尹力 郭修瑾

摘要：根據(jù)范希爾理論，小學(xué)生的幾何思維主要處于水平1—水平3階段。由此，可結(jié)合教材的分段螺旋上升式安排，做細(xì)、做實(shí)“圖形的認(rèn)識(shí)”教學(xué)。水平1階段的教學(xué)可分為三個(gè)步驟：觀察物體，聚焦圖形;比較圖形，提煉共性;符號(hào)表征，建立表象。水平2階段的教學(xué)可分為三個(gè)步驟：分離特征;提純本質(zhì);簡(jiǎn)略表征。水平3階段的教學(xué)可分為兩個(gè)步驟：建立圖形關(guān)系;開展圖形推理。

關(guān)鍵詞：范希爾;幾何思維;發(fā)展水平;圖形的認(rèn)識(shí)

教學(xué)，既應(yīng)充分適應(yīng)學(xué)生的實(shí)際發(fā)展水平，又應(yīng)積極促進(jìn)學(xué)生可能的發(fā)展。荷蘭著名數(shù)學(xué)教育家范希爾夫婦將學(xué)生幾何思維的發(fā)展劃分為5個(gè)水平階段（小學(xué)生主要處在水平1—水平3階段），對(duì)幾何教學(xué)有重要的指導(dǎo)價(jià)值。小學(xué)數(shù)學(xué)教師可以在這一理論的指導(dǎo)下，結(jié)合教材的分段螺旋上升式安排，做細(xì)、做實(shí)“圖形的認(rèn)識(shí)”教學(xué)，讓學(xué)生感受到3個(gè)水平階段學(xué)習(xí)之間的聯(lián)系與區(qū)別，從而更好地促進(jìn)學(xué)生幾何思維的發(fā)展。下面，對(duì)此談?wù)劰P者的認(rèn)識(shí)和做法。

一、水平1階段的教學(xué)：基于直觀，建立圖形表象

水平1階段是指直觀（也被翻譯為“視覺”）階段。小學(xué)低年段的學(xué)生通常處于這一階段，他們能依賴具體實(shí)物、憑借感知從整體上識(shí)別圖形、仿畫圖形，能使用標(biāo)準(zhǔn)或不標(biāo)準(zhǔn)的名稱命名圖形，但不能清楚地認(rèn)識(shí)圖形的特征和性質(zhì)，無法使用特征或性質(zhì)分析圖形，也無法對(duì)圖形做概括性論述。正如范希爾所說，學(xué)生“能識(shí)別圖形看起來像什么物體”，“知道它是什么圖形，但無法解釋為什么”。

因此，直觀階段的教學(xué)目標(biāo)是建立圖形表象，形成圖形名稱。教學(xué)過程通常是觀察熟悉物體，感知到物體上的圖形相像，將相像的圖形畫出來歸為一類，用一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)圖形概括，形成表象并命名。學(xué)生將形成的表象以及相應(yīng)的名稱儲(chǔ)存在頭腦中，作為識(shí)別圖形的主要依據(jù)。此后，學(xué)生經(jīng)相關(guān)情境的刺激能靈活地調(diào)取與運(yùn)用，為進(jìn)一步學(xué)習(xí)圖形的特征等打下基礎(chǔ)。不難發(fā)現(xiàn)，在直觀階段，學(xué)生雖然主要通過觀察獲得的視覺信息認(rèn)識(shí)圖形，但是也要經(jīng)過內(nèi)部思維的加工，將多種圖形抽象為一種標(biāo)準(zhǔn)圖形，經(jīng)歷從特殊到一般的數(shù)學(xué)抽象過程。具體的教學(xué)可以分為如下三個(gè)步驟：

（一）觀察物體，聚焦圖形

實(shí)際物體是符合直觀階段學(xué)生認(rèn)知水平的基礎(chǔ)學(xué)習(xí)素材。教學(xué)時(shí)，要注意從學(xué)生常見的物體開始，引導(dǎo)學(xué)生觀察物體，根據(jù)物體仿畫圖形，去除無關(guān)的屬性，只保留形的特點(diǎn)，完成感性抽象。例如“認(rèn)識(shí)平行四邊形”的教學(xué)，生活中有很多包含平行四邊形的物體，如掛衣架、竹籬笆、樓梯扶手等，兩把相同的三角尺也可以拼成平行四邊形，觀察這些物體能幫助學(xué)生積累豐富的感性經(jīng)驗(yàn)。感性經(jīng)驗(yàn)需要上升為理性認(rèn)識(shí)，所以，接著要安排學(xué)生仿畫或描摹圖形。畫的過程就是學(xué)生在內(nèi)部思維中舍棄其他屬性，聚焦圖形特征的過程。

