彭國慶

【編者按】 隨著大數(shù)據(jù)時代的到來，即將頒布的新版義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)順應(yīng)時代的變化，新增了一些“統(tǒng)計與概率”領(lǐng)域的課程內(nèi)容。其中，小學(xué)階段的一個重要變化是，將百分?jǐn)?shù)內(nèi)容從“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域調(diào)整到了“統(tǒng)計與概率”領(lǐng)域。面對這一變化，一線教師應(yīng)該如何更好地認(rèn)識百分?jǐn)?shù)內(nèi)容的內(nèi)涵與價值？如何更好地展開百分?jǐn)?shù)內(nèi)容的教學(xué)？本期《熱點透視》欄目的兩篇文章，便是這一方面的研究與實踐成果。

摘要：即將頒布的新版課標(biāo)將小學(xué)數(shù)學(xué)的百分?jǐn)?shù)內(nèi)容從“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域調(diào)整到了“統(tǒng)計與概率”領(lǐng)域。在此背景下，從產(chǎn)生和發(fā)展、意義和特點、小學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用三個方面深入解讀百分?jǐn)?shù)內(nèi)容，進(jìn)而提出教學(xué)建議：創(chuàng)設(shè)問題情境，引發(fā)學(xué)生對百分?jǐn)?shù)的需求;組織統(tǒng)計活動，讓學(xué)生充分體會百分?jǐn)?shù)的意義和價值;等等。

關(guān)鍵詞：百分?jǐn)?shù);統(tǒng)計;課標(biāo)修訂;內(nèi)容解讀;教學(xué)建議

“百分?jǐn)?shù)”是小學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，主要包含百分?jǐn)?shù)的意義和百分?jǐn)?shù)的應(yīng)用等內(nèi)容。近期，義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)修訂組組長史寧中教授在公開講座中明確指出，即將頒布的新版課標(biāo)對百分?jǐn)?shù)內(nèi)容做了非常大的調(diào)整：將其從“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域調(diào)整到了“統(tǒng)計與概率”領(lǐng)域。在此背景下，筆者嘗試深入解讀百分?jǐn)?shù)內(nèi)容并思考如何展開相應(yīng)的教學(xué)。

一、百分?jǐn)?shù)的產(chǎn)生和發(fā)展

（一）百分?jǐn)?shù)的產(chǎn)生

百分?jǐn)?shù)最早產(chǎn)生于商業(yè)的需要。公元前300年，古印度每月的利率就是明確地以100為基礎(chǔ)的（其他數(shù)字也可以）。在古羅馬，百分?jǐn)?shù)被用來衡量金錢上相對于100的虧損和盈利，只在商業(yè)的金錢交易中使用。為什么人們喜歡把百分?jǐn)?shù)運用于商業(yè)計算呢？因為考慮到以100作為基礎(chǔ)份額（如本金）計算的便利。也就是說，那個時候的100還不是真正意義上的百分?jǐn)?shù)的分母，而是一個基準(zhǔn)，也可以理解為一個便于參照的基礎(chǔ)數(shù)據(jù)。1186年意大利熱那亞放債人的賬簿中發(fā)現(xiàn)的以100為基礎(chǔ)的利息，也證實了這個觀點。

商業(yè)中有關(guān)百分?jǐn)?shù)應(yīng)用的一個典型問題是：100元本金可以得到3元利息，那么125元本金可以得到多少利息？這個問題放在今天，可以利用100∶3=125∶x這樣的比例來解答。由此溯源，可以發(fā)現(xiàn)，我國古代的《九章算術(shù)》中也有此類問題。比如第二章《粟米》的第一題：“粟米之法：粟率五十，糲米三十。今有粟一斗，欲為糲米。問：得幾何？答曰：為糲米六升。術(shù)曰：以粟求糲米，三之，五而一。”翻譯成白話文就是：“粟米的兌換比率：粟率50，糲米30。假設(shè)有1斗粟，想換成糲米。問：可換成多少？答案是：可換成6升糲米。方式是：由粟求糲米，乘3，除以5（平均分成5份，取1份）?！贝祟}的解法其實就是由50∶30=10∶x這樣的比例得到的。這種解法后來傳入歐洲。到了文藝復(fù)興時期，數(shù)學(xué)家們關(guān)注到商業(yè)中的數(shù)學(xué)，想到“粟米之法”如果以“粟率一百，糲米六十”這樣的比率兌換，則更容易解決問題。所以，百分比又出現(xiàn)了。

