(wèn)題時(shí)，我們可以借助數(shù)列的通項(xiàng)公式或其前n項(xiàng)和呈現(xiàn)出來(lái)的函數(shù)圖象來(lái)分析問(wèn)題，這樣往往會(huì)使問(wèn)題簡(jiǎn)單化，變得容易求解。

（四）活用函數(shù)性質(zhì)簡(jiǎn)化數(shù)列問(wèn)題

函數(shù)性質(zhì)是顯性反映函數(shù)特征的手段，在數(shù)列中，函數(shù)的諸多性質(zhì)，如單調(diào)性、周期性等都有著較廣泛的應(yīng)用。利用函數(shù)的單調(diào)性可以找出數(shù)列及數(shù)列前n項(xiàng)和的最值;求解通項(xiàng)公式中的參數(shù);利用周期性可以將較遠(yuǎn)項(xiàng)轉(zhuǎn)化為較近項(xiàng)，簡(jiǎn)化。數(shù)列問(wèn)題，從而達(dá)到較好的解題效果。

（五）構(gòu)造函數(shù)簡(jiǎn)化數(shù)列問(wèn)題

構(gòu)造函數(shù)是函數(shù)思想的重要體現(xiàn)，同時(shí)構(gòu)造法在解決數(shù)列問(wèn)題中起著至關(guān)重要的作用。對(duì)于既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列的問(wèn)題，往往需要通過(guò)函數(shù)變換構(gòu)造新函數(shù)將其轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列，達(dá)到簡(jiǎn)化問(wèn)題的目的，從而使問(wèn)題得以解決。在構(gòu)造函數(shù)的過(guò)程中，往往需要一定的觀察、分析問(wèn)題，進(jìn)而得到數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式的能力。

（六）在日常生活最優(yōu)化問(wèn)題中的應(yīng)用

除了將函數(shù)思想應(yīng)用到數(shù)列問(wèn)題解決以外，函數(shù)思想還可應(yīng)用于日常生活，這主要是因?yàn)閿?shù)學(xué)思想在日常生活中有很強(qiáng)的應(yīng)用性，在數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)中，引導(dǎo)學(xué)生積極將數(shù)學(xué)知識(shí)變化為生活經(jīng)驗(yàn)，深化理解函數(shù)知識(shí)，并增強(qiáng)學(xué)習(xí)能力。例如，進(jìn)行課堂教學(xué)時(shí)，師生經(jīng)常遇到以最小的成本獲得更大的經(jīng)濟(jì)效益的問(wèn)題，即最優(yōu)化問(wèn)題?；诤瘮?shù)思想，可以在已知數(shù)量和未知數(shù)量之間建立關(guān)系，進(jìn)而形成正確函數(shù)關(guān)系式，隨后聯(lián)系函數(shù)關(guān)系的相關(guān)性質(zhì)，順利解決問(wèn)題，算出正確答案。學(xué)生的解題過(guò)程，同樣是其函數(shù)思想學(xué)習(xí)的過(guò)程，也是學(xué)生能力鍛煉的過(guò)程，通過(guò)教師的有效引導(dǎo)，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生綜合應(yīng)用能力有著積極作用。

三、結(jié)束語(yǔ)

綜上所述，數(shù)學(xué)中數(shù)列課程學(xué)習(xí)的核心內(nèi)容就是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，旨在解題過(guò)程中實(shí)現(xiàn)知識(shí)的有效運(yùn)用，對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)，是否可以迅速且正確進(jìn)行解題，很大程度上要看學(xué)生的解題思路與技巧是否清晰，解題思想是否科學(xué)。然而，眼下學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)解題時(shí)普遍深陷“題海”當(dāng)中，走不出解題盲區(qū)，解題思想不清晰，解題思路不正確。在此背景下，作為數(shù)學(xué)思想中最重要的組成元素，函數(shù)思想的建立與運(yùn)用非常有利于學(xué)生捋清解題思緒，提高解題效率?；诖?，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，還需教師引導(dǎo)學(xué)生對(duì)函數(shù)思想做出深入剖析，研究其本質(zhì)，并實(shí)現(xiàn)有效運(yùn)用，以便給數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)提供不竭動(dòng)力。

參考文獻(xiàn)：

[1]曾惠云.函數(shù)思想在數(shù)列中的應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2019 （07）：110-112

[2]吳麗華.淺談函數(shù)思想在數(shù)列中的應(yīng)用[J].中學(xué)數(shù)學(xué)（高中 版），2019（11）：67-68

[3]朱水英.例談數(shù)列中函數(shù)思想的應(yīng)用[J].福建中學(xué)數(shù)學(xué)，2020 （1）（03）：41-44