謝元平，范會(huì)迎，王子超，羅 暉，于旭東

（國(guó)防科技大學(xué)前沿交叉學(xué)科學(xué)院，長(zhǎng)沙 410073）

慣性測(cè)量單元（Inertial Measurement Unit, IMU）誤差的標(biāo)定是捷聯(lián)慣導(dǎo)系統(tǒng)（Strapdown Inertial Navigation System, SINS）誤差補(bǔ)償?shù)囊豁?xiàng)重要技術(shù)。系統(tǒng)級(jí)標(biāo)定法通過(guò)慣導(dǎo)系統(tǒng)的導(dǎo)航解算誤差，建立IMU輸入輸出精確的數(shù)學(xué)關(guān)系模型，可以實(shí)現(xiàn)慣導(dǎo)系統(tǒng)現(xiàn)場(chǎng)標(biāo)定、自標(biāo)定[1-2]，且具有不需要高精度轉(zhuǎn)臺(tái)等測(cè)試設(shè)備、不需要測(cè)量記錄陀螺或加速度計(jì)的輸出等優(yōu)點(diǎn)，彌補(bǔ)了傳統(tǒng)分立式標(biāo)定法精度低的不足。在系統(tǒng)級(jí)標(biāo)定旋轉(zhuǎn)方案研究方面，要以誤差傳遞解耦和提高誤差參數(shù)的可觀測(cè)性為目的進(jìn)行方案編排。文獻(xiàn)[3]設(shè)計(jì)了一種25位置轉(zhuǎn)動(dòng)編排方式，額外考慮了加速度計(jì)的二次項(xiàng)誤差和內(nèi)桿臂的誤差，驗(yàn)證了其可行性。文獻(xiàn)[4]設(shè)計(jì)了1套10位置旋轉(zhuǎn)編排方案，相較以前的方案所需時(shí)間更短、精度更高，具有較好的工程應(yīng)用參考價(jià)值。文獻(xiàn)[5]給出了一種SAGEM公司使用的激光陀螺捷聯(lián)慣導(dǎo)系統(tǒng)濾波標(biāo)定方法，設(shè)計(jì)了一種18位置的標(biāo)定方案，可以達(dá)到導(dǎo)航級(jí)慣性導(dǎo)航系統(tǒng)的標(biāo)定精度要求。

目前，國(guó)內(nèi)外高精度捷聯(lián)慣導(dǎo)系統(tǒng)廣泛采用了旋轉(zhuǎn)調(diào)制技術(shù)，以抵消慣性測(cè)量單元誤差對(duì)導(dǎo)航系統(tǒng)的影響[6-8]。合理的旋轉(zhuǎn)調(diào)制方案，既要盡量避免引入由旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)引起的累積導(dǎo)航誤差，又要盡可能減小零偏、標(biāo)度因數(shù)誤差和安裝誤差等器件誤差帶來(lái)的導(dǎo)航誤差。相比于單軸旋轉(zhuǎn)調(diào)制方案，雙軸方案能夠調(diào)制三個(gè)軸向上的器件誤差，抑制系統(tǒng)誤差隨時(shí)間的積累[9]。文獻(xiàn)[10]分析指出，在傳統(tǒng)靜電陀螺8次序旋轉(zhuǎn)方案中，安裝誤差引起的數(shù)學(xué)平臺(tái)誤差角度不斷累積，會(huì)引起一個(gè)不斷增長(zhǎng)的導(dǎo)航誤差。作者將該方案中后4個(gè)次序反向旋轉(zhuǎn)，設(shè)計(jì)了一種能夠抵消所有安裝誤差的改進(jìn)的8次序旋轉(zhuǎn)方案。最后設(shè)計(jì)了一種16次序旋轉(zhuǎn)方案，解決了改進(jìn)后的8次序方案中仍存在標(biāo)度因數(shù)不對(duì)稱(chēng)性誤差補(bǔ)償不完全、計(jì)算誤差累積等問(wèn)題。文獻(xiàn)[11]提出了一種改進(jìn)式的16次序調(diào)制方案，該方案不僅能調(diào)制零偏誤差、安裝誤差和標(biāo)度因數(shù)誤差，還能有效地減小由陀螺安裝誤差引起的速度和位置誤差振蕩，明顯提高定位精度。文獻(xiàn)[12]提出了一種64次序旋轉(zhuǎn)方案，該方案將64次序的旋轉(zhuǎn)順序分為四個(gè)小周期，其針對(duì)由對(duì)稱(chēng)性標(biāo)度因數(shù)誤差引起的姿態(tài)角誤差的調(diào)制效果比16次序旋轉(zhuǎn)方案更為理想。目前國(guó)內(nèi)旋轉(zhuǎn)慣導(dǎo)系統(tǒng)普遍采用文獻(xiàn)[10]提出的16次序方案，其他方案在實(shí)踐中并不多見(jiàn)。文獻(xiàn)[13]提出了6條兼具自標(biāo)定與旋轉(zhuǎn)調(diào)制功能的旋轉(zhuǎn)方案的設(shè)計(jì)原則，并具體給出了一種48次序一體式旋轉(zhuǎn)方案，該方案不僅降低了實(shí)際操作的復(fù)雜性，而且對(duì)安裝誤差的調(diào)制效果優(yōu)于傳統(tǒng)16次序方案，相比18位置標(biāo)定方案對(duì)器件誤差參數(shù)的標(biāo)定結(jié)果更精確。但是該旋轉(zhuǎn)方案仍然存在旋轉(zhuǎn)次序冗余，誤差調(diào)制周期過(guò)長(zhǎng)等問(wèn)題。

