吳海燕

【摘 ? 要】學(xué)生已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)都是新認(rèn)知的基礎(chǔ)，所以學(xué)生的猜想和推理也就會(huì)伴隨著新問(wèn)題的出現(xiàn)而產(chǎn)生。猜想和推理必然有“是”或“否”兩種可能，此兩種情況多是學(xué)習(xí)中正遷移和負(fù)遷移的表現(xiàn)。正遷移和負(fù)遷移在學(xué)習(xí)中同等重要，但在教學(xué)中由于對(duì)負(fù)遷移的重視不夠，致使對(duì)負(fù)遷移產(chǎn)生的緣由的挖掘不足，從而造成學(xué)生認(rèn)知的缺失。實(shí)際上，負(fù)遷移中隱藏著學(xué)生認(rèn)知中的真問(wèn)題，潛藏著學(xué)習(xí)探究的科學(xué)方法，也體現(xiàn)出學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)的真實(shí)觸碰，值得教師關(guān)注。

【關(guān)鍵詞】負(fù)遷移;真問(wèn)題;科學(xué)方法;學(xué)科本質(zhì)

布魯納認(rèn)為，學(xué)習(xí)就是能把一個(gè)人學(xué)得的編碼系統(tǒng)應(yīng)用到新的學(xué)習(xí)上，正遷移就是一種適當(dāng)?shù)木幋a系統(tǒng)被應(yīng)用到一系列新事件的學(xué)習(xí)上;負(fù)遷移是一個(gè)人錯(cuò)誤地把編碼系統(tǒng)應(yīng)用到新的學(xué)習(xí)上[1]。課堂教學(xué)中，正遷移一般會(huì)獲得教師的關(guān)注和認(rèn)可，對(duì)結(jié)論和其背后的“為什么是”都能得到較全面而清楚的詮釋。如首都師范大學(xué)郜舒竹教授在《“平行四邊形面積”之難》一文中談到，通常“平行四邊形面積”的教學(xué)，是將平行四邊形通過(guò)剪拼，轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方形，進(jìn)而運(yùn)用長(zhǎng)方形面積公式推導(dǎo)出平行四邊形面積公式[2]。在剪拼的學(xué)習(xí)活動(dòng)的支持下，學(xué)生不但知道了平行四邊形面積等于長(zhǎng)乘高，而且在可視圖形的支撐下明晰了事實(shí)、理解了道理。但對(duì)于負(fù)遷移往往是草草收?qǐng)?，表現(xiàn)得重視不夠，探究不足。在一般情況下，負(fù)遷移的結(jié)論是伴隨著正遷移結(jié)論得到肯定的同時(shí)而被否定的。在負(fù)遷移結(jié)論被否定的同時(shí)，負(fù)遷移的話題也就隨之結(jié)束了，對(duì)其背后的“為什么不是”基本不會(huì)再進(jìn)行討論與探究。缺失的“為什么不是”是否有探究的意義呢？這個(gè)問(wèn)題背后又蘊(yùn)含著怎樣的深刻意義？

一、“不是”——真問(wèn)題的“種子”

學(xué)生受到原有認(rèn)知和經(jīng)驗(yàn)的影響，生發(fā)“錯(cuò)誤猜想”和“不當(dāng)推理”現(xiàn)象在學(xué)習(xí)中時(shí)有發(fā)生，“不是”就成為課堂中常有的一個(gè)真實(shí)的存在。就如在“平行四邊形面積”教學(xué)中，學(xué)生依托長(zhǎng)、正方形面積的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，在研究平行四邊形面積伊始，呈現(xiàn)出平行四邊形面積等于兩鄰邊相乘的猜想。郜舒竹教授在《“平行四邊形面積”之難》一文中清晰地陳述了學(xué)生形成這一猜想的緣由，即是由平行四邊形與長(zhǎng)方形的相似之處及學(xué)生的原有經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)所致。此“錯(cuò)誤猜想”就是布魯納所說(shuō)的負(fù)遷移，是學(xué)生在自己的原有經(jīng)驗(yàn)和認(rèn)知基礎(chǔ)上的一個(gè)真實(shí)“生成”。“生成”是杜威知識(shí)學(xué)習(xí)觀的核心觀點(diǎn)之一。“生成”強(qiáng)調(diào)的是一種從無(wú)到有的過(guò)程，是一種自然的生長(zhǎng)過(guò)程。杜威認(rèn)為知識(shí)的學(xué)習(xí)不是機(jī)械地接受人類的認(rèn)識(shí)結(jié)果，簡(jiǎn)單地將外在的知識(shí)置于頭腦之中，而是充分調(diào)動(dòng)頭腦中已有的經(jīng)驗(yàn)，通過(guò)對(duì)已有經(jīng)驗(yàn)的重組或改造，對(duì)所接收到的信息進(jìn)行主動(dòng)解釋，生成個(gè)人的意義或自己的理解[3]。學(xué)習(xí)中，類似這樣“不是”的生成還有許多。如在“角的初步認(rèn)識(shí)”有關(guān)角的大小比較的學(xué)習(xí)中，教師呈現(xiàn)出兩個(gè)邊長(zhǎng)短不同（射線畫(huà)出的部分不同）但大小相同的角，請(qǐng)學(xué)生判斷角的大小，大多數(shù)學(xué)生會(huì)判斷畫(huà)出的邊比較長(zhǎng)的角比較大;在學(xué)習(xí)小數(shù)加減法計(jì)算時(shí)，學(xué)生會(huì)把小數(shù)的末尾對(duì)齊列豎式;在學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)加減法計(jì)算時(shí)，學(xué)生會(huì)用分子加分子，分母加分母，等等。

