“吉他弦上駐波實驗”授課重點與難點剖析

尚 軍，王新元

(河南師范大學 物理學國家級實驗教學示范中心，河南 新鄉(xiāng) 453007)

駐波是振幅相同、傳播方向相反的兩列相干波疊加而產生的合成波[1]，是大學物理波動學中較為重要的一個知識點，大學物理實驗課程中主要使用“弦線上駐波實驗”“吉他弦上駐波實驗”兩種實驗儀?！跋揖€上駐波實驗”中電動音叉振動不是嚴格的直線振動，容易出現立體駐波現象[2]，產生較大的實驗誤差。而“吉他弦上駐波實驗”實驗裝置如下圖1所示，利用電磁學原理使在豎直磁場中的通電鋼質弦在水平面中振動起來，減少了立體駐波對實驗的影響更顯其優(yōu)越性，在教學實踐過程中，同學們能夠感受到音樂與駐波的聯系，激發(fā)學生學習的興趣,該實驗儀受到廣泛歡迎。

圖1 吉他弦上駐波實驗裝置示意圖

在第六屆全國大學生物理實驗競賽講課比賽中，筆者團隊講解了吉他弦上駐波實驗，引起了海選評委及決賽答辯評委的興趣，榮獲一等獎。當前對該實驗儀授課內容的相關文獻報道較少，筆者結合自身授課體會，對“吉他弦上駐波實驗”的重難點展開解讀。

本文以教學目標為指引，對“吉他弦上駐波實驗”的授課重難點展開剖析，把握該實驗的內在邏輯和備課重心，加深對弦振動以及駐波的理解；培養(yǎng)學生從理論出發(fā)聯系實際解決問題的能力。

1 教學目標

2010年版最新版《理工科類大學物理實驗課程教學基本要求》呼吁廣大教師在以下兩點幫助學生。第一,培養(yǎng)學生具備基礎的實驗知識和技能,掌握物理實驗的基本原理以及基本方法,形成科學的物理實驗思維。第二,通過現代化的實驗教學來提升大學生的科學素養(yǎng),形成獨立思考、獨立判斷的能力。因此實驗課程的設計須具備嚴密的邏輯，能逐步引領學生深入到實驗本質，使得學生清晰地理解掌握實驗原理與實驗方法，并能將其有效地運用于實踐當中；同時要給予學生啟發(fā)，提升他們的創(chuàng)造性和實踐能力，增強學生自身的綜合素質。

根據以上課程目標的解讀，為“吉他弦上的駐波實驗”制定了如下三個教學目標：

(1)觀察弦振動形成駐波時的波形，使學生了解弦在空氣中振動的傳播規(guī)律；

(2)通過測量駐波波長，測定弦線的線密度ρ及橫波速度v；

(3)通過實驗課程培養(yǎng)學生數據分析的能力，傳遞勇于探索的精神。

2 授課重點剖析

根據制定的教學目標，“吉他弦上駐波實驗”的落腳點應該定位于駐波，“駐波的形成”是該實驗原理講授的重點之一；其次，該實驗的重點在于“吉他弦上駐波”，那么“弦是如何振動的”理應是我們關注的第二個重點；本實驗的兩個物理量ρ、v的推導過程也要重點把握；回歸到實驗的根本，須關注實驗的操作流程以及注意事項。

2.1 駐波

“駐波的形成”主要圍繞以下四個問題展開，“什么是駐波”“駐波是怎么樣形成的”“駐波與行波有什么樣的區(qū)別與聯系”“吉他弦上駐波的產生需要滿足什么條件”。從問題出發(fā)，環(huán)環(huán)相扣講解出駐波理論。

首先第一個問題“什么是駐波”，駐波本質上就是一種特殊的干涉現象，要解釋這個問題可以從兩列波的疊加入手。圖2(a)和圖2(b)為不同時刻行波的疊加情況。圖(a)顯示入射波與反射波干涉相長的情形，圖(b)為二者干涉相消的情形，其余時刻駐波的振幅則處于兩種情形之間。若采用動畫的形式展現上述過程效果更佳，可以加深學生對駐波的直觀印象。接著引出駐波形成的條件，即振幅相同、振動頻率相同、振動方向一致、相位差恒定以及傳播方向相反的兩列波進行疊加，由此形成駐波的基本物理圖像。

圖2 駐波形成示意圖

為了對駐波的形成有一個本質的認識，還需要對駐波的形成過程進行定量分析。如果用Y1與Y2分別表示入射波與反射波，那么駐波的表達式就可以通過數學計算得出，如圖3所示。

圖3 行波疊加形成駐波的表達式

2.2 弦振動

吉他弦振動是琴弦上產生駐波現象的先決條件，因此探討“弦是如何振動起來的”是“吉他弦上駐波實驗”這節(jié)課的重點之一。

如何巧妙地講解“弦振動”問題需根據具體學情進行調整，此階段學生已掌握左手定則，講述弦的振動只需點出吉他弦所受的磁場方向、弦中電流的情況，即可引導學生得琴弦所受安培力的情況。具體受力示意圖如圖4，這里注意強調安培力是“平行于水平面”。由受力引出弦振動規(guī)律的同時聯系駐波理論，點出弦振動與駐波的關系，將學生所掌握的知識串聯起來。