（二）百分?jǐn)?shù)的發(fā)展

18世紀(jì)下半葉，亨瓦爾（G.Achenwall）為國家政治特點比較、對照系統(tǒng)（這門學(xué)問）創(chuàng)造了“統(tǒng)計（statistik）”這個詞。之后，概率論逐漸發(fā)展了起來。到了19世紀(jì)初期，需要一個方便比較和對照的數(shù)據(jù)類型，百分?jǐn)?shù)的基準(zhǔn)功能再一次體現(xiàn)了出來。可以說，統(tǒng)計的需要使百分?jǐn)?shù)的用途從商業(yè)走向了更廣闊的領(lǐng)域。

當(dāng)今社會，統(tǒng)計學(xué)的應(yīng)用越來越廣泛和深入，大數(shù)據(jù)的概念逐漸普及;因為統(tǒng)計需要，百分?jǐn)?shù)作為統(tǒng)計數(shù)據(jù)出現(xiàn)的頻率越來越高，尤其在經(jīng)濟(jì)、社會、教育、醫(yī)療等領(lǐng)域。這引發(fā)了人們對百分?jǐn)?shù)價值的重新思考，也是課標(biāo)修訂組的專家決定把百分?jǐn)?shù)內(nèi)容從“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域移到“統(tǒng)計與概率”領(lǐng)域的重要原因。

此外，談百分?jǐn)?shù)的發(fā)展必然要談到百分號，因為百分號的出現(xiàn)標(biāo)志著百分?jǐn)?shù)發(fā)展到成熟階段。目前，沒有證據(jù)表明在1425年以前有一個特殊的符號被用在百分?jǐn)?shù)中。早期表示百分?jǐn)?shù)的符號大約出現(xiàn)在1490年意大利的一份手稿中，把“per-cento”（意大利語，意思是“百分之”）縮寫為“perco”或“pco”。而后，逐漸出現(xiàn)了省略“per”或“p”而直接用“0/0”表示的分?jǐn)?shù)形式。之后，又逐漸演變成了“%”。

從百分?jǐn)?shù)的產(chǎn)生和發(fā)展歷程中，我們不難看出，百分?jǐn)?shù)和比例、分?jǐn)?shù)、統(tǒng)計等內(nèi)容有著千絲萬縷的聯(lián)系。這些聯(lián)系是過去和當(dāng)下人們認(rèn)識百分?jǐn)?shù)的重要基礎(chǔ)。

二、百分?jǐn)?shù)的意義與特點

人教版、蘇教版和北師大版小學(xué)數(shù)學(xué)教材基本一致地指出：百分?jǐn)?shù)表示一個數(shù)是另一個數(shù)的百分之幾，也叫作百分比或百分率。綜觀這三個版本教材中有關(guān)百分?jǐn)?shù)意義的內(nèi)容，不難發(fā)現(xiàn)百分?jǐn)?shù)的意義和特點。

（一）百分?jǐn)?shù)的意義

1.表示相同單位數(shù)量之間的倍比關(guān)系。

百分?jǐn)?shù)本質(zhì)上是分母為100的分?jǐn)?shù)。分?jǐn)?shù)是把單位“1”平均分成若干份，表示這樣一份或幾份的數(shù)，具有“比率”“度量”“商”三重意義，可以與小數(shù)、整數(shù)互化，可以進(jìn)行四則運算。相對于分?jǐn)?shù)而言，百分?jǐn)?shù)更凸顯“比率”意義，更多地應(yīng)用于實際問題。

人教版教材首先給出了電腦安裝程序格式化進(jìn)程數(shù)據(jù)、衣服成分?jǐn)?shù)據(jù)、品牌汽車銷售數(shù)據(jù)，其中的百分?jǐn)?shù)分別表示電腦已格式化的空間與總空間之間的倍比關(guān)系、衣服成分材料與總材料之間的倍比關(guān)系、品牌汽車今年銷售量與去年同期銷售量之間的倍比關(guān)系。蘇教版教材首先給出了籃球比賽的情境，其中的百分?jǐn)?shù)表示投中次數(shù)（部分?jǐn)?shù)）與投籃次數(shù)（總數(shù)）之間的倍比關(guān)系。北師大版教材首先給出了足球比賽的情境，其中的百分?jǐn)?shù)表示進(jìn)球次數(shù)（部分?jǐn)?shù)）和罰球次數(shù)（總數(shù)）之間的倍比關(guān)系。可見，與分?jǐn)?shù)一樣，百分?jǐn)?shù)表示相同單位數(shù)量之間的倍比關(guān)系。

