利用頻率定義推導(dǎo)多普勒效應(yīng)公式

楊軍偉

(浙江金華第一中學(xué) 浙江 金華 321015)

多普勒效應(yīng)首先由奧地利物理學(xué)家多普勒研究，發(fā)現(xiàn)波源與觀察者互相靠近或者遠(yuǎn)離時(shí)，接收到波的頻率會(huì)發(fā)生變化.本文通過(guò)頻率定義導(dǎo)出波源頻率與觀察者接收到的頻率之間的關(guān)系，得到多普勒效應(yīng)的定量公式.

1 非相對(duì)論情形下多普勒效應(yīng)公式

圖1 推導(dǎo)多普勒效應(yīng)公式示意圖

由幾何關(guān)系得

u[(t+dt)-(t0+dt0)]=u(t-t0)-vSdt0cos α+vPdtcos β

(1)

式(1)整理得

(u-vPcosβ)dt=(u-vScosα)dt0

(2)

根據(jù)頻率定義，波源發(fā)出波的頻率和觀察者測(cè)得波的頻率分別為

(3)

式(2)、(3)聯(lián)立可得

(4)

式(4)即為非相對(duì)論情形下多普勒效應(yīng)公式.

在應(yīng)用式(4)直接觀察者感受到的頻率時(shí)，特別注意SP為不同時(shí)刻的波源與觀察者位置，因?yàn)棣?β并不能直接從初或末時(shí)刻獲得，從而導(dǎo)致在很多情形下直接應(yīng)用公式并不方便.反而從式(4)推導(dǎo)的基礎(chǔ)，即頻率的定義出發(fā)，倒不失一般性，且方便.譬如如下實(shí)例場(chǎng)景.

【實(shí)例】(第22屆全國(guó)中學(xué)生物理競(jìng)賽復(fù)賽試題)如圖2(a)所示，兩輛汽車A與B，在t=0時(shí)從十字路口O處分別以速度vA和vB沿水平的、相互正交的公路勻速前進(jìn).汽車A持續(xù)地以固定的頻率ν0鳴笛，已知聲速為u，且有u>vA,vB，求解任意時(shí)刻汽車B的司機(jī)所檢測(cè)到的笛聲頻率[1].

(a)

解析：如圖2(b)所示，t時(shí)刻時(shí)笛聲傳播到汽車B，汽車B位于B(t)處，距O點(diǎn)的距離為vBt.汽車A發(fā)出此笛聲時(shí)為t0時(shí)刻，位于A(t0)處，距O點(diǎn)的距離為vAt0.此笛聲由發(fā)出點(diǎn)到接收點(diǎn)(t時(shí)刻B車所在點(diǎn))所傳播的路程為u(t-t0)，由幾何關(guān)系可知

(vBt)2+(vAt0)2=[u(t-t0)]2

解得

兩邊取微元

因此

2 相對(duì)論情形下多普勒效應(yīng)公式

(5)

根據(jù)式(2)、(5)，得

注：式(2)中u為介質(zhì)中的光速，因此

(6)

式(6)即是相對(duì)論情形下多普勒效應(yīng)公式，其中α,β為介質(zhì)參考系中光源發(fā)出光時(shí)其速度與發(fā)光方向的夾角,觀察者接收光時(shí)其速度與光束的夾角.

同樣我們可以依照式(6)推導(dǎo)過(guò)程來(lái)解決如下問(wèn)題.

問(wèn)題：如圖3所示，慣性系中的宇宙飛船A,B同時(shí)從P處出發(fā)，A沿直線lA方向以勻速度vA運(yùn)動(dòng)，B沿直線lB方向以勻速度vB運(yùn)動(dòng)，直線lA與lB的夾角為銳角φ，兩者在兩直線交點(diǎn)P同時(shí)出發(fā)之后，A向?qū)Ψ竭B續(xù)地發(fā)射本征系計(jì)時(shí)系統(tǒng)頻率為ν0的球面光波.對(duì)方B可連續(xù)地接收到光波.考慮相對(duì)論效應(yīng)，探討B(tài)于固有時(shí)時(shí)刻τB接收到的頻率νB(τB)[1].

圖3 宇宙飛船發(fā)射信號(hào)接收信號(hào)過(guò)程

解析：由幾何關(guān)系可得

(vAtA)2+(vBtB)2-2vAtAvBtBcosφ=

[c(tB-tA)]2

解得

對(duì)上式兩邊微分得

根據(jù)頻率定義

綜合解得

3 結(jié)束語(yǔ)

多普勒效應(yīng)在生產(chǎn)生活中有非常重要的應(yīng)用，從頻率定義出發(fā)，我們可以從本質(zhì)上去理解多普勒效應(yīng)的實(shí)質(zhì)，更加深刻地理解其機(jī)制.