（二）比較圖形，提煉共性

圖形表象是許多同類圖形形狀的概括，需要在豐富的感性認(rèn)識(shí)基礎(chǔ)上形成。這一環(huán)節(jié)，教師要引入大量同類與不同類的圖形供學(xué)生比較與提煉，上一環(huán)節(jié)畫出的圖形可以用作學(xué)生繼續(xù)學(xué)習(xí)的素材。仍以“認(rèn)識(shí)平行四邊形”的教學(xué)為例，可以引入學(xué)生已經(jīng)認(rèn)識(shí)的圖形，如長(zhǎng)方形、正方形、三角形、圓等，與平行四邊形一起呈現(xiàn)，從而彼此加強(qiáng)對(duì)比，突出平行四邊形的形狀特征。在此基礎(chǔ)上，可以組織分一分的活動(dòng)，驅(qū)動(dòng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)具有相同特征的圖形，將這些圖形歸類整理，再?gòu)闹型怀銎叫兴倪呅我活?。?dāng)然，在分一分的活動(dòng)中，學(xué)生提煉的共性特征只是觀察獲得的視覺形象，學(xué)生不必準(zhǔn)確概括圖形特征，教學(xué)時(shí)需要注意點(diǎn)到為止。

（三）符號(hào)表征，建立表象

數(shù)學(xué)抽象的主要過程包括一般化與符號(hào)化。一般化是從大量圖形中提煉共性，概括成一類;符號(hào)化是將概括成的一類圖形用簡(jiǎn)潔的語言或符號(hào)表示。還以“認(rèn)識(shí)平行四邊形”的教學(xué)為例，將多個(gè)平行四邊形分為一類后，教師可以順勢(shì)呈現(xiàn)一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的平行四邊形，指出這個(gè)圖形能表示這些圖形，并命名為平行四邊形。這樣，學(xué)生就完成了直觀階段平行四邊形一般化與符號(hào)化的過程，建立了圖形表象。利用標(biāo)準(zhǔn)的平行四邊形概括形態(tài)各異的平行四邊形，可以幫助學(xué)生建立典型的圖形表象。建立表象后，教師需要安排學(xué)生在常見的物品上找到平行四邊形，這是頭腦里的圖形表象的具體化。這樣的安排一方面能夠評(píng)價(jià)學(xué)生初步形成的平行四邊形表象是否正確，另一方面能讓學(xué)生繼續(xù)感知圖形，進(jìn)一步加強(qiáng)表象。

二、水平2階段的教學(xué)：通過分析，認(rèn)識(shí)圖形特征

水平2階段是指描述與分析（也被翻譯為“分析”）階段。小學(xué)中年段的學(xué)生通常處于這一階段，他們能確定圖形的特征，依據(jù)圖形的特征識(shí)別圖形，或利用這些特征解決簡(jiǎn)單的問題。也就是說，能通過看、量、折、比等實(shí)踐活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)地建立圖形的特征，同時(shí)利用自然語言將這些特征描述出來。但是，他們無法建立這些特征之間的聯(lián)系，不能清楚地指明兩類圖形之間的關(guān)系。

因此，描述與分析階段的教學(xué)目標(biāo)是理解“特征”的含義，從邊和角的視角建構(gòu)圖形特征，學(xué)會(huì)利用圖形特征辨認(rèn)圖形。教學(xué)過程通常是提供多個(gè)圖形例證，開展操作活動(dòng)，將圖形分解成多個(gè)特征（分離特征），然后發(fā)現(xiàn)多個(gè)圖形都具備某些特征，意識(shí)到要將這些特征提煉出來（提純本質(zhì)），作為這類圖形的特征固定下來，并根據(jù)特征給出這類圖形的定義（簡(jiǎn)略表征）。

（一）分離特征

一種圖形往往是多個(gè)特征（屬性）的復(fù)合體。認(rèn)識(shí)圖形時(shí)，學(xué)生需要將圖形的多個(gè)特征分解，意識(shí)到各種特征的存在。在教學(xué)中，教師可以設(shè)計(jì)看、量、折等操作活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生探索圖形的特征，但是，分類活動(dòng)更有利于學(xué)生主動(dòng)分離圖形特征。因?yàn)楦鞣N圖形羅列在一起時(shí)，不同學(xué)生基于個(gè)體經(jīng)驗(yàn)，會(huì)關(guān)注圖形的不同特征，從而根據(jù)特征作出分類，產(chǎn)生多種分類方法。而且分類過程是學(xué)生主動(dòng)進(jìn)行的，關(guān)注特征成為學(xué)生的內(nèi)在需求。例如“認(rèn)識(shí)平行四邊形”的教學(xué)，可以呈現(xiàn)三角形、四邊形、平行四邊形、梯形讓學(xué)生分一分，學(xué)生可能根據(jù)邊數(shù)、角的個(gè)數(shù)、有幾組平行線等特征分。交流時(shí)，可以在肯定學(xué)生想法的基礎(chǔ)上，聚焦根據(jù)有幾組平行線分的情況，引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)這種分法的合理性。如果沒有學(xué)生想到這一分法，教師則可以自行呈現(xiàn)，讓學(xué)生理解道理，這也能激起學(xué)生的思考。