本文將基于文獻(xiàn)[13]提出的6條設(shè)計(jì)原則，首先給出一種改進(jìn)的40次序旋轉(zhuǎn)方案，然后根據(jù)捷聯(lián)慣導(dǎo)系統(tǒng)誤差傳播方程，對(duì)系統(tǒng)的可觀測(cè)性和誤差傳播特性進(jìn)行分析，證明該方案可以同時(shí)實(shí)現(xiàn)自標(biāo)定和旋轉(zhuǎn)調(diào)制功能，并對(duì)比該方案與傳統(tǒng)16次序方案、18位置方案和48次序方案對(duì)各誤差狀態(tài)量的標(biāo)定效果和對(duì)器件誤差的旋轉(zhuǎn)調(diào)制效果。最后，通過(guò)仿真和實(shí)驗(yàn)對(duì)比40次序方案、48次序方案的導(dǎo)航性能，并給出結(jié)論。

1 旋轉(zhuǎn)調(diào)制式捷聯(lián)慣導(dǎo)系統(tǒng)

采用捷聯(lián)慣導(dǎo)系統(tǒng)φ角誤差方程描述旋轉(zhuǎn)過(guò)程中誤差傳播特性[14]：

式中：n表示導(dǎo)航坐標(biāo)系，s表示IMU坐標(biāo)系，i表示地心慣性系，e表示地球坐標(biāo)系，b表示載體坐標(biāo)系；φ為數(shù)學(xué)平臺(tái)姿態(tài)角誤差，v、δv分別表示數(shù)學(xué)平臺(tái)速度及其誤差，ω、δω分別為角速度及其誤差，f、δf分別表示加速度計(jì)測(cè)量比力及其誤差；δg為重力偏差，為從IMU坐標(biāo)系到導(dǎo)航坐標(biāo)系的變換矩陣。

旋轉(zhuǎn)式捷聯(lián)慣導(dǎo)系統(tǒng)通過(guò)旋轉(zhuǎn)機(jī)構(gòu)控制IMU轉(zhuǎn)動(dòng)，可以周期性改變使誤差傳播模型中的數(shù)學(xué)平臺(tái)誤差項(xiàng)和在一個(gè)周期內(nèi)的積分為零，即由慣性器件誤差造成的數(shù)學(xué)平臺(tái)姿態(tài)角誤差的均值為零，以此消除慣性器件誤差累積對(duì)導(dǎo)航結(jié)果的影響。其中陀螺和加速度計(jì)的輸入輸出誤差模型為：

在靜基座條件下，IMU載體無(wú)線運(yùn)動(dòng)和角運(yùn)動(dòng)，假設(shè)初始時(shí)刻n、b、s三系重合，即I為單位矩陣，且轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中始終有ωen=0、ωnb=0。以陀螺誤差為例，在一個(gè)旋轉(zhuǎn)周期T內(nèi)其引起的姿態(tài)角誤差為：

