張倩瑤，黃 星

(南陽職業(yè)學(xué)院，河南 南陽 474500)

在生產(chǎn)實際和科學(xué)技術(shù)中，為了在一定條件下提高生產(chǎn)效率、降低成本、節(jié)約原料，常常需要調(diào)整方案，使方案最優(yōu)化，這時就會應(yīng)用到導(dǎo)數(shù)知識，最大限度地節(jié)約人力、物力，以取得最好的效果。最優(yōu)化問題的最簡單類型是求目標(biāo)函數(shù)的最大值和最小值。

1 基礎(chǔ)知識

函數(shù)的最大(小)值會隨著其定義域的不同而差別較大。由已知定理可知，閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定有最大值和最小值，這是存在定理，并沒有提供求法。而函數(shù)在閉區(qū)間[a，b]上的最大(小)值是指在整個區(qū)間上的所有函數(shù)值的最大(小)者，因而最大(小)值是全局性概念。和極值不同，極值只是函數(shù)在一點的某個領(lǐng)域內(nèi)的最大(小)值，極值是一個局部性概念。但若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)部的一點達到最大(小)值，那么這個最大(小)值同時也是極大(小)值。此外，函數(shù)的最大(小)值還有可能存在于區(qū)間的端點，因此，求閉區(qū)間(a，b)上連續(xù)函數(shù)f(x)的最大值和最小值的一般步驟如下：

(1)找出(a，b)內(nèi)f(x)的所有駐點和導(dǎo)數(shù)不存在的點，設(shè)為x1，x2，…，xn；

(2)比較f(a)，f(x1)，f(x2)，…，f(xn)，f(b)；

2 最大值和最小值應(yīng)用問題舉例

例1：鐵路線上AB段的距離為100 km，工廠C距A處20 km，AC垂直于AB(如圖1所示)。為了運輸需要，要在AB線上選定一點D，從D向工廠C的方向修筑一條公路。已知鐵路上每噸千米的貨運費用與公路上每噸千米的貨運費用之比為3：5，為了使貨物從供應(yīng)站B運到工廠C每噸貨運的總費用最省，問D點應(yīng)選在何處？

圖1Fig.1

注意：在實際問題中，若函數(shù)f(x)在其定義域內(nèi)只有一個可能極值點x0(駐點或?qū)?shù)不存在的點)，而實際問題本身又知f(x)在定義域內(nèi)一定有最大(小)值，則f(x0)即為最大(小)值。

例3：欲建一座底面是正方形的平頂倉庫，設(shè)倉庫容積是1 500 m3，已知單位面積倉庫的造價是四周墻壁造價的3倍，求倉庫底的邊長和高，使總造價最低。

解：設(shè)底邊長為x米，高為y米，墻壁造價q元/m2，總造價為ω元。

3 結(jié)語

通過求導(dǎo)的方法能夠解決實際生活中的最大值和最小值問題，使問題更簡單化，易于人們理解，具有實際意義。