（二）提純本質(zhì)

分離的多個(gè)特征中只有個(gè)別是學(xué)生需要關(guān)注的。提純階段就是從多種特征中聚焦需要關(guān)注的特征，舍棄其他特征，從而獲得圖形的本質(zhì)特征。仍以“認(rèn)識(shí)平行四邊形”的教學(xué)為例，在分離特征階段，學(xué)生已經(jīng)知道根據(jù)有幾組平行線的情況，可以將上述圖形分為三類：沒有平行線、只有一組平行線和有兩組平行線。接著，可以引導(dǎo)學(xué)生觀察有兩組平行線的一類圖形，發(fā)現(xiàn)它們都是平行四邊形。然后，可以提問：其他平行四邊形也有兩組平行線嗎？自己畫幾個(gè)不同的平行四邊形，看一看、找一找，利用直尺、三角尺等工具，驗(yàn)證每組對(duì)邊是否互相平行。學(xué)生需要基于大量的直觀圖形，積累充足的感性經(jīng)驗(yàn)，才能抽象概括出圖形的特征。上述活動(dòng)便是基于這樣一種認(rèn)識(shí)。當(dāng)學(xué)生確認(rèn)畫出的平行四邊形都有兩組平行線后，教師可以揭示結(jié)論：平行四邊形的特征是對(duì)邊平行。

（三）簡(jiǎn)略表征

抽象出圖形的特征后，便可以進(jìn)一步概括圖形的定義。還以“認(rèn)識(shí)平行四邊形”的教學(xué)為例，可以讓學(xué)生試著用一句話說一說什么是平行四邊形，學(xué)生勢(shì)必根據(jù)得到的特征介紹平行四邊形，這樣的表達(dá)是一種描述性定義。當(dāng)學(xué)生在交流中達(dá)成共識(shí)后，教師可以呈現(xiàn)教材中的定義：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫作平行四邊形。

學(xué)生形成圖形的定義后，水平2基本達(dá)成。但是，有效的教學(xué)還需引導(dǎo)學(xué)生“回頭看”，在新舊知識(shí)的比較中深化認(rèn)識(shí)，聚焦圖形特征，體會(huì)圖形特征的價(jià)值。例如“認(rèn)識(shí)平行四邊形”的教學(xué)，可以提問：二年級(jí)學(xué)過了平行四邊形，這節(jié)課為什么還要學(xué)？學(xué)完這節(jié)課，你有什么新的收獲？平行四邊形有什么特征呢？學(xué)習(xí)平行四邊形的特征有什么用？……讓學(xué)生在反思中發(fā)現(xiàn)：二年級(jí)只是從外觀上認(rèn)識(shí)平行四邊形，本節(jié)課則深入地認(rèn)識(shí)平行四邊形的特征;根據(jù)特征，我們可以辨認(rèn)其他的平行四邊形……

三、水平3階段的教學(xué)：抓住關(guān)聯(lián)，展開圖形推理

水平3階段是指抽象與關(guān)聯(lián)（也被翻譯為“非形式化演繹”）階段。小學(xué)高年段的學(xué)生通常處于這一階段，他們能建立圖形內(nèi)部或圖形與圖形的特征或性質(zhì)之間的聯(lián)系，能使用定義、定理等進(jìn)行自然語言上的演繹推理，通過非形式化推理將圖形分類，如認(rèn)識(shí)到長(zhǎng)方形可以被看成“具有某些附加性質(zhì)的平行四邊形”;但是，還沒有形成條理清晰的概念系統(tǒng)，尚不能理解邏輯推理是建立幾何真理的方法，也不能組織起一系列命題來證明觀察到的命題。

因此，抽象與關(guān)聯(lián)階段的主要教學(xué)目標(biāo)是根據(jù)頭腦中建構(gòu)的圖形特征或性質(zhì)建立已學(xué)圖形之間的聯(lián)系，以及進(jìn)行邏輯推理來解決問題。教學(xué)中，要注意“淡化形式”，允許學(xué)生使用自然語言甚至趣味化的兒童語言幫助自己理解關(guān)系與進(jìn)行推理。具體的教學(xué)可以分為如下兩個(gè)步驟：