設(shè)陀螺誤差矩陣用E表示：

其中E11、E22、E33分別表示三個(gè)陀螺的標(biāo)度因數(shù)誤差，其它元素表示安裝誤差。

僅考慮旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)與器件誤差的耦合，忽略地球自轉(zhuǎn)，則式(3)化為：

2 一體式旋轉(zhuǎn)方案設(shè)計(jì)

根據(jù)文獻(xiàn)[13]中的6條設(shè)計(jì)原則，提出一種改進(jìn)的40次序自標(biāo)定和旋轉(zhuǎn)調(diào)制一體式旋轉(zhuǎn)方案，示意圖如圖1所示。

圖1 40次序一體式旋轉(zhuǎn)方案Fig.1 The unified 40-sequence rotation scheme

圖中U、E為導(dǎo)航坐標(biāo)系的天向軸和東向軸，A～D、A′～D′為8個(gè)滯停位置，虛線表示零偏矢量→ε在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中的運(yùn)動(dòng)軌跡(初始位置為A)，1～40表示40個(gè)旋轉(zhuǎn)次序。該方案繞水平兩軸翻轉(zhuǎn)，具體旋轉(zhuǎn)次序如表1所示，其中x、y、z為IMU的三個(gè)軸。

表1 詳細(xì)旋轉(zhuǎn)方案Tab.1 The detailed rotation scheme

設(shè)置轉(zhuǎn)速為12°/s，每個(gè)次序結(jié)束后的滯停時(shí)長(zhǎng)為60 s，則在IMU系下，16次序方案、48次序方案和40次序方案在一個(gè)旋轉(zhuǎn)周期內(nèi)繞IMU各軸的旋轉(zhuǎn)角度如圖2所示?？梢钥闯?，16次序方案繞x、z軸的旋轉(zhuǎn)角度范圍為-720 °～720 °，而48次序方案和40次序方案繞IMU各軸旋轉(zhuǎn)角度范圍為-360 °～360 °，避免了IMU繞同一個(gè)軸旋轉(zhuǎn)角度過(guò)大。

圖2 三種方案下IMU各軸旋轉(zhuǎn)角度Fig.2 The rotation angle around each IMU axis of the three scheme

3 可觀測(cè)性分析和誤差分析

3.1 可觀測(cè)性分析

為證明40次序一體式旋轉(zhuǎn)方案可實(shí)現(xiàn)對(duì)誤差參數(shù)的自標(biāo)定功能并對(duì)比標(biāo)定效果，本節(jié)將進(jìn)行基于分段線性定常系統(tǒng)（PWCS）的可觀測(cè)性分析和基于奇異值分解（SVD）的可觀測(cè)度分析[15-17]。

建立30維度卡爾曼濾波標(biāo)定方程：

其中X(t)為狀態(tài)向量，A(t)為系統(tǒng)矩陣，W(t)為激勵(lì)噪聲。狀態(tài)向量取為：

式中δλ、Lδ、hδ分別為經(jīng)度誤差、緯度誤差和高度誤差。

卡爾曼濾波器件的量測(cè)方程為：

式中Z(t)為量測(cè)量，V(t)為系統(tǒng)量測(cè)噪聲，是系統(tǒng)量測(cè)矩陣。

對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分段線性化，利用提取可觀測(cè)性矩陣（SOM）代替總體可觀測(cè)性矩陣（TOM）進(jìn)行可觀測(cè)性分析，針對(duì)18位置方案和40次序方案分別計(jì)算各位置SOM的秩，結(jié)果如表2所示?？梢钥吹?，經(jīng)過(guò)四個(gè)次序的旋轉(zhuǎn)后，40次序方案中SOM的秩達(dá)到了30，等于濾波器的維數(shù)，證明該系統(tǒng)完全可觀。此外40次序方案SOM的秩比18位置方案更早一步達(dá)到30，說(shuō)明40次序方案能夠更快觀測(cè)全部狀態(tài)變量。

