圓錐曲線中的垂徑定理

盧會(huì)玉

(甘肅省嘉峪關(guān)市第一中學(xué) 735100)

筆者發(fā)現(xiàn)高考中考查類似于圓的垂徑定理的題目不時(shí)出現(xiàn)，值得深入探究.垂徑定理是數(shù)學(xué)平面幾何(圓)中的一個(gè)定理，它的通俗表達(dá)是：垂直于弦的直徑平分弦且平分這條弦所對(duì)的兩條弧.垂徑定理是圓的重要性質(zhì)之一，它是證明圓內(nèi)線段、角相等、垂直關(guān)系的重要依據(jù)，也為圓中的計(jì)算、證明和作圖提供了依據(jù)、思路和方法.如果能將圓的垂徑定理所涉及的思想和方法遷移到橢圓、雙曲線、拋物線上，那無疑是一種創(chuàng)新的研究思路.

一、試題呈現(xiàn)

題1 已知某橢圓的焦點(diǎn)是F1(-4,0),F2(4,0)，過點(diǎn)F2并垂直于x軸的直線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)為B，且|F1B|+|F2B|=10.橢圓上不同的兩點(diǎn)A(x1,y1),C(x2,y2)滿足條件：|F2A|,|F2B|,|F2C|成等差數(shù)列.

(1) 求該橢圓的方程；

(2) 求弦AC中點(diǎn)的橫坐標(biāo)；

(3) 設(shè)弦AC的垂直平分線的方程為y=kx+m，求m的取值范圍.

二、試題解析

故弦AC中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4.

三、引申探究

1.圓中的垂徑定理

為了討論方便，假設(shè)下文所有問題的討論中所涉及的直線的斜率都存在.

(1)如圖2，在圓O中，E為弦AB中點(diǎn)，則OE⊥AB，即kOE·kAB=-1.那么，把弦AB向外平移到與圓相切，又會(huì)有什么性質(zhì)呢？

(2)如圖3，在圓O中，直線l與圓O相切于點(diǎn)E，則OE⊥l，即kOE·kl=-1.那么，當(dāng)弦AB過原點(diǎn)時(shí)，又會(huì)有什么性質(zhì)呢？

(3)如圖4，AB為圓O直徑，點(diǎn)E是圓上異于A，B兩點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，則BE⊥AE，即kAE·kBE=-1.

2.橢圓中的垂徑定理

3.雙曲線中的垂徑定理

趙三喃喃著走出家門，雖然全村的人死了不少，雖然莊稼在那里衰敗，鐮刀他卻總想出賣，鐮刀放在家里永久刺著他的心。

4.圓、橢圓與雙曲線(統(tǒng)稱為有心圓錐曲線)中垂徑定理的統(tǒng)一結(jié)論

5.拋物線中的垂徑定理

性質(zhì)8 在拋物線y2=2ax(a≠0)中，E(x0,y0)為弦AB的中點(diǎn)，則kAB·y0=a.

性質(zhì)9 若直線l與拋物線y2=2ax(a≠0)相切于點(diǎn)E(x0,y0)，則kAB·y0=a.

6.垂徑定理的應(yīng)用

例3 已知直線l交橢圓4x2+5y2=80于M，N兩點(diǎn)，B是橢圓與y軸正半軸的交點(diǎn)，若△BMN的重心恰好為橢圓的右焦點(diǎn)，則直線l的方程為____.