高旭東 王凱 秦雪峰

摘要：雙層齒輪組在連鎖轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)所體現(xiàn)出的機(jī)械傳動(dòng)具有隨雙層齒輪的疊加而使其速度層呈指數(shù)式倍增的特點(diǎn)，主要構(gòu)成方式是將第n個(gè)雙層齒輪的大齒輪部分放在第n+1個(gè)雙層齒輪的大齒輪面上，與其小齒輪嵌合而利用大小齒輪間的半徑差進(jìn)行指數(shù)式傳動(dòng)。民間出現(xiàn)的雙層齒輪組一般用于減速用，若用于加速則對流水線生產(chǎn)、高機(jī)械動(dòng)力性能產(chǎn)品的研發(fā)具有重要的推動(dòng)作用。由于缺少對于雙層齒輪組實(shí)際加速效果的較為精確的理論分析與實(shí)驗(yàn)分析，該文所論述的雙層齒輪組的連鎖運(yùn)動(dòng)問題暫可用于高校物理專業(yè)力學(xué)習(xí)題研究的理論參考。

關(guān)鍵詞：雙層齒輪、線速度、角速度、小齒輪、大齒輪。

1.雙層齒輪組的連鎖運(yùn)動(dòng)機(jī)制

已知線速度與角速度的關(guān)系式為ν=ωr，令鑲嵌在一條線上的雙層齒輪組的所有雙層齒輪的角速度分別為ω1、ω2、···、ωn大齒輪的半徑為R，小齒輪的半徑為r，則可推出。順勢我們就不難推出第n個(gè)齒輪的角速度為。

現(xiàn)任取其中第2至n個(gè)雙層齒輪作為研究對象，角速度值分別為···。將第2個(gè)雙層齒輪角速度的值代入第3個(gè)雙層齒輪的角速度值可得，再將其代入第四個(gè)雙層齒輪的角速度值可得或，據(jù)此可推出：

不過為了方便計(jì)算最后一個(gè)齒輪的角速度，公式就寫成：

其中，ω1定義為初齒輪角速度，ωn定義為末齒輪角速度。

就單個(gè)雙層齒輪而言，可令V為大齒輪的線速度、ν為小齒輪的線速度，則，于是。由于在后續(xù)重力風(fēng)扇設(shè)計(jì)時(shí)將利用的是雙層齒輪組的初齒輪的小齒輪線速度以及末齒輪的大齒輪線速度（給予一種作用力使得整個(gè)連鎖齒輪裝置轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)時(shí)，以初齒輪的小齒輪為力的作用對象能使末齒輪的大齒輪線速度的加成達(dá)到最大化），則初齒輪的大齒輪線速度與末齒輪的小齒輪線速度就一般不予考慮。因此，利用上述條件可將（1-2）式化為：

另外，各個(gè)雙層齒輪之間的轉(zhuǎn)動(dòng)還有這樣一個(gè)特點(diǎn)，若第1、3、5…2n+1個(gè)雙層齒輪是沿順時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)的，則第2、4、6…2n個(gè)齒輪沿逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，說明雙層齒輪序數(shù)的奇偶性相等時(shí)，該部分雙層齒輪的轉(zhuǎn)動(dòng)方向就相同，從而根據(jù)（1-3）式可進(jìn)一步推出，n為奇數(shù)時(shí)，末齒輪與初齒輪的轉(zhuǎn)動(dòng)方向相同，偶數(shù)則方向相反。

2.雙層齒輪組的連鎖作用力機(jī)制

令雙層齒輪中間挖空的一個(gè)圓柱體的半徑及質(zhì)量分別為為r1、m1，大齒輪部分質(zhì)量為M，小齒輪部分質(zhì)量為m，制作該齒輪材料的密度為ρ，大小齒輪厚度均為h（只重疊，不重合）。雙層齒輪的轉(zhuǎn)動(dòng)本質(zhì)上圓柱體的轉(zhuǎn)動(dòng)，已知圓柱體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為，運(yùn)用轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的疊加原理可得單個(gè)雙層齒輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量推導(dǎo)如下：

I大：大齒輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量M為大齒輪的質(zhì)量

I小：小齒輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量m為小齒輪的質(zhì)量

I空：指為了串聯(lián)細(xì)桿，從雙層齒輪間挖空的一個(gè)圓柱體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

忽略齒尖大小、形狀對于單個(gè)雙層齒輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的影響，就當(dāng)做所有的齒尖是通過對一個(gè)固定大小、形狀的同軸、重疊的圓柱體的重塑后設(shè)計(jì)出的，整個(gè)雙層齒輪的質(zhì)量不變。由于改變的只是各個(gè)大小圓柱體的側(cè)面線條的分布，使其因帶有齒尖俯視看來就不再是一個(gè)光滑的圓，但大體上還是個(gè)圓，總的雙層齒輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量大小是基本不變的。

由于αt=ω （α為角加速度），可將（1-2）式化為，于是有（M為力矩，i=1，2，3，…，n），從而可以得到：

其中Fn是指n個(gè)雙層齒輪加速運(yùn)動(dòng)時(shí)需要在初齒輪施加的力（變力）。若力的大小及方向都不變，力作用于初齒輪的大齒輪或小齒輪所產(chǎn)生的整個(gè)雙層齒輪的角加速度都是相等的，力的方向一般與之相切。

3.結(jié)束語

因涉及到轉(zhuǎn)動(dòng)慣量方面的力學(xué)問題，雙層齒輪組的連鎖加速機(jī)制及作用力機(jī)制可用于物理專業(yè)力學(xué)習(xí)題分析的教學(xué)材料參考。然而，站在大方面的科學(xué)研究的角度，利用雙層齒輪組的加速機(jī)制進(jìn)行高機(jī)械傳動(dòng)性能產(chǎn)品的研發(fā)在目前存在一些困難，主要在于多個(gè)雙層齒輪嵌合所導(dǎo)致的較高摩擦力，這一點(diǎn)筆者會在后續(xù)的持續(xù)研究中予以解決。

參考文獻(xiàn)

1.周衍柏.理論力學(xué)教程[M].北京：高等教育出版社，2018（8）.