表2 各位置SOM的秩Tab.2 Ranks of the SOM

系統(tǒng)提取可觀測(cè)性矩陣SOM的奇異值大小與可觀測(cè)程度大小呈正相關(guān)，奇異值越大，對(duì)應(yīng)狀態(tài)向量的觀測(cè)效果越好。分別給出18位置方案、48次序方案和40次序方案均旋轉(zhuǎn)48個(gè)次序后各狀態(tài)量對(duì)應(yīng)SOM的奇異值，結(jié)果如表3所示。

表3 各狀態(tài)量對(duì)應(yīng)SOM的奇異值Tab.3 Singular values of parameters

相比于18位置方案，40次序方案大部分狀態(tài)量對(duì)應(yīng)的SOM奇異值均更大，說(shuō)明40次序方案可觀測(cè)程度更高，標(biāo)定結(jié)果更容易接近真實(shí)值。對(duì)于部分狀態(tài)量，40次序方案中其對(duì)應(yīng)SOM奇異值大于48次序方案，說(shuō)明對(duì)這些狀態(tài)量可觀測(cè)度更高。

3.2 誤差分析

為證明本文提出的40次序一體式旋轉(zhuǎn)方案可實(shí)現(xiàn)旋轉(zhuǎn)調(diào)制功能并對(duì)比旋轉(zhuǎn)調(diào)制效果，本節(jié)將以陀螺誤差項(xiàng)為例對(duì)其傳播特性進(jìn)行分析。

根據(jù)式(5)，計(jì)算一個(gè)旋轉(zhuǎn)周期內(nèi)由E引起的數(shù)學(xué)平臺(tái)姿態(tài)角誤差：

可以看到，在一個(gè)旋轉(zhuǎn)周期內(nèi)對(duì)于誤差E有說(shuō)明在的時(shí)間內(nèi)由E引起的數(shù)學(xué)平臺(tái)姿態(tài)角誤差被調(diào)制為0，在一個(gè)旋轉(zhuǎn)周期內(nèi)不會(huì)造成誤差累積，能夠達(dá)到調(diào)制標(biāo)度因數(shù)誤差和安裝誤差的目的。

圖3給出了16次序方案和40次序方案在一個(gè)小時(shí)的時(shí)間內(nèi)，經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)調(diào)制后由陀螺安裝誤差(5″)造成的北向姿態(tài)角誤差對(duì)比結(jié)果?？梢钥吹剑疚奶岢龅?0次序方案的北向姿態(tài)角誤差均值和峰值都小于16次序方案，可以推測(cè)由該姿態(tài)角誤差與重力耦合引起的鋸齒形速度誤差也將更小，證明了本文提出的40次序方案可以對(duì)安裝誤差有更好的調(diào)制效果。

圖3 陀螺安裝誤差引起的北向數(shù)學(xué)平臺(tái)姿態(tài)角誤差對(duì)比Fig.3 The comparison of northward mathematical platform misalignment angle errors caused by the gyro misalignment errors

圖4 n系下陀螺零偏引起的數(shù)學(xué)平臺(tái)姿態(tài)角誤差對(duì)比Fig.4 The comparison of mathematical platform misalignment angle errors in ‘n frame’ caused by gyro drifts

4 仿真與實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

文獻(xiàn)[13]中仿真和實(shí)驗(yàn)結(jié)果已經(jīng)表明，相比于傳統(tǒng)18位置自標(biāo)定方案和16次序旋轉(zhuǎn)調(diào)制方案，48次序一體式方案減小了導(dǎo)航速度誤差和定位誤差，提高了導(dǎo)航精度。本節(jié)仿真和實(shí)驗(yàn)主要對(duì)比48次序方案和40次序方案的導(dǎo)航結(jié)果。

4.1 仿真驗(yàn)證

4.1.1 自標(biāo)定仿真驗(yàn)證

為對(duì)比18位置方案、48次序方案和本文提出的40次序方案對(duì)器件誤差參數(shù)的標(biāo)定效果，現(xiàn)分別采用這三種方案進(jìn)行4 h自標(biāo)定仿真，結(jié)果如表4所示?？梢钥闯?，相比于傳統(tǒng)18位置方案，40次序方案的標(biāo)定結(jié)果更接近真實(shí)值。

