陳 嘉，王純杰，李純凈

（長(zhǎng)春工業(yè)大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，長(zhǎng)春 130012）

0 引言

自2000 年以來(lái)，互聯(lián)網(wǎng)技術(shù)的快速發(fā)展極大地豐富了自幼小教育至高等教育各領(lǐng)域的資源［1-3］.就高等教育而言，互聯(lián)網(wǎng)對(duì)其影響更大.無(wú)論是理工類抑或文史類，無(wú)論是學(xué)生抑或是教師，互聯(lián)網(wǎng)都為其提供海量的課程相關(guān)的信息資源，而以往這些只掌握在教育者的手中.這就意味著傳統(tǒng)的講授式大班教學(xué)模式將面臨極大的挑戰(zhàn)，單一的灌入式教學(xué)模式越來(lái)越難吸引學(xué)生.教育工作者意識(shí)到囿于傳統(tǒng)教學(xué)模式無(wú)法激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)愿望，滿足其知識(shí)訴求，利用互聯(lián)網(wǎng)工具的教學(xué)改革迫在眉睫.情感式課堂教學(xué)模式的改革探索是使得大學(xué)的課堂保持旺盛生命力的關(guān)鍵性突破.

地方院校高等代數(shù)教學(xué)經(jīng)歷使作者深刻體會(huì)學(xué)生們對(duì)這門課的感受.該課程具有高度抽象性：規(guī)則化的定義、邏輯嚴(yán)密的推導(dǎo).在有限的學(xué)時(shí)內(nèi)，學(xué)生對(duì)概念、定理往往無(wú)法理解，今日學(xué)明日忘，畏難情緒多.基于互聯(lián)網(wǎng)這個(gè)強(qiáng)大的工具，教學(xué)模式的探索性改革才能在學(xué)時(shí)有限的情況下順利開展［4］.

借助互聯(lián)網(wǎng)工具對(duì)課堂教學(xué)融入情感與趣味的模式探索是較新的課題.將互聯(lián)網(wǎng)信息及技術(shù)工具與線下的各種教學(xué)方法完美結(jié)合，使得課堂有 “情” 有 “趣” ，讓學(xué)生對(duì)課程先通 “情” 而后 “達(dá)” 理.改變傳統(tǒng)高等代數(shù)課程處處都是 “理” 的教學(xué)模式.

1 “歷史再現(xiàn)式” 與 “趣味案例式” 教學(xué)新模式

1.1 “歷史再現(xiàn)式” 教學(xué)模式

課堂教學(xué)探索了 “歷史再現(xiàn)式” 和思政元素相融合的教學(xué)模式.融入歷史情境、輔之問(wèn)題引導(dǎo)，實(shí)現(xiàn)情境再現(xiàn).

1.1.1 “歷史再現(xiàn)式” 模式的理論基礎(chǔ)

傳統(tǒng)高等代數(shù)的課堂直接引入概念，為學(xué)生解讀概念中的條件，再輔以例子解釋定義，導(dǎo)致學(xué)生覺得概念的出現(xiàn)很突兀，不易產(chǎn)生學(xué)習(xí)興趣.課堂處于高度嚴(yán)密的邏輯下，學(xué)生像是導(dǎo)航指引的汽車，按規(guī)則向左或向右，但其實(shí)并不知道自己身處哪里.我們嘗試對(duì)概念追本溯源，讓學(xué)生能站在概念產(chǎn)生的歷史源頭，與當(dāng)年創(chuàng)造概念的科學(xué)家產(chǎn)生共情，通過(guò) “情景再現(xiàn)” 及恰當(dāng)?shù)膯?wèn)題引導(dǎo)，讓學(xué)生模擬數(shù)學(xué)家們當(dāng)年是如何思考設(shè)計(jì)這個(gè)概念的，該概念的形式又經(jīng)歷了哪些演變才成為今天教科書上所展示的抽象的語(yǔ)言表述，讓學(xué)生對(duì)概念有親切感.當(dāng)學(xué)生對(duì)概念產(chǎn)生了情感，抵觸心理會(huì)大大降低.

1.1.2 教學(xué)設(shè)計(jì)范例

范例涉及知識(shí)內(nèi)容是行列式，通常教材會(huì)從二元一次方程的解引出二階行列式，然后通過(guò)逆序數(shù)給出n 階行列式的抽象定義.即使教師反復(fù)對(duì)學(xué)生強(qiáng)調(diào) “行列式是對(duì)數(shù)表的運(yùn)算，最終得到的是數(shù)” ，但該章節(jié)結(jié)束后，學(xué)生依然困惑于行列式的本質(zhì).

