聚焦作圖 提升素養(yǎng)

摘 要：如何才能更好地指導(dǎo)學(xué)生進行作圖學(xué)習(xí)，為此，我們進行了教材幾何作圖知識方面的梳理，試圖了解教材關(guān)于幾何作圖的編排體系與知識結(jié)構(gòu)，進而讓教師的作圖教學(xué)更具有方向性和指導(dǎo)性，讓學(xué)生作圖學(xué)習(xí)不僅僅停留在簡單的操作中，而是實現(xiàn)整體的提升。基于概念理解、目標(biāo)分層和作圖技能溝通，具體實現(xiàn)作圖的目標(biāo)落實和能力培養(yǎng)的教學(xué)策略。

關(guān)鍵詞：作圖體系;對比;作圖學(xué)習(xí)

小學(xué)階段的作圖是對圖形與幾何的初步認識，作圖工具方面可操作性強，作圖內(nèi)容相對比較具體直觀。從總體上來看，小學(xué)階段的作圖是結(jié)合認識圖形慢慢滲透幾何直觀觀念。為此，教師應(yīng)重視學(xué)生的基本作圖，爭取人人能夠達標(biāo)，部分學(xué)生還能適度超標(biāo)。如何才能更好地指導(dǎo)學(xué)生進行作圖學(xué)習(xí)？為此，我們進行了教材幾何作圖知識方面的梳理，這樣教師的作圖教學(xué)更具有方向性和指導(dǎo)性。

一、 小學(xué)數(shù)學(xué)教材中幾何作圖的梳理

學(xué)生作圖學(xué)習(xí)能力的提升是一個循序漸進的過程，需要教師結(jié)合日常教學(xué)逐步地滲透和指導(dǎo)。因此，有必要對教材中的作圖內(nèi)容按照不同年級做一個有序的梳理，分析作圖內(nèi)容間的聯(lián)系與發(fā)展，更好地組織教學(xué)活動。通過梳理發(fā)現(xiàn)，小學(xué)階段的作圖知識總共分為四大類，分別是畫線、畫角、畫平面圖形與畫圖形運動。而這四類板塊的學(xué)習(xí)，教材依據(jù)學(xué)生身心發(fā)展和知識體系呈現(xiàn)有機聯(lián)系、螺旋上升的過程。學(xué)生的基本作圖也是隨著思維水平的提升，逐步由簡單走向復(fù)雜。

（一）畫線一類作圖體系

根據(jù)畫線一類作圖的要求，我們在對人教版教材作圖知識內(nèi)容梳理中，發(fā)現(xiàn)在低年級，教材加強對線段的直觀感知，注重積累畫線段的經(jīng)驗。學(xué)生進入四年級后，畫線開始涉及直線和射線，從具體到抽象，實現(xiàn)知識增長的同時，慢慢形成了線領(lǐng)域的完整知識體系。

從上圖的整理，我們發(fā)現(xiàn)，低年級學(xué)生主要是用刻度尺畫線段，測量的長度單位有厘米、毫米和分米。我們還發(fā)現(xiàn)教材要求學(xué)生畫的線段一般不會超過1分米，由于米和千米這兩個長度單位較大，在六年級時教材才具體引入了按比例在圖上繪制以米或千米為單位的線段，在低年級教材并不安排學(xué)生畫。為了幫助學(xué)生更好地形成“以圖識性”，因而教師可以結(jié)合學(xué)生認識“米和千米”這兩個較大的長度單位時，為畫線段做一下拓展，例如，在操場上測量長度或畫較長的“線段”，教師也可以借助地圖等材料幫助學(xué)生具體感知：當(dāng)單位較大時按照一定的比例也可以在紙上作圖，作為拓展性的課程進行，以此拓展學(xué)生的知識面。四年級則因為射線和直線概念的引入，要求學(xué)生會畫直線和射線，掌握畫兩條互相垂直的直線?？梢?，四年級是個轉(zhuǎn)折，從具體的長度（線段）到抽象的無限長，是學(xué)生觀念上的一次飛躍，同時對學(xué)生“畫線”操作活動要求更為密集。

（二）畫角一類作圖體系

通過整理可見，畫角一類作圖內(nèi)容不斷豐富，教材依據(jù)學(xué)生的身心發(fā)展和知識體系螺旋上升。用尺子畫任意大小的角，這是對角的初步感知。利用三角板畫直角，學(xué)生開始區(qū)別角有銳角、直角和鈍角之分。隨著角概念的深入發(fā)展，對學(xué)生畫角要求較高，從畫垂線段到圖形中作高，再到使用量角器畫指定度數(shù)的角，學(xué)生的畫角學(xué)習(xí)路徑其實是一個從“描角”到“設(shè)計角”的過程。