2.可以為決策提供支持（參考）。

百分?jǐn)?shù)形式簡單（分母都是100），便于比較大小，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)規(guī)律，因此，實際運用特別廣泛，作為統(tǒng)計數(shù)據(jù)所蘊含的信息可為個人或集體決策提供有效支持（參考）。

比如，通過比較表1中四種食品的合格率，消費者可以對購買四種食品形成決策：多購買巧克力，因為其合格率最高;少購買果凍，因為其合格率最低。

再如，人口出生率的持續(xù)下降，給行政決策部門制定新時代的人口政策——如開放“二孩”“三孩”，提供了參考依據(jù)。

（二）百分?jǐn)?shù)的特點

1.形式簡單但內(nèi)容豐富。

百分?jǐn)?shù)寫起來很簡潔，分母100和分?jǐn)?shù)線一起簡化為百分號“%”，但內(nèi)涵很豐富。一方面，百分?jǐn)?shù)表示的倍比關(guān)系可以是包含的部分和總體之間的，如某批次零件的合格率是95%;也可以是并列的部分或總體之間的，如今年植樹棵數(shù)相當(dāng)于去年的110%。另一方面，百分?jǐn)?shù)可以表示相對穩(wěn)定的倍比關(guān)系，如衣料中某種成分的占比、飲料中某種成分的占比、食品中某種成分的占比等;也可以表示隨機變化的倍比關(guān)系，如學(xué)生的出勤率、綠豆的發(fā)芽率、小麥的出粉率等。

此外，百分?jǐn)?shù)的分子類型也豐富多樣：從大小上看，可以是小于、等于或大于100的數(shù);從特征上看，可以是整數(shù)或小數(shù)。

2.利于比較但容易錯判。

百分?jǐn)?shù)的分母都是100，只要比較分子，就能判斷大小，但如果不能理解其實際意義，弄清其表示的是哪兩個數(shù)量的倍比關(guān)系，進(jìn)而在百分?jǐn)?shù)這個“率”的大小關(guān)系的基礎(chǔ)上，弄清楚更基本的“量”的大小關(guān)系，則很有可能得出錯誤的結(jié)論。也就是說，百分?jǐn)?shù)和平均數(shù)等計算得到的統(tǒng)計量一樣，具有“欺騙性”。

比如，知道兩個地區(qū)的GDP增長率分別是1.5%和7.8%后，如果簡單地比較兩個百分?jǐn)?shù)的大小，而不理解其實際意義，則很容易造成錯誤的判斷，即后者的經(jīng)濟(jì)總量一定好于前者。其實，增長率表示的是增長量與對應(yīng)總量的倍比關(guān)系，增長率大的總量也可能小。

再如，兩個領(lǐng)域人群的犯罪增長率分別是200%和10%，給人的感覺是前者犯罪的人數(shù)遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過后者，但是實際情況可能恰恰相反：前者之前有1人犯罪，之后又有2人犯罪;后者之前有1000人犯罪，之后又有100人犯罪。

三、小學(xué)數(shù)學(xué)中百分?jǐn)?shù)的應(yīng)用

（一）百分?jǐn)?shù)的“商業(yè)應(yīng)用”

百分?jǐn)?shù)的很多商業(yè)應(yīng)用傳承至今，其中的百分?jǐn)?shù)通常是約定得到的。關(guān)于百分?jǐn)?shù)的商業(yè)應(yīng)用，教材基于學(xué)生的生活經(jīng)驗以及內(nèi)容的教學(xué)價值，選編得最多的就是納稅（稅率）、利息（利率）、促銷（打折）等商業(yè)問題。這三類問題有各自的特點。對納稅問題和利息問題，學(xué)生通常接觸不多：應(yīng)用稅率解決納稅問題和應(yīng)用利率解決利息問題通常都是專業(yè)人員的工作。相對而言，后者通常列式簡單些，而計算麻煩些。納稅問題和利息問題都是經(jīng)濟(jì)生活中的重要問題，能為學(xué)生未來的生活、工作奠定重要的基礎(chǔ)。促銷（打折）問題是學(xué)生在現(xiàn)實生活中接觸得最多的問題，也是三類問題中變化最多、難度最大的問題，如折上折問題、多件才打折的問題、變相打折的買送問題等。對此，學(xué)生首先要正確理解打折的百分?jǐn)?shù)含義：打幾折或幾幾折就是把商品按原價的百分之幾十或幾十幾出售。

（二）百分?jǐn)?shù)的“統(tǒng)計應(yīng)用”