新的教學(xué)模式中，教師在課前通過(guò)互聯(lián)網(wǎng)工具（如雨課堂、騰訊課堂、釘釘?shù)龋?，將查閱整理的行列式產(chǎn)生的背景資料做成小視頻（輔之文字材料）展示給學(xué)生（同時(shí)鼓勵(lì)學(xué)生通過(guò)網(wǎng)絡(luò)搜索更多信息，在平臺(tái)上進(jìn)行分享）.并預(yù)設(shè)如下一系列小問(wèn)題：

聯(lián)合國(guó)的任務(wù)講規(guī)則、講標(biāo)準(zhǔn)、講計(jì)劃，一般不采取突擊的方式。但中國(guó)軍人傳統(tǒng)上習(xí)慣對(duì)領(lǐng)受的任務(wù)進(jìn)行突擊，搶進(jìn)度，提前完成任務(wù)，導(dǎo)致聯(lián)合國(guó)認(rèn)為交給中國(guó)軍人的任務(wù)過(guò)輕而增加工作量。結(jié)果，中國(guó)維和官兵始終處于高強(qiáng)度工作狀態(tài)，不堪重負(fù)。此外，維和行動(dòng)一般都是多國(guó)參與，意識(shí)形態(tài)、文化觀念和風(fēng)俗習(xí)慣等方面大相徑庭，這些因素都會(huì)影響維和任務(wù)執(zhí)行的效率和質(zhì)量。

（1）代入歷史數(shù)學(xué)研究者的角色，思考問(wèn)題.問(wèn)題：如果你是行列式最早提出者——日本數(shù)學(xué)家關(guān)孝和，面對(duì)求解大量多元（以三元、四元為例）線性方程時(shí)，會(huì)遇到什么困擾？

（2）體會(huì)科學(xué)家創(chuàng)新的不易，與科學(xué)家共情.問(wèn)題：是否能發(fā)現(xiàn)方程的解與方程系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)的密切關(guān)系？是哪些需求推動(dòng)科學(xué)家的研究？在研究過(guò)程中，會(huì)遇到哪些困難，最終結(jié)論與科學(xué)家結(jié)論的一致與區(qū)別.

（3）體會(huì)科學(xué)研究永遠(yuǎn)處于不完美狀態(tài)，是需要不斷發(fā)展的，思維不要被書本所束縛，因?yàn)榻裉斓慕滩膬?nèi)容也僅是昨天的研究成果，也是需要被發(fā)展的.問(wèn)題：你認(rèn)為引入行列式的符號(hào)是否解決了日本數(shù)學(xué)家關(guān)孝和當(dāng)時(shí)遇到的問(wèn)題？有什么益處和弊端？你是否理解了行列式的起源？關(guān)孝和所給出的行列式符號(hào)就是目前教材中廣泛使用的嗎？

讓學(xué)生設(shè)想自己置身于行列式提出的當(dāng)時(shí)情景中，以小組為單位，在課前討論行列式的發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，最后以小論文形式提交對(duì)問(wèn)題的認(rèn)識(shí)，并于課前以電子文檔形式發(fā)給教師.

如果沒有借助互聯(lián)網(wǎng)，上述情景重現(xiàn)與問(wèn)題引導(dǎo)很難直接在課堂上進(jìn)行，因?yàn)槎虝旱恼n堂時(shí)間，學(xué)生們不易沉下心來(lái)思考數(shù)學(xué)家關(guān)孝和所面臨的困難，并找到解決的關(guān)鍵所在—方程解與系數(shù)的關(guān)系；而且，在課堂上，很多學(xué)生也很難與老師面對(duì)面討論.