如圖，我們發(fā)現(xiàn)：教材在對畫角的要求上呈現(xiàn)鮮明的年級和年齡特征。二年級學(xué)生使用尺子畫任意角，會用三角板畫直角是對角的初步感知，是無須理解原理，處于直觀感知階段。隨著年齡的增長，學(xué)生漸漸地從角的表象走向了角的特征與本質(zhì)的認識，這一點可以從角的概念逐步抽象化過程中發(fā)現(xiàn)。四年級學(xué)生使用直尺和三角尺來畫垂線和在圖形中作高，這是需要依據(jù)“原理”來作圖，處于直觀形象的操作階段。學(xué)生能按指定度數(shù)用量角器畫角，畫角的技能進一步提升。

（三）畫平面圖形一類作圖體系

如下圖所示：隨著新教材改革對學(xué)生畫平行線不做具體要求后，學(xué)生在畫平面圖形上的內(nèi)容減少，難度也降低，只有兩個側(cè)重點：分別是畫長方形和正方形以及使用圓規(guī)畫圓和畫圓中的一部分（扇形）。

通過整理，我們發(fā)現(xiàn)三年級畫長方形與正方形更多的是借助格子圖來“描”，這主要是因為學(xué)生對長方形和正方形特征認識處于以依據(jù)表象為主的直觀感知水平。四年級則因為垂線概念的學(xué)習(xí)，學(xué)生集中要求掌握“畫垂線”的技能，這時畫長方形與正方形，是通過應(yīng)用垂直原理來完成的一個綜合任務(wù)，是學(xué)生理解原理后的畫圖技能的直接運用。六年級學(xué)習(xí)用圓規(guī)畫圓和畫圓中的一部分（扇形），是學(xué)生首次使用新的作圖工具，畫簡單的曲線圖形。

（四）圖形運動一類的作圖體系

圖形運動方面作圖內(nèi)容主要集中在對點、線、面動態(tài)運動的理解上，涉及的作圖知識主要有對稱、平移與旋轉(zhuǎn)，實現(xiàn)學(xué)生思維從靜態(tài)空間到動態(tài)空間的提升，溝通點、線、面三個維度，從運動變化的角度去探索和認識空間與圖形，建立起圖形與幾何教學(xué)所要求的空間觀念和思維想象能力。

如上圖所示，首先，圖形運動方面的作圖，因為從靜態(tài)走向動態(tài)，是圖形在空間變化位置的方式，是學(xué)生掌握“平行”“垂直”概念后的綜合運用，所以教材集中編排在中高年級。其次，我們發(fā)現(xiàn)，所有的運動作圖全部放在格子圖中進行，這大大降低了學(xué)生作圖的難度。另外，對稱實則是對應(yīng)點的運動，平移實則是對應(yīng)線段的運動，而旋轉(zhuǎn)其實是線的旋轉(zhuǎn)帶動角的旋轉(zhuǎn)甚至帶動形的旋轉(zhuǎn)。學(xué)生只有加深體驗與理解圖形變換的特征，才能正確地作圖。

二、 思考實踐：學(xué)生作圖能力培養(yǎng)策略

立體幾何離不開圖形，學(xué)好立體幾何應(yīng)從圖形入手，學(xué)會畫圖、視圖、用圖。筆者以為教師要高度重視基本作圖教學(xué)，把基本圖形教學(xué)落實到具體。要認識到培養(yǎng)空間想象能力，必須過好作圖這一關(guān)，重視圖形教學(xué)。

（一）基于概念理解的作圖，提高作圖學(xué)習(xí)的思維性

任何作圖其實都是學(xué)生基于對概念的理解和掌握基礎(chǔ)上進行的。為了幫助學(xué)生掌握作圖，通過怎樣的途徑和方式能較好地幫助和促進學(xué)生理解概念，進而提高作圖的能力呢？通過實踐研究，我們發(fā)現(xiàn)，利用生活原型、巧設(shè)問題情境、借助變式教學(xué)，是在作圖概念教學(xué)中幫助學(xué)生提高作圖思維性的三條主要途徑。

【平行四邊形畫高】教學(xué)策略

因為學(xué)生生活經(jīng)驗中的平行四邊形大多是“底”平行于水平線的圖形，為了豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)經(jīng)驗，可以提供一些非標(biāo)準圖形。同樣的一個平行四邊形，位置發(fā)生變化，讓學(xué)生分別作高，并追問“你發(fā)現(xiàn)了什么”。通過動手操作與思考，學(xué)生能體會到位置變了，但底和高的關(guān)系是不變的。

策略思考：對于學(xué)生來說，“高”是個抽象的概念。因此恰當(dāng)運用變式與反例有助于學(xué)生理解。（如上圖所示）學(xué)生從變式材料的各種屬性中區(qū)分出本質(zhì)屬性和非本質(zhì)屬性，從而真正領(lǐng)悟作圖技巧的本質(zhì)內(nèi)涵。教師指導(dǎo)學(xué)生作圖，針對學(xué)習(xí)中容易出現(xiàn)的盲點，引發(fā)學(xué)生的認知沖突，激起學(xué)生深入探究的欲望，才能幫助學(xué)生靈活掌握作圖特征。