百分?jǐn)?shù)的統(tǒng)計應(yīng)用正在逐漸受到重視，其中的百分?jǐn)?shù)通常是調(diào)查得到的。百分?jǐn)?shù)的統(tǒng)計應(yīng)用集中表現(xiàn)為，以百分?jǐn)?shù)作為統(tǒng)計數(shù)據(jù)進(jìn)行比較和計算分析。實際上，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們還應(yīng)該特別注意把百分?jǐn)?shù)應(yīng)用到扇形統(tǒng)計圖中。扇形統(tǒng)計圖可以用來表示各部分?jǐn)?shù)量與總體數(shù)量之間的關(guān)系，而這種關(guān)系正適合用百分?jǐn)?shù)表示。因此，教學(xué)“扇形統(tǒng)計圖”時，可以通過變式問題，加強百分?jǐn)?shù)的應(yīng)用，讓學(xué)生充分體會到百分?jǐn)?shù)在統(tǒng)計中的作用。當(dāng)然，需要注意的是，扇形統(tǒng)計圖中的百分?jǐn)?shù)多數(shù)表示包含的部分和總體之間的倍比關(guān)系，而非并列的部分或總體之間的倍比關(guān)系。

（三）百分?jǐn)?shù)的“一般應(yīng)用”

這里所說的百分?jǐn)?shù)的“一般應(yīng)用”，是指利用百分?jǐn)?shù)解決一些和一般的分?jǐn)?shù)問題結(jié)構(gòu)類似的問題。這些問題大約包括這樣幾種基本類型：求一個數(shù)是另一個數(shù)的百分之幾（百分率）;求單位“1”的百分之幾是多少; 已知單位“1”的百分之幾，求單位“1”;求一個數(shù)比另一個數(shù)多（或少）百分之幾，等等。這些問題的解決方法和一般的分?jǐn)?shù)問題完全相同，可以看作是對分?jǐn)?shù)問題的復(fù)習(xí)和“再應(yīng)用”。

四、百分?jǐn)?shù)內(nèi)容的教學(xué)建議

基于課標(biāo)修訂所做的調(diào)整，百分?jǐn)?shù)內(nèi)容的教學(xué)要特別注意：

（一）創(chuàng)設(shè)問題情境，引發(fā)學(xué)生對百分?jǐn)?shù)的需求

蘇教版和北師大版教材給出的選擇隊員參加籃球和足球比賽的問題情境，都是非常適合引入百分?jǐn)?shù)概念的問題情境。當(dāng)然，在教學(xué)中，可以采取分步呈現(xiàn)數(shù)據(jù)、逐步提問的方式，引發(fā)學(xué)生對百分?jǐn)?shù)的需求，同時，也能讓學(xué)生體會到百分?jǐn)?shù)作為統(tǒng)計數(shù)據(jù)的意義和價值。

以北師大版教材為例。教師出示問題情境：在一場足球比賽中，猛虎隊獲得一次罰點球的機會，他們準(zhǔn)備派三名隊員中的一名去罰點球。再出示三名隊員的進(jìn)球數(shù)，分別是18個、8個和21個，讓學(xué)生判斷派哪名隊員去。學(xué)生討論得出：不能只根據(jù)進(jìn)球數(shù)這一個數(shù)據(jù)判斷。教師出示三名隊員的罰球數(shù)，組織討論得出：雖然罰球數(shù)和進(jìn)球數(shù)都知道了，但是不能根據(jù)它們的個數(shù)來判斷，而應(yīng)看它們的比率。學(xué)生雖然不能具體、完整地描述命中率的概念，但是憑借生活經(jīng)驗和其他途徑學(xué)習(xí)的知識，可以提出命中率的概念。而后，教師引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)自己的理解表達(dá)什么是命中率，引出“命中率就是進(jìn)球數(shù)占罰球數(shù)的幾分之幾”這種表達(dá)，從而理解百分?jǐn)?shù)表示的是相同單位數(shù)量之間的倍比關(guān)系，而統(tǒng)一為分母是100的分?jǐn)?shù)的形式是為了方便比較大小，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)規(guī)律。接著，教師追問：是否派命中率最高的隊員去罰點球就能保證命中呢？學(xué)生討論得出：實際命中情況是不確定的。從而理解百分?jǐn)?shù)可以表示隨機變化的倍比關(guān)系。在此基礎(chǔ)上，教師可以適當(dāng)介紹衣料中某種成分的占比、飲料中某種成分的占比、食品中某種成分的占比等，讓學(xué)生理解百分?jǐn)?shù)也可以表示相對穩(wěn)定的倍比關(guān)系。