通過(guò)問(wèn)題引導(dǎo)、自己獨(dú)立思考以及小組討論，讓學(xué)生清晰地看到行列式的起源，從而會(huì)對(duì)行列式的作用印象深刻：行列式產(chǎn)生的目的是為了讓方程組解的表達(dá)簡(jiǎn)潔、書寫方便，是一種符號(hào)，本質(zhì)代表數(shù).值得注意的是，行列式目前采用的定義并非是日本數(shù)學(xué)家關(guān)孝和的成果，而是歸功于萊布尼茲 “創(chuàng)設(shè)采用兩個(gè)數(shù)碼的系數(shù)記號(hào)” 的行列式思想.這一思想是通過(guò)他與科學(xué)家洛必達(dá)的通信以及他本人的手稿被數(shù)學(xué)界所知曉的.經(jīng)過(guò)新模式的學(xué)習(xí)，學(xué)生不再覺得符號(hào)是冷冰冰的，而是熟悉的工具.同時(shí)，科學(xué)家們的鉆研精神也激勵(lì)學(xué)生，使學(xué)生意識(shí)到教科書上的簡(jiǎn)單抽象的概念符號(hào)并不是一蹴而就的，而是多個(gè)科學(xué)家長(zhǎng)期的研究結(jié)果，這樣學(xué)生就不會(huì)產(chǎn)生 “一個(gè)概念都理解不了，學(xué)不會(huì)高等代數(shù)” 的消極心理.

1.2 “趣味案例式” 教學(xué)模式

針對(duì)某些抽象概念的特點(diǎn)，設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單易懂的案例［5］，并制作成微課，在課前通過(guò)互聯(lián)網(wǎng)平臺(tái)（如雨課堂、騰訊課堂、釘釘、超星等）分享給學(xué)生，讓學(xué)生對(duì)概念有直觀的認(rèn)知，感到有趣味性，課堂學(xué)習(xí)會(huì)更輕松.

1.2.1 趣味案例設(shè)計(jì)的特點(diǎn)

案例簡(jiǎn)潔，一目了然，要比概念本身更直觀，如果案例抽象晦澀，那么這個(gè)案例就是失敗的，無(wú)法激發(fā)學(xué)生的興趣.借助互聯(lián)網(wǎng)工具，可以在微課視頻中引入案例或啟發(fā)式問(wèn)題：比如輾轉(zhuǎn)相除法與數(shù)的除法的比較，逆矩陣的作用與除法作用的比較，矩陣方程與一元方程之間的聯(lián)系等等，微課中也可以錄制一些高等代數(shù)的歷史趣味故事，在激發(fā)學(xué)生興趣的同時(shí)，引出學(xué)習(xí)的內(nèi)容，如由一元三次方程求解方法歸屬權(quán)的卡爾達(dá)諾與塔塔利亞之爭(zhēng)引出多項(xiàng)式.

1.2.2 教學(xué)設(shè)計(jì)范例

范例涉及知識(shí)內(nèi)容為向量組的極大無(wú)關(guān)組.極大線性無(wú)關(guān)組的定義，包含兩部分內(nèi)容：（1）作為向量組的部分組，它線性無(wú)關(guān)；（2）該向量組的任意向量都可由它線性表示.定義的語(yǔ)言抽象，舉例子通常都是具體的向量，無(wú)法帶來(lái)趣味性.

設(shè)計(jì)微課時(shí)，從真實(shí)世界入手，將五彩世界的每一種顏色看成一個(gè)三維向量，那么所有的顏色就構(gòu)成一個(gè)龐大的向量組，而基本色——紅、綠、藍(lán)作為該向量組的一部分，滿足：（1）這三種顏色中的任何一種都無(wú)法用另外兩種來(lái)調(diào)配得到；（2）世界上的每一種顏色都可以由這三個(gè)基本色調(diào)配得到.所以這就是 “顏色世界” 的一組極大無(wú)關(guān)組，該案例通過(guò)顏色將極大線性無(wú)關(guān)組的定義條件解釋得很清楚.當(dāng)學(xué)生感到絢麗的顏色與枯燥抽象的向量的本質(zhì)是相同的，向量就變得 “親切” 了，而基本色能產(chǎn)生其他顏色和學(xué)生的常識(shí)很貼合，學(xué)生理解起來(lái)就會(huì)更容易，對(duì)此概念的記憶也就更加深刻.

案例教學(xué)法與問(wèn)題驅(qū)動(dòng)教學(xué)法是比較好的方法［6-8］，但以往課時(shí)緊張，如果引入案例會(huì)導(dǎo)致教學(xué)任務(wù)在課內(nèi)無(wú)法完成.基于互聯(lián)網(wǎng)的微課視頻為這兩種教學(xué)手段的順利實(shí)施提供了強(qiáng)有力的保證，使得教師和學(xué)生的課上成就感更高.