圖4 磁場中通電吉他弦受力示意圖

2.3 實驗原理

前面講解了很多關于駐波的知識，下面我們針對理論知識的第二個層面——公式推導進一步分析。在本實驗中實驗內容主要是利用控制變量法，分別在頻率一定以及張力一定時測定弦線的線密度ρ和橫波傳播的速度v。那么本實驗公式推導的目標就是要導出間接測量量ρ和v與直接測量駐波段數n、頻率f、弦線長L以及弦上張力大小T之間的關系式，具體推導過程如圖5。由吉他弦上駐波形成的條件知，駐波的波長為

(1)

波長頻率以及波速的普遍關系為

ν=fλ

(2)

將(1)式帶入(2)式，則弦線上橫波傳播的速度為

(3)

根據波動理論[5]，弦線上橫波傳播的速度為

(4)

由(3)(4)兩式，知弦線的線密度

(5)

線密度是吉他弦自身固有屬性，須提醒學生線密度不是由T、f、n、L物理量決定的。

圖5 橫波傳播速度v與線密度ρ公式推導

2.4 實驗注意事項

明確實驗注意事項可以讓學生的實驗達到事半功倍的效果，啟發(fā)學生關注影響實驗結果的因素。“吉他弦上的駐波實驗”的實驗表面上看似容易，實則暗藏玄機。實驗中需要注意：弦線要始終與導軌保持平行，否則測量出來的L并非真實弦長；改變掛在弦線一端的砝碼后，要等砝碼穩(wěn)定后再測量；而且磁鋼不能處于波節(jié)下的位置。這三方面常有同學忽略，造成較大的實驗誤差。

3 授課難點剖析

3.1 數據分析

數據分析需要用到不少的數學知識，這對學生來說是有些難度的，作為教師應該適時地幫助同學們回顧有關誤差分析的知識[6]。通過分析，可以得到影響實驗結果的誤差主要有：

(1)由L的讀數產生的偶然誤差。

(2)由儀器本身精度不夠而造成的系統(tǒng)誤差。

(3)由于理論推導過程中把弦線看作是一個理想化模型，認為吉他弦上各點所受張力大小相同而引起的系統(tǒng)誤差。

(4)由分析方法導致的計算誤差。本實驗中存在四個直接測量量駐波段數n、張力T、頻率f、弦線長L，其中L的讀數存在誤差。確定ρ和v的誤差需根據間接測量量相對誤差的公式[7]，因此存在計算誤差。如果采用直線擬合的方法求線密度ρ，則不存在此誤差。

3.2 課程完整性設計

除去課堂的基本知識外，還應注重課程完整性的設計。課程整體的設計應做到有頭有尾、前后呼應，幫助學生形成整個課程的知識體系，提升個體認知能力。

圖6 解釋美妙音樂的產生

關于音樂與聲波、駐波還有一些聯系，如“音階”“拍頻”的出現，均可加入課程設計當中，提升學生理論聯系實際的能力，讓課堂更加活躍有趣。

3.3 課程思政與科學前沿

教育的根本任務是“立德樹人”，因此教師應深度挖掘實驗，設計不同的課程模塊來加強學生們的愛國主義以及創(chuàng)新精神；積極促進同學們之間的合作，增強學生們的集體榮譽感。這部分的內容安排雖然給教師備課增加了挑戰(zhàn)，但是給學生們提供了積極提升自我的機會。

授課者可以加跟蹤物理學前沿，靈活地將其運用到課程設計當中。例如在“吉他弦上的駐波”這一實驗中從弦與諧波入手，講述關于弦理論的內容。結合Kinney William H等人2019年發(fā)表在《Physical Review Letters》上關于永恒膨脹與精細的德西特澤猜想的研究[9]對弦理論進行深入地討論，該研究表明如果上述兩個猜想成立，那么一個永恒膨脹的多元宇宙，將存在于弦景觀中，而不是位于德西特澤沼澤當中，這將對弦理論的構建產生重大影響。最后，以詩人李白的詩“何當凌云霄，直上數千尺”來激勵學生樹立遠大的志向去勇敢地深入弦理論的研究,為物理學為國家不斷奮斗。

為了進一步提升學生的科學素養(yǎng)，本實驗課程設計的最后，可參考IYPT2021第34屆國際青年物理學家競賽11題，加入相關的合作探究競賽題，題目具體內容是：“使用電磁鐵對鋼吉他弦施加周期性的力，探究吉他弦在其共振頻率附近的運動?！痹擃}目與吉他弦上的駐波實驗類似，又有超越本文實驗的獨特之處。它能很好地培養(yǎng)學生們的創(chuàng)新意識、協(xié)作精神以及動手實踐能力，非常適合作為課后擴展提升題目。

4 總 結

“吉他弦上駐波實驗”著重點在于對駐波原理、弦振動以及實驗原理的深入講解，同時實驗的誤差分析以及課程思政是這一節(jié)的難點，需要教師在備課時收集足夠多的資料做好準備，才能充分調動學生自主發(fā)展的積極性，提升學生的自主創(chuàng)新能力。實踐是檢驗真理的唯一標準，愿此文能為各位老師同學們提供切實可行的教學幫助。