王書(shū)曉 黃 謙 李 偉

（海軍大連艦艇學(xué)院 大連 116018）

1 引言

在大洋航行中，采用大圓航線(xiàn)可以大幅縮短航程，提高人員物資投送效率。據(jù)粗略測(cè)算，由于全球變暖，北冰洋的海冰正加速消融，在不遠(yuǎn)的將來(lái)北極航線(xiàn)將完全開(kāi)通［1］，恒向線(xiàn)航線(xiàn)的效率、適用程度大大降低，大圓航法將大有用武之地［2］。航海自動(dòng)化的高速發(fā)展要求大圓航線(xiàn)設(shè)計(jì)的快速化和準(zhǔn)確化，為了提高遠(yuǎn)洋艦艇的航海保證能力，大圓航線(xiàn)可執(zhí)行航向的自動(dòng)化計(jì)算成為一項(xiàng)重要的時(shí)代課題。

2 大圓航線(xiàn)執(zhí)行原理

根據(jù)地圖投影原理，大圓航線(xiàn)在用于保障航行的墨卡托海圖上是一條弧線(xiàn)，如圖1弧AB所示，除非與經(jīng)線(xiàn)或赤道重合，大圓航線(xiàn)上各點(diǎn)與經(jīng)線(xiàn)的交角均不相等，也就是說(shuō)，大圓航線(xiàn)上各點(diǎn)的航向是變化的，艦艇若想要嚴(yán)格沿大圓航線(xiàn)航行，必須不斷改變航向，駕駛操縱甚為不便。因此，在航海實(shí)踐中，通常是按照一定原則把大圓航線(xiàn)分段，在各分點(diǎn)之間沿恒向線(xiàn)航行，即以多條恒向線(xiàn)連接而成的折線(xiàn)來(lái)近似代替大圓航線(xiàn)，分為切線(xiàn)法和弦線(xiàn)法兩種，如圖1中實(shí)線(xiàn)所示，即為實(shí)際執(zhí)行的恒向線(xiàn)航線(xiàn)。

2.1 切線(xiàn)法

如圖1中折線(xiàn)A-C-D-E-F-B所示，艦艇在起航點(diǎn)A以大圓航向作為恒向線(xiàn)航向航行，航行一定航程之后到達(dá)新的轉(zhuǎn)向點(diǎn)C，艦艇必然偏離了原大圓航線(xiàn)一定距離，此時(shí)以C作為新的大圓航線(xiàn)起點(diǎn)重新計(jì)算從C到B的大圓航向，再作為恒向線(xiàn)航向航行，依此類(lèi)推，直至到達(dá)終點(diǎn)。切線(xiàn)法主要解決兩個(gè)問(wèn)題：

圖1 大圓航線(xiàn)實(shí)際執(zhí)行原理示意圖

1）初始大圓航向計(jì)算；

2）以大圓航向作為恒向線(xiàn)航向采用恒向線(xiàn)航法計(jì)算到達(dá)點(diǎn)坐標(biāo)。

2.2 弦線(xiàn)法

如圖1中折線(xiàn)A-H-I-J-K-B所示，通常按經(jīng)度間隔5或10，或按大約一晝夜的航程，在大圓航線(xiàn)上確定若干個(gè)分點(diǎn)作為轉(zhuǎn)向點(diǎn)，艦艇沿相鄰兩分點(diǎn)間的恒向線(xiàn)航行。弦線(xiàn)法主要解決的問(wèn)題是：

1）按經(jīng)差或航程間隔對(duì)大圓航線(xiàn)進(jìn)行分段時(shí)分點(diǎn)坐標(biāo)的計(jì)算；

2）分點(diǎn)之間采用恒向線(xiàn)航法計(jì)算航向航程。

無(wú)論采用何種方法，初始大圓航向的計(jì)算和弦線(xiàn)法分點(diǎn)坐標(biāo)的計(jì)算是大圓航線(xiàn)自動(dòng)化計(jì)算中的瓶頸問(wèn)題。