2 思研教融合的高等代數(shù)課程教學(xué)新模式

2.1 前沿信息選取的意義

借助互聯(lián)網(wǎng)，不斷將與課程相關(guān)的最新科研信息融入課堂教學(xué)中，作為課程內(nèi)容的延伸.課程內(nèi)容的與時(shí)俱進(jìn)和前瞻性，可以激發(fā)了學(xué)生對(duì)當(dāng)代科學(xué)家的敬佩之情，自然而然地將思政元素融入課堂.

大部分學(xué)生并不能真正理解或者研讀新的方法，但由于是科研的種子已經(jīng)悄悄地灑播在他們心中.通過(guò)課程知識(shí)在科學(xué)研究的前沿領(lǐng)域的應(yīng)用與發(fā)展，既能讓學(xué)生意識(shí)到課程知識(shí)的重要性，激發(fā)其學(xué)習(xí)熱情，同時(shí)也能拓寬學(xué)生的知識(shí)維度，提高科研創(chuàng)新能力.

2.2 教學(xué)設(shè)計(jì)范例

范例涉及的教學(xué)內(nèi)容為特征值與特征向量，是高等代數(shù)學(xué)習(xí)的重點(diǎn)內(nèi)容.傳統(tǒng)求解特征值與特征向量的基本方法是：利用特征多項(xiàng)式求出特征值，構(gòu)造齊次線性方程組并求解得到特征向量，而代數(shù)領(lǐng)域前沿發(fā)展告訴我們：2019年三名物理學(xué)家研究中微子振蕩時(shí)發(fā)現(xiàn)了 “中微子的電子、μ子、τ子三種類型相當(dāng)于空間中三個(gè)向量之間的變換，而特征值和特征向量本質(zhì)上也是矢量的旋轉(zhuǎn)伸縮變換，那么特征向量和特征值之間的幾何本質(zhì)也有可能存在普遍的規(guī)律”［9］.三人猜想了特征值與特征向量的新公式，基本思路是通過(guò)原始矩陣構(gòu)建子矩陣，而利用子矩陣與原始矩陣得到原始矩陣的特征向量.他們求助于數(shù)學(xué)天才陶哲軒對(duì)猜想的公式進(jìn)行證明.

3 有 “人情味” 的課程復(fù)習(xí)和鞏固新模式

基于互聯(lián)網(wǎng)提供的技術(shù)手段，將復(fù)習(xí)鞏固模式及考核評(píng)價(jià)方式進(jìn)行多樣化調(diào)整，使復(fù)習(xí)鞏固方式更有趣，考核成績(jī)更有 “人情味” .

3.1 設(shè)計(jì)趣味性、情感性的復(fù)習(xí)鞏固游戲

組織一些復(fù)習(xí)游戲，增加教師與學(xué)生、學(xué)生與學(xué)生之間的課程內(nèi)容互動(dòng).平時(shí)課堂上學(xué)生無(wú)論是提問(wèn)還是回答問(wèn)題都會(huì)很拘謹(jǐn)，更多時(shí)候選擇沉默，但依托網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)后，學(xué)生顧慮少，能夠積極與教師配合.教學(xué)設(shè)計(jì)范例如下：

在教學(xué)中不難發(fā)現(xiàn)，學(xué)生經(jīng)常混淆矩陣的乘法、數(shù)乘運(yùn)算及行列式運(yùn)算的運(yùn)算規(guī)則，所以，設(shè)計(jì)群接龍游戲，即每個(gè)學(xué)生出一道涉及上述矩陣運(yùn)算的題目，并計(jì)算完畢，一次只能允許一位學(xué)生發(fā)到群里.游戲開始后，會(huì)有學(xué)生第一個(gè)發(fā)出自己做的題目，此時(shí)其他同學(xué)不能再發(fā)了，只能進(jìn)行搶批（搶先批改）上一道題目，批改完的同學(xué)，將批改結(jié)果發(fā)到群里，第一個(gè)將批改結(jié)果發(fā)到群里的同學(xué)，就可以將自己設(shè)計(jì)并求解的題目發(fā)到群里，如果大家發(fā)現(xiàn)他批注錯(cuò)誤，學(xué)生們會(huì)對(duì)其有小懲罰.這個(gè)游戲增加了學(xué)生對(duì)矩陣運(yùn)算的趣味性，提高運(yùn)算速度，同時(shí)通過(guò)互相找錯(cuò)誤，對(duì)運(yùn)算規(guī)則更清晰.