（一）建立圖形關(guān)系

小學(xué)階段，學(xué)生會(huì)學(xué)習(xí)各種三角形與四邊形，圖形之間在特征與性質(zhì)上，既有相似，也有不同，學(xué)生容易混淆。所以，學(xué)習(xí)多種圖形后，教師應(yīng)該重視圖形之間的比較，從特征入手挖掘各個(gè)圖形的聯(lián)系與區(qū)別，借助韋恩圖生動(dòng)形象地展示圖形關(guān)系，促進(jìn)學(xué)生在認(rèn)知結(jié)構(gòu)中將學(xué)過的圖形連線、結(jié)網(wǎng)、組塊。建立聯(lián)系的最佳時(shí)機(jī)是圖形單元的復(fù)習(xí)課，因?yàn)榻?jīng)過一個(gè)單元的學(xué)習(xí)，學(xué)生已經(jīng)非常熟悉圖形的特征與性質(zhì)，便于在內(nèi)部思維中靈活調(diào)用與分析，教學(xué)效率更高。

以《三角形、平行四邊形和梯形》單元復(fù)習(xí)課為例。學(xué)生學(xué)過了長(zhǎng)方形、正方形、平行四邊形、梯形4種四邊形，為了幫助學(xué)生建構(gòu)圖形聯(lián)系，同時(shí)考慮到推理過程的復(fù)雜性與枯燥性，筆者設(shè)計(jì)了小跨度的、有趣味的兩個(gè)活動(dòng)，驅(qū)動(dòng)學(xué)生主動(dòng)關(guān)聯(lián)圖形。第一個(gè)活動(dòng)（內(nèi)容如下頁圖1所示），學(xué)生需要理解大圈中“裝”的都是平行四邊形，長(zhǎng)方形具有平行四邊形的特點(diǎn)，是一種特殊的平行四邊形，所以也能進(jìn)去，里面小圈中“住”的都是長(zhǎng)方形。有了這個(gè)活動(dòng)的示范，學(xué)生就能自主進(jìn)行第二個(gè)活動(dòng)（內(nèi)容如圖2所示）。實(shí)踐發(fā)現(xiàn)，學(xué)生不難利用內(nèi)外圈圖整理圖形的兩兩關(guān)系。但是，學(xué)生也會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤，而多數(shù)錯(cuò)誤是因?yàn)閳D形特征或性質(zhì)認(rèn)識(shí)不完善或遺忘所致。比如，學(xué)生較少關(guān)注長(zhǎng)方形（正方形）對(duì)邊平行的特點(diǎn)，從而難以建立其與平行四邊形之間的關(guān)系。這類問題反映出完善學(xué)生對(duì)圖形特征與性質(zhì)的認(rèn)識(shí)的重要性。完成上述活動(dòng)后，便可以引導(dǎo)學(xué)生建立多個(gè)圖形之間的關(guān)聯(lián)（如圖3）。

（二）開展圖形推理

學(xué)生的推理能力是逐步發(fā)展的。抽象與分析階段是圖形教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生推理能力的起點(diǎn)，教師要著重引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)圖形的特征與性質(zhì)解決問題，用說理的方式驅(qū)動(dòng)學(xué)生明晰推理過程，熟悉數(shù)學(xué)思考的方式，形成推理意識(shí)。

例如，教師可以出示問題：三角形中最小的角是50°，按角分這是一個(gè)（）三角形。這個(gè)問題涉及的圖形知識(shí)是三角形內(nèi)角和為180°，三角形按角分可以分為銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形。在此基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生推理：如果是直角三角形，則第三個(gè)角為180°-90°-50°=40°，40°<50°，50°不是最小的角，與題意不符;如果是鈍角三角形，則鈍角最小為91°（學(xué)生更理解用整數(shù)舉例），此時(shí)第三個(gè)角是180°-91°-50°=39°，39°<50°，50°也不是最小的角，與題意不符;最后符合要求的只能是銳角三角形。當(dāng)然，學(xué)生的表達(dá)可能缺乏條理性，甚至具有跳躍性，會(huì)省略關(guān)鍵條件。對(duì)此，教師應(yīng)該適時(shí)追問，幫助學(xué)生厘清“因?yàn)椤迸c“所以”。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中廣泛存在類似的問題，教師要捕捉契機(jī)，開展圖形推理，有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生的說理能力。這樣，學(xué)生的幾何思維才能穩(wěn)固地發(fā)展到水平3。

總之，學(xué)生的幾何思維并非自然發(fā)展的，需要教學(xué)活動(dòng)的有效推進(jìn)。對(duì)此，教師需要理解范希爾理論的含義與特點(diǎn)，準(zhǔn)確分析學(xué)生的思維起點(diǎn)，判斷教學(xué)的目標(biāo)水平，設(shè)計(jì)針對(duì)性教學(xué)，引領(lǐng)學(xué)生幾何思維水平的進(jìn)階。

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*本文系江蘇省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃課題“小學(xué)數(shù)學(xué)高段教學(xué)實(shí)施數(shù)學(xué)抽象研究”（編號(hào)：Cb/2020/02/63）的階段性研究成果。