3 基本參數(shù)計(jì)算

地球的實(shí)際形狀很不規(guī)則，在航海上通常取旋轉(zhuǎn)橢球體或圓球體作為地球的近似體進(jìn)行數(shù)學(xué)計(jì)算，由于大圓航線(xiàn)航程較長(zhǎng)，一般可達(dá)數(shù)千海里，橢球體曲率的影響相對(duì)較小，因此在進(jìn)行大圓航線(xiàn)計(jì)算時(shí)，可把地球看作圓球體，運(yùn)用球面三角形公式進(jìn)行大圓航線(xiàn)的解算。

3.1 大圓航法三角形基本要素

在球面上，由三條大圓弧所圍成的球面圖形稱(chēng)為球面三角形，三條邊和三個(gè)角均大于0°、小于180°的球面三角形稱(chēng)為歐拉三角形，也就是航海上所用的球面三角形［3］。在大圓航法中使用的歐拉三角形，是過(guò)地球表面A、B兩點(diǎn)的經(jīng)線(xiàn)與連接A、B兩點(diǎn)的大圓劣弧所圍成的球面三角形，如圖2中三角形PNAB，其中連接A、B兩點(diǎn)的大圓劣弧即為A點(diǎn)到B點(diǎn)的大圓航線(xiàn)。

3.2 大圓航程計(jì)算

如圖2所示，在球面三角形PNAB中，由于已知啟航點(diǎn)A和到達(dá)點(diǎn)B的經(jīng)度、緯度，可知［4］：邊PNA的長(zhǎng)度等于A點(diǎn)的極距90°-j1，邊PNB的長(zhǎng)度等于B點(diǎn)的極距 90°-j2，角 APNB 等于 A、B 兩點(diǎn)的經(jīng)差?λ，兩點(diǎn)之間的大圓航程時(shí)也就是AB邊的長(zhǎng)度，可采用球面三角形的“余弦公式”計(jì)算［5］：

圖2 圓球體面上的大圓航線(xiàn)示意圖

式中：φ1為A點(diǎn)緯度，φ2為B點(diǎn)緯度，規(guī)定北緯為“+”，南緯為“-”；?λ為經(jīng)差，規(guī)定東經(jīng)為“+”，西經(jīng)為“-”，D為大圓航程。

3.3 初始大圓航向解算

初始大圓航向是指大圓航線(xiàn)在A點(diǎn)的切線(xiàn)與經(jīng)線(xiàn)的夾角，也就是地球表面過(guò)A點(diǎn)的經(jīng)線(xiàn)與AB間大圓航線(xiàn)這兩個(gè)大圓弧所在平面所夾的二面角，因此可利用“余切公式”根據(jù)出發(fā)點(diǎn)緯度、到達(dá)點(diǎn)緯度、兩點(diǎn)間經(jīng)差求得A點(diǎn)的初始大圓航向：

其中：C為初始大圓航向。

在計(jì)算機(jī)編程中，反余切函數(shù)值范圍為-90°～90°，計(jì)算結(jié)果需轉(zhuǎn)換為圓周航向，較為繁瑣，而大圓航線(xiàn)與恒向線(xiàn)航線(xiàn)不同，恒向線(xiàn)航線(xiàn)計(jì)算時(shí)可以根據(jù)兩點(diǎn)間經(jīng)差和緯差來(lái)判斷航向所在象限，進(jìn)而轉(zhuǎn)換為圓周航向。在大圓航線(xiàn)上，緯度的變化規(guī)律比較復(fù)雜，不能用緯差來(lái)判斷航向所在象限，需借助人工判斷，為克服此項(xiàng)弱點(diǎn)，模型引入“正弦公式”進(jìn)行計(jì)算：

由于大圓航程D是個(gè)未知量，需通過(guò)計(jì)算獲得，不但徒增計(jì)算誤差，而且無(wú)法判斷航向所在象限?？梢钥紤]用余切函數(shù)的絕對(duì)值來(lái)求出象限法航向值，同時(shí)根據(jù)航向的余切值和正弦值來(lái)判斷航向所在象限，規(guī)則是：