（二）基于目標(biāo)分層的作圖，提升作圖學(xué)習(xí)的層次性

作圖教學(xué)不是簡單的技能操作和訓(xùn)練，它是一種以內(nèi)在思維活動為先導(dǎo)的認知活動。教師要關(guān)注技能背后的認知目標(biāo)，把看似簡單的一節(jié)課的學(xué)習(xí)目標(biāo)置于整個學(xué)科體系視野下來考慮，有對于“學(xué)”的考量，針對學(xué)生不同層級的“學(xué)習(xí)目標(biāo)”而開展系列的學(xué)習(xí)活動，進而不斷提升學(xué)生作圖學(xué)習(xí)的層次性。

【畫垂線】教學(xué)策略

①嘗試畫出已知直線（水平放置）的垂線。

反饋學(xué)生錯誤：要求學(xué)生思考怎樣來驗證所畫的線是否垂直。

②鞏固畫法：分別過已知直線（水平放置）上一點和直線外一點畫已知直線的垂線。

③變式練習(xí)：畫已知直線的垂線。

對比思考：畫已知直線的垂線，這條直線不管是否水平放置，所畫的垂線與已知直線總是存在著怎樣的關(guān)系？

④綜合應(yīng)用：畫一個長4厘米，寬3厘米的長方形。

在平時畫垂線的練習(xí)中，筆者觀察到，當(dāng)已知直線不是水平放置時，學(xué)生的畫圖工具往往在本子上轉(zhuǎn)來轉(zhuǎn)去，無所適從。從調(diào)查中，我們了解到，學(xué)生無所適從的原因是他們對“相互垂直”的概念往往習(xí)慣于“豎著”理解，當(dāng)變化了直線的方向、位置，學(xué)生就會受標(biāo)準情況的定勢影響，發(fā)生錯誤。這就要求教師在設(shè)計作圖學(xué)習(xí)時關(guān)注學(xué)習(xí)目標(biāo)的層級，不僅要提供標(biāo)準范式，還要變換材料的非本質(zhì)屬性，提供充分的變式讓學(xué)生感知、比較。從不過點畫垂線到過直線上一點畫垂線，再到過直線外一點畫垂線，最后畫長方形或正方形。教學(xué)設(shè)計關(guān)注學(xué)習(xí)目標(biāo)的層級，學(xué)生就像爬樓梯，拾級而上。

（三）基于作圖技能的溝通，體現(xiàn)作圖學(xué)習(xí)的聯(lián)系性

通過研究，我們發(fā)現(xiàn)其實小學(xué)階段的作圖知識基本上都可以轉(zhuǎn)化為已經(jīng)學(xué)過的知識，是在已有的基礎(chǔ)上不斷增加應(yīng)用的深度及靈活性。例如：畫直角、畫垂線與畫高步步為營，畫垂線又為畫對稱做好孕伏，畫角其實與畫旋轉(zhuǎn)彼此相輔相成等。

為什么學(xué)生在畫高的時候經(jīng)常會出現(xiàn)錯誤？經(jīng)過調(diào)查，筆者發(fā)現(xiàn)學(xué)生出現(xiàn)錯誤的原因在于對“高”的定義沒有從本質(zhì)上理解到位，他們不能正確地找到圖形中的頂點及相應(yīng)的對邊，學(xué)生的操作是在模仿中進行的。

【畫平面圖形的高】教學(xué)策略

如下圖所示，作高其實就是作垂線段，所以方法上與畫垂線的步驟是一樣的。筆者在教學(xué)時引導(dǎo)學(xué)生觀察比較，反思后得出，畫出相應(yīng)平面圖形的“高”，要注意三點。其一，它與對應(yīng)的底邊相互依存;其二，它不受圖形旋轉(zhuǎn)、位置變化的限制;其三，它是一條垂直線段，是有長度的。也就是在學(xué)生已有的畫垂線基礎(chǔ)上，運用遷移轉(zhuǎn)化，進而繼續(xù)學(xué)習(xí)圖形中作垂線即作高。

策略思考：筆者啟發(fā)學(xué)生回憶畫“垂線”的方法，放手讓學(xué)生利用知識的遷移畫圖形中的“高”，然后再通過板演畫“高”的過程，組織學(xué)生討論，總結(jié)畫“高”的方法。此過程經(jīng)歷操作、觀察、比較、交流、歸納等活動，讓學(xué)生在主動探究中遷移了畫法，進而逐步掌握畫高技能。

經(jīng)過課題組老師們的努力，我們欣喜地看到：不管是學(xué)生，還是老師，對數(shù)學(xué)基本作圖都有了更進一步的認識。學(xué)生良好的作圖習(xí)慣正在形成，用圖表意的意識逐漸增強，依圖解題的思維能力不斷提升;同時教師的作圖素養(yǎng)也有了極大的提高，促進了數(shù)學(xué)教學(xué)的長足進步。

參考文獻：

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[2]任敏龍.基于原型的“發(fā)生式學(xué)習(xí)”：以教學(xué)“角的初步認識”為例[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教師，2011（11）.

作者簡介：

邵亞飛，浙江省杭州市，浙江省杭州市蕭山區(qū)南陽小學(xué)。