3.2 多樣化的高等代數(shù)習(xí)題課教學(xué)模式

傳統(tǒng)的教學(xué)模式中，復(fù)習(xí)往往為單一的課后習(xí)題及課堂習(xí)題講解，對(duì)于自覺性差的學(xué)生，課后習(xí)題就是走過(guò)場(chǎng)，即使教師批注也無(wú)法次次監(jiān)督到位，課堂講解效果也無(wú)法檢驗(yàn).借助互聯(lián)網(wǎng)工具，以及慕課共享資源等，可以實(shí)現(xiàn)復(fù)習(xí)教學(xué)活動(dòng)的多樣化開展.

3.2.1 學(xué)生講解習(xí)題視頻的復(fù)習(xí)模式

學(xué)生自己錄制講解一道題目的小視頻，并上傳網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)（如雨課堂、騰訊課堂、釘釘、超星等）.比如證明題，將每一步的推導(dǎo)利用了哪些定義、定理等都清楚地講出來(lái)，如若講不清楚，就說(shuō)明證明過(guò)程邏輯性差，或定義定理理解不到位.學(xué)生的問(wèn)題和學(xué)習(xí)情況一目了然，而且因?yàn)樯蟼髦?，所有學(xué)生都能看到，這也給上傳的學(xué)生增加壓力，迫使其好好準(zhǔn)備視頻講解內(nèi)容.更重要的是，如果能正確完整清晰地將做過(guò)的題目講出來(lái)，必然是對(duì)相關(guān)知識(shí)點(diǎn)已經(jīng)掌握，這也是強(qiáng)制復(fù)習(xí)的過(guò)程.

3.2.2 現(xiàn)有網(wǎng)絡(luò)慕課資源的復(fù)習(xí)模式嘗試

利用已有課程的慕課，結(jié)合地方院校學(xué)生特點(diǎn)，服務(wù)于習(xí)題課課堂，鼓勵(lì)學(xué)生對(duì)網(wǎng)絡(luò)已有的慕課進(jìn)行 “挑錯(cuò)” ，讓觀看慕課的復(fù)習(xí)活動(dòng)更有趣，讓學(xué)生更自信，也讓復(fù)習(xí)不再枯燥無(wú)情感.

網(wǎng)上已有的慕課是較好的課程資源［10］，比如廈門大學(xué)林亞楠教授帶領(lǐng)的團(tuán)隊(duì)在網(wǎng)上發(fā)布了完整的高等代數(shù)課程教學(xué)視頻，但是由于學(xué)校層次不同，部分內(nèi)容對(duì)地方院校的學(xué)生而言，聽起來(lái)會(huì)有困難，所以，我們選取一些合適的內(nèi)容章節(jié)，推薦給學(xué)生作為復(fù)習(xí)資源，并留一些提示性問(wèn)題，遇到慕課中的小錯(cuò)誤，提示學(xué)生找出來(lái)，增加了觀看的趣味性.這通常作為補(bǔ)充資源供有較高學(xué)習(xí)目標(biāo)的學(xué)生復(fù)習(xí)選用.

3.3 依托網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)，實(shí)現(xiàn)多樣化評(píng)價(jià)方式

傳統(tǒng)考核是單一的閉卷考試方式，會(huì)有片面性，對(duì)知識(shí)的理解程度、學(xué)生的學(xué)習(xí)狀態(tài)一張?jiān)嚲頍o(wú)法全部展示，所以評(píng)價(jià)方式也可以向多樣化調(diào)整，讓學(xué)生在課程學(xué)習(xí)中的表現(xiàn)更立體化.比如，小組提交論文、講解題目視頻、游戲參與時(shí)的反饋速度等都可作為考核評(píng)價(jià)的因素.

4 結(jié)語(yǔ)

以上是在互聯(lián)網(wǎng)下對(duì)高等代數(shù)課程教學(xué)模式改革的一點(diǎn)探索.這種新模式以激發(fā)學(xué)生的興趣、培養(yǎng)學(xué)生與課程的感情、讓知識(shí)變得有溫度為目標(biāo).這就要求教師自身要對(duì)課程充滿喜愛，才能真正感染學(xué)生，同時(shí)教師要密切關(guān)注代數(shù)學(xué)發(fā)展，時(shí)刻保持對(duì)新研究方向的高度敏感度.該項(xiàng)改革要求查閱大量資料文獻(xiàn)，備課強(qiáng)度大，這些對(duì)教師的職業(yè)素養(yǎng)和責(zé)任感都提出了更高的要求.