（二）組織統(tǒng)計活動，讓學(xué)生充分體會百分?jǐn)?shù)的意義和價值

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)既要重視結(jié)果，也要重視過程。充分經(jīng)歷數(shù)據(jù)的收集、整理、計算和分析等過程，得到并運用具有實際意義的百分?jǐn)?shù)，學(xué)生才能充分體會百分?jǐn)?shù)的意義和價值，同時發(fā)展統(tǒng)計思維，包括體會事物的確定性和不確定性及其辯證關(guān)系。為此，教師要聯(lián)系生活實際，組織豐富的統(tǒng)計活動。這樣的活動可以課內(nèi)外結(jié)合完成。

一方面，要凸顯數(shù)據(jù)采集的過程，讓學(xué)生體會百分?jǐn)?shù)的意義。例如，讓學(xué)生調(diào)查得到本年級學(xué)生的近視率。課上，可以引導(dǎo)學(xué)生討論，形成如下方案：（1）通過問卷調(diào)查收集本年級近視學(xué)生數(shù)，通過計算求出近視率;（2）把本班級作為樣本，調(diào)查出本班級的近視率，估計出本年級的近視率。課外，可以讓學(xué)生分別按照兩種方案展開統(tǒng)計活動。之后，可以引導(dǎo)學(xué)生比較：哪一種方法得到的數(shù)據(jù)比較精準(zhǔn)？哪一種方法更有推廣價值？學(xué)生可以形成這樣的統(tǒng)計觀念：調(diào)查對象的選取會影響統(tǒng)計結(jié)果的精準(zhǔn)性以及統(tǒng)計過程的可操作性。進(jìn)而體會到抽樣統(tǒng)計的價值：適度犧牲精準(zhǔn)性，大幅提升可操作性。此外，可以讓學(xué)生調(diào)查得到本年級學(xué)生某項體育運動的達(dá)標(biāo)率，實驗得到某種種子的發(fā)芽率，等等。

另一方面，要凸顯數(shù)據(jù)分析的過程，讓學(xué)生體會百分?jǐn)?shù)的價值。數(shù)據(jù)分析觀念是統(tǒng)計思維的核心，能充分培養(yǎng)學(xué)生的理性精神。教師可以讓學(xué)生對自己得到的百分?jǐn)?shù)進(jìn)行分析。如，調(diào)查得到本年級學(xué)生的近視率后，可以讓學(xué)生將其與國際標(biāo)準(zhǔn)比較，分析背后的原因，提出改進(jìn)的建議。教師也可以讓學(xué)生了解媒體發(fā)布的與國家、個人息息相關(guān)的經(jīng)濟(jì)、社會等領(lǐng)域的數(shù)據(jù)，理解其中的百分?jǐn)?shù)的意義，然后進(jìn)行分析。例如，了解住房貸款利率的變化情況，分析購房人的購房心態(tài);了解節(jié)假日商家促銷的打折情況，分析消費者的購買行為。這些都是學(xué)生應(yīng)用百分?jǐn)?shù)的知識作出決策、解決問題的表現(xiàn)。

此外，值得一提的是，數(shù)學(xué)教學(xué)要讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)知識之間的聯(lián)系，理想結(jié)果就是讓學(xué)生把有聯(lián)系的知識建構(gòu)成一個系統(tǒng)。在百分?jǐn)?shù)內(nèi)容的教學(xué)中，教師不能只關(guān)注百分?jǐn)?shù)的統(tǒng)計意義和價值，還要幫助學(xué)生理清百分?jǐn)?shù)與分?jǐn)?shù)、比的區(qū)別和聯(lián)系，從而理解百分?jǐn)?shù)的本質(zhì)，建立百分?jǐn)?shù)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。由此，在更多的百分?jǐn)?shù)問題的解決中，把分?jǐn)?shù)、比問題的解決方法遷移過來，提升解決問題的能力。

參考文獻(xiàn)：

[1] Kautilya.Arthasastra[M].Mysore：Mysore Printing and Publishing House，1967.

[2] 黑木哲德.數(shù)學(xué)符號理解手冊[M].趙雪梅，譯.上海：學(xué)林出版社，2011.

[3] 張蒼，等.九章算術(shù)[M].曾海龍，譯解.南京：江蘇人民出版社，2011.

[4] H.G.Funkhouser.Historical development of the graphical representation of statistical data[J].Ositis，1937（3）.

[5] 彭國慶，黎陽.蘇教版和人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教科書中百分?jǐn)?shù)意義的比較[J].現(xiàn)代中小學(xué)教育，2018（10）.