若ctgC、sinC均為正，為NE象限；

若ctgC、sinC均為負(fù)，為NW象限；

若ctgC為負(fù)、sinC為正，為SE象限；

若ctgC為正、sinC為負(fù)，為SW象限。

以上判斷方法全球適用。

4 分點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算模型

傳統(tǒng)的分點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算方法巧妙運(yùn)用了球面直角三角形計(jì)算簡(jiǎn)便的特點(diǎn)，利用大圓航線(xiàn)頂點(diǎn)來(lái)計(jì)算分點(diǎn)坐標(biāo)［6］，降低了三角函數(shù)計(jì)算難度，具有很大的實(shí)踐優(yōu)越性。但是，計(jì)算步驟過(guò)多，需要首先計(jì)算頂點(diǎn)坐標(biāo)才能求得分點(diǎn)坐標(biāo)，而且不能根據(jù)航程間隔進(jìn)行分點(diǎn)。為了適應(yīng)航海自動(dòng)化的發(fā)展，需要建立更有利于計(jì)算機(jī)編程實(shí)現(xiàn)的分點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算模型［7］。

4.1 按經(jīng)差分段時(shí)分點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算

按經(jīng)差對(duì)大圓航線(xiàn)進(jìn)行分段是制定大圓航行計(jì)劃時(shí)較常用的方法［8］，其中大圓航線(xiàn)起點(diǎn)坐標(biāo)已知，確定了用于分段的經(jīng)差，相當(dāng)于給出了各個(gè)分點(diǎn)的經(jīng)度，需要求解的就是各分點(diǎn)的緯度。

如圖3所示，已知A點(diǎn)緯度φ1，初始大圓航向C，設(shè)E點(diǎn)為第n個(gè)分點(diǎn)，根據(jù)分點(diǎn)原則求得E點(diǎn)與A點(diǎn)間的經(jīng)差?λn，即可采用“余切公式”，計(jì)算出E點(diǎn)的緯度φn：

圖3 大圓航線(xiàn)分點(diǎn)計(jì)算原理示意圖

重復(fù)使用以上函數(shù)，即可計(jì)算出所有分點(diǎn)的坐標(biāo)。

4.2 按航程分段時(shí)分點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算

采用弦線(xiàn)法按航程間隔對(duì)大圓航線(xiàn)進(jìn)行分段時(shí)，為了保證分點(diǎn)坐標(biāo)在大圓弧上，航程間隔應(yīng)是大圓航程，而在一般的大圓航法仿真計(jì)算軟件中，通常是按照恒向線(xiàn)航程進(jìn)行迭代運(yùn)算，逐次逼近［9］，這樣處理計(jì)算量增大，而且不符合圖上作業(yè)過(guò)程，不能通過(guò)圖上作業(yè)來(lái)檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷恼_性，也不能把計(jì)算結(jié)果作為教學(xué)訓(xùn)練中的考核標(biāo)準(zhǔn)使用。

1）分點(diǎn)緯度的計(jì)算

假設(shè)分點(diǎn)E與A點(diǎn)之間大圓航程為?D，根據(jù)已知條件初始大圓航向C、A點(diǎn)緯度φ1，采用“余弦公式”，可求得E點(diǎn)的緯度φn：

2）分點(diǎn)經(jīng)度的計(jì)算

與緯度計(jì)算一樣，根據(jù)初始大圓航向C、A點(diǎn)緯度φ1、E與A點(diǎn)之間大圓航程為?D，采用“余切公式”即可求得E與A點(diǎn)之間的經(jīng)差?λn：

5 計(jì)算效能分析

5.1 軟件計(jì)算流程設(shè)計(jì)

