探究高考數(shù)列求和問題的解法

許 欣 廖小蓮

(湖南人文科技學(xué)院數(shù)學(xué)與金融學(xué)院 417000)

數(shù)列問題是高中數(shù)學(xué)中非常典型且常見的一類問題，數(shù)列題型形式多樣，靈活多變，解法多樣，外延性非常強(qiáng)，常?？梢愿坏仁?、函數(shù)、方程等問題結(jié)合在一起，如果不能靈活掌握解題方法，就會陷入束手無策的局面，因此備受各類考試命題者的青睞.而解決數(shù)列問題需要一定的邏輯思維，夯實(shí)基礎(chǔ)就顯得尤為重要，數(shù)列問題在全國Ⅰ卷及全國Ⅱ卷以大題形式存在，求解方法卻不局限于最常見的公式法，如錯位相減法、裂項(xiàng)相消法、分組轉(zhuǎn)換法等方法經(jīng)常會被用到.本文結(jié)合近幾年高考真題，探究高考數(shù)列求和問題的解法，讓學(xué)生在解答數(shù)列求和問題時游刃有余.

一、直接求和法

直接求和法是將數(shù)列用化歸法寫成等比、等差數(shù)列的形式，然后使用等差數(shù)列求和公式或等比數(shù)列求和公式進(jìn)行數(shù)列求和.

例1 (2020年新高考Ⅰ卷14題)將數(shù)列{2n-1}與{3n-2}的公共項(xiàng)從小到大排列得到數(shù)列{an}，則{an}的前n項(xiàng)和為____.

于是有ak=cm=c2k-1=3(2k-1)-2=6k-5.

從而{an}的前n項(xiàng)和為Sn=6(1+2+3+…+n)-5n=3n2-2n.

二、錯位相減法

錯位相減法適用于等比等差數(shù)列乘積型數(shù)列，在應(yīng)用過程中應(yīng)當(dāng)注意首項(xiàng)是否對應(yīng)正確，等比數(shù)列公比q為一個常數(shù)時要討論是否為1的情況，并且相減后的等比數(shù)列部分應(yīng)當(dāng)為n-1項(xiàng)，滿足這些條件的數(shù)列便可用錯位相減法求和.

例2 (2020年全國Ⅰ卷理17題第(2)問)設(shè){an}是公比不為1的等比數(shù)列，a1為a2,a3的等差中項(xiàng).若a1=1，求數(shù)列{nan}的前n項(xiàng)和.

解析令Sn為數(shù)列{nan}前n項(xiàng)和，由前可得an=(-2)n-1，進(jìn)而可得Sn=1+2×(-2)+…+n×(-2)n-1,-2Sn=-2+2×(-2)2+…+(n-1)×(-2)n-1+n×(-2)n.

三、倒序相加法

倒序相加法是：如果一個數(shù)列{an}中，與首項(xiàng)末項(xiàng)“等距離”的兩項(xiàng)的和相等，那么求這個數(shù)列前幾項(xiàng)和就可以用這個辦法.這個方法是解決數(shù)列求和問題的一種經(jīng)典方法，等差數(shù)列的前n項(xiàng)和就是通過倒序相加法推導(dǎo)出來的.

①

②

化簡,得Sn=(n+1)2n.

四、裂項(xiàng)相消法

裂項(xiàng)相消法就是把數(shù)列的每一項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，求和時有些部分可以相互抵消，從而達(dá)到數(shù)列求和的目的.

五、分組轉(zhuǎn)換法

分組轉(zhuǎn)換法是指可以將數(shù)列進(jìn)行分析后得出它的規(guī)律，根據(jù)它的規(guī)律寫出一個適合該數(shù)列的通項(xiàng)，再將其進(jìn)行求和.

例5(2016年全國Ⅱ卷理17題)設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且a1=1,S7=28，記bn=[lgan]，其中[x]表示不超過x的最大整數(shù)，如[0.9]=0，[lg99]=1.求數(shù)列{bn}的前1000項(xiàng)和.

因此，數(shù)列{bn}的前1000項(xiàng)和為1×90+2×900+3×1=1893.

六、數(shù)學(xué)歸納法

數(shù)學(xué)歸納法是利用第一歸納法和第二歸納法對要求的數(shù)列進(jìn)行算術(shù)計(jì)算，按照第一歸納法和第二歸納法的步驟，兩步缺一不可，第二步必須歸納總結(jié).

例7 (2019年新高考浙江卷17題)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a3=4,a4=S3，數(shù)列{bn}滿足:對每個n∈N*,Sn+bn,Sn+1+bn,Sn+2+bn成等比數(shù)列.

(1)求數(shù)列{an},{bn}的通項(xiàng)公式;

解析(1)設(shè)數(shù)列的公差為d，由題可得a1+2d=4,a1+3d=3a1+3d.

解得a1=0,d=2，從而an=2n-2,n∈N*.

所以Sn=n2-n,n∈N*.

由Sn+bn,Sn+1+bn,Sn+2+bn成等比數(shù)列,得(Sn+1+bn)2=(Sn+bn)(Sn+2+bn).

上面我們列舉了數(shù)列求和問題的六種解法，利用近年高考真題對各種求解方法進(jìn)行了分析，以便幫助高中學(xué)生更好地掌握數(shù)列求和的方法.