表4 自標(biāo)定仿真結(jié)果Tab.4 Simulation results of self-calibration

4.1.2 旋轉(zhuǎn)調(diào)制仿真驗(yàn)證

利用MATLAB進(jìn)行導(dǎo)航仿真，條件設(shè)置如表5。圖5(a)為48次序方案和40次序方案分別進(jìn)行三天旋轉(zhuǎn)調(diào)制仿真后產(chǎn)生的東向、北向速度誤差，圖5(b)為兩種方案的導(dǎo)航位置誤差。48次序方案產(chǎn)生的東向、北向速度誤差最大值分別為0.53 m/s和0.76 m/s，位置誤差最大為0.36 nm。而40次序方案產(chǎn)生的東向、北向速度誤差分別為0.43 m/s和0.62 m/s，位置誤差最大為0.31 nm，導(dǎo)航誤差略小于48次序方案，說(shuō)明40次序方案對(duì)誤差的調(diào)制效果更好，進(jìn)一步提升了捷聯(lián)慣導(dǎo)系統(tǒng)的導(dǎo)航精度。

表5 仿真參數(shù)設(shè)置Tab.5 Parameters used for simulations

圖5 48次序方案和40次序方案的速度誤差和位置誤差對(duì)比Fig.5 The comparison of velocity and position errors for the 48-sequence scheme and the 40-sequence scheme

4.2 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)如圖6所示，其組成包括某型IMU、三軸轉(zhuǎn)臺(tái)、旋轉(zhuǎn)機(jī)構(gòu)控制端和數(shù)據(jù)接收端。IMU中三個(gè)激光陀螺的零偏穩(wěn)定性?xún)?yōu)于0.003°/h，三個(gè)石英加速度計(jì)的零偏穩(wěn)定性?xún)?yōu)于10μg。

圖6 實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)圖Fig.6 The diagram of the experimental system

為驗(yàn)證40次序一體式方案對(duì)自標(biāo)定和旋轉(zhuǎn)調(diào)制功能具有提升效果，進(jìn)行以下對(duì)比實(shí)驗(yàn)：1.為期3天的48次序一體式方案導(dǎo)航實(shí)驗(yàn)；2.為期3天的40次序一體式方案導(dǎo)航實(shí)驗(yàn)。

兩組實(shí)驗(yàn)前4 h用于自標(biāo)定和初始對(duì)準(zhǔn)，后72 h進(jìn)行旋轉(zhuǎn)調(diào)制導(dǎo)航。兩組實(shí)驗(yàn)溫度均設(shè)為恒溫25 ℃，同時(shí)設(shè)置相同的轉(zhuǎn)速、滯停時(shí)間等條件，導(dǎo)航結(jié)果如圖7所示。可以看到，相比于48次序方案，40次序方案的東向和北向速度誤差最大值分別減少了0.09 m/s和0.11 m/s，位置誤差最大值減少了0.055 nm，速度精度和位置精度分別提高了約20%和12%，說(shuō)明40次序方案對(duì)器件誤差的標(biāo)定和旋轉(zhuǎn)調(diào)制效果更優(yōu)，能夠有效提高導(dǎo)航精度。

圖7 速度誤差和位置誤差對(duì)比Fig.7 The comparison of velocity errors and position errors

5 結(jié) 論

本文針對(duì)捷聯(lián)慣導(dǎo)系統(tǒng)48次序一體式旋轉(zhuǎn)方案的旋轉(zhuǎn)周期過(guò)長(zhǎng)，旋轉(zhuǎn)次序存在冗余的問(wèn)題，提出了一種改進(jìn)的40次序一體式旋轉(zhuǎn)方案。通過(guò)可觀測(cè)性分析和誤差分析，證明了該方案不僅兼具自標(biāo)定和旋轉(zhuǎn)調(diào)制功能，而且對(duì)器件誤差狀態(tài)量的可觀測(cè)度高于18位置方案和48次序方案，對(duì)安裝誤差的調(diào)制效果優(yōu)于傳統(tǒng)16次序方案，對(duì)零偏誤差的調(diào)制效果優(yōu)于48次序方案。仿真和實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，40次序方案在3天內(nèi)分別提高了約20%和12%的速度精度和位置精度。下一步可以針對(duì)是否存在旋轉(zhuǎn)次序更少、標(biāo)定或調(diào)制效果更優(yōu)的一體式方案開(kāi)展研究。