根據(jù)航海實(shí)踐中實(shí)際執(zhí)行大圓航線(xiàn)的基本原理，可以分三種情況構(gòu)建大圓航線(xiàn)計(jì)算流程：指定經(jīng)差弦線(xiàn)法、指定航程間隔弦線(xiàn)法、指定航程間隔切線(xiàn)法［9］，前文已經(jīng)給出了全部計(jì)算模型。指定經(jīng)差弦線(xiàn)法的計(jì)算流程如圖4所示，根據(jù)該流程圖和計(jì)算模型即可編寫(xiě)大圓航線(xiàn)設(shè)計(jì)軟件，輸出分點(diǎn)坐標(biāo)和實(shí)際執(zhí)行的恒向線(xiàn)航向航程［10］。

圖4 指定經(jīng)差弦線(xiàn)法計(jì)算流程

5.2 計(jì)算結(jié)果分析

以遠(yuǎn)洋船舶經(jīng)常采用的一條橫跨北太平洋的東行大圓航線(xiàn)為例：起航點(diǎn)為東京附近的A點(diǎn)（φ35°00'.0N，l143°00'.0E），到達(dá)點(diǎn)為美國(guó)舊金山附近的B點(diǎn)（φ38°00'.0N，l125°00'.0W），若采用弦線(xiàn)法擬定大圓航行計(jì)劃，分別按照經(jīng)差10°和航程間隔600'計(jì)算，結(jié)果如表1、表2所示。在航海實(shí)踐中采用給定經(jīng)差的弦線(xiàn)法時(shí)，為了方便計(jì)算，通常第一個(gè)轉(zhuǎn)向點(diǎn)的經(jīng)度取到整5°或整10°，設(shè)計(jì)軟件時(shí)可進(jìn)行同樣的處理。

表1 經(jīng)差10°按弦線(xiàn)航行的航線(xiàn)計(jì)劃表

表2 航程間隔600'按弦線(xiàn)航行的航線(xiàn)計(jì)劃表

通過(guò)與大圓航法海圖作業(yè)結(jié)果比對(duì)，計(jì)算出的分點(diǎn)均位于大圓航線(xiàn)上，且經(jīng)差間隔或航程間隔完全符合要求，與圖上作業(yè)結(jié)果一致。計(jì)算結(jié)果，兩點(diǎn)之間的恒向線(xiàn)航程4459'.2，大圓航程4241'.7，按照經(jīng)差10°進(jìn)行分點(diǎn)時(shí)總航程為4257'.4，比大圓航程增加0.37%，比恒向線(xiàn)航程縮短4.53%；按照600'航程間隔進(jìn)行分點(diǎn)時(shí)總航程為4259'.5，比大圓航程增加0.42%，比恒向線(xiàn)航程縮短4.48%。從以上結(jié)果還可以看出，實(shí)際執(zhí)行大圓航線(xiàn)時(shí)，分點(diǎn)越多，實(shí)際航程越短，越接近大圓航程，但會(huì)增加轉(zhuǎn)向次數(shù)。

6 結(jié)語(yǔ)

立足于航海工作實(shí)際，系統(tǒng)研究了大圓航線(xiàn)計(jì)算模型，從計(jì)算機(jī)編程實(shí)現(xiàn)的角度進(jìn)行了細(xì)化和補(bǔ)充［11］，重點(diǎn)解決數(shù)學(xué)模型在實(shí)用中的細(xì)節(jié)問(wèn)題，使模型更加完善、更加實(shí)用［12］，在近幾年海軍訓(xùn)練艦編隊(duì)出訪南太平洋、鄭和艦單艦環(huán)球行等遠(yuǎn)洋航海實(shí)習(xí)任務(wù)中進(jìn)行了大圓航法教學(xué)和訓(xùn)練時(shí)，依據(jù)此模型設(shè)計(jì)的軟件成功運(yùn)用于艦船跨洋航線(xiàn)航行計(jì)劃的擬定，同時(shí)用于航海專(zhuān)業(yè)教學(xué)中，有效提高了教學(xué)訓(xùn)練效果，有較高的實(shí)用價(jià)值。