雖然這些“不是”形成的緣由各不相同，但都是學(xué)生在自己原有經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上自覺(jué)、自主、自動(dòng)的思維的外化，是學(xué)生經(jīng)過(guò)復(fù)雜思維活動(dòng)的真實(shí)產(chǎn)物。遇到新的問(wèn)題時(shí)，學(xué)生要在頭腦中把新問(wèn)題與原有的知識(shí)相關(guān)聯(lián)，在對(duì)比異同的基礎(chǔ)上進(jìn)行遷移，做出推理和判斷，然后得出了如上這些“不是”的結(jié)論。在學(xué)生進(jìn)行比較、推理和判斷的過(guò)程中，出現(xiàn)了一些學(xué)生并不自知的bug，但都是學(xué)生學(xué)習(xí)中鮮活的“生成”。愛(ài)因斯坦說(shuō)：“提出一個(gè)問(wèn)題往往比解決一個(gè)問(wèn)題更重要，因?yàn)榻鉀Q問(wèn)題也許僅僅是一個(gè)數(shù)學(xué)上或?qū)嶒?yàn)上的技能而已，而提出新的問(wèn)題，新的可能性，從新的角度去看待舊的問(wèn)題，卻需要有創(chuàng)造性的想象力，而且標(biāo)志著科學(xué)的真正進(jìn)步。”由此我們知道問(wèn)題的發(fā)現(xiàn)和提出是如此的重要。但真問(wèn)題的發(fā)現(xiàn)和提出是需要土壤的，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題的種子是需要被呵護(hù)的。當(dāng)學(xué)生在學(xué)習(xí)中出現(xiàn)不同猜想時(shí)，就是問(wèn)題生發(fā)之時(shí)，因此猜想中的“不是”就是發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題的種子，它需要教師小心呵護(hù)用心對(duì)待。在“不是”的猜想中隱藏著認(rèn)知上的缺陷和漏洞，它有待改造或改組，這樣學(xué)習(xí)才真正發(fā)生。因此，學(xué)習(xí)中，學(xué)生生發(fā)的“不是”恰是學(xué)生認(rèn)知之樹(shù)成長(zhǎng)的“種子”，它需要被教師看到，需要被關(guān)注、被尊重、被培養(yǎng)。

二、“為什么不是”——科學(xué)方法的“土壤”

科學(xué)猜想與假設(shè)是科學(xué)研究中的重要環(huán)節(jié)，科學(xué)猜想與假說(shuō)是通向真理的橋梁。大科學(xué)家牛頓有句名言：“沒(méi)有大膽的猜想，就不可能有偉大的發(fā)現(xiàn)和發(fā)明?！辈孪氲慕Y(jié)論必然有“是”或“不是”兩種情況，隨之也必然生發(fā)“為什么是”和“為什么不是”這樣的問(wèn)題。關(guān)于“是”“不是”“為什么是”這三個(gè)問(wèn)題，在一般情況下都會(huì)引起教師重視，學(xué)生會(huì)得到明確的結(jié)論和清晰的論證。如在“平行四邊形面積計(jì)算”的學(xué)習(xí)中，學(xué)生通過(guò)教具、學(xué)具的支持，在割補(bǔ)、數(shù)格等具體活動(dòng)的支撐下，獲悉平行四邊形面積等于底乘高的事實(shí)，明確平行四邊形面積等于底乘高的緣由，等同就知道了平行四邊形面積不等于鄰邊相乘。但“為什么不是”這個(gè)問(wèn)題就被教師所忽視，表現(xiàn)為教學(xué)中的忽略。就如郜舒竹教授在《“平行四邊形面積”之難》一文中的建議：在學(xué)習(xí)中要補(bǔ)充學(xué)習(xí)活動(dòng)，通過(guò)學(xué)習(xí)活動(dòng)使學(xué)生認(rèn)識(shí)到平行四邊形的形狀和大小與圖形各邊的長(zhǎng)度不具備確定的因果關(guān)系，使學(xué)生清楚知道平行四邊形面積不等于兩鄰邊相乘之乘積。

那“為什么不是”這個(gè)問(wèn)題會(huì)被忽視呢？實(shí)際上，這是因?yàn)閹熒乃季S不在一個(gè)層面上。對(duì)于“是”“為什么是”“不是”“為什么不是”這幾個(gè)問(wèn)題的處理，教師是以不相容選言推理作為活動(dòng)設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)的。不相容選言命題的邏輯是：該命題所有選言只有且只有一個(gè)為真，其余的都為假。因此，以某個(gè)不相容選言命題為前提，如果能斷定某個(gè)支為真，則能推出其他支為假[4]。那么，在平行四邊形面積的教學(xué)中，就出現(xiàn)了平行四邊形面積等于兩鄰邊相乘或等于底乘高兩個(gè)選言支。通過(guò)操作、數(shù)格等活動(dòng)說(shuō)明了平行四邊形面積等于底乘高這個(gè)選言支是正確的。按照推理邏輯，也就說(shuō)明另一選言支兩鄰邊相乘是錯(cuò)誤的。所以，當(dāng)教師引導(dǎo)學(xué)生說(shuō)清楚了“為什么是”，伴隨著就說(shuō)明了“為什么不是”，故學(xué)習(xí)活動(dòng)也就停止了。

那學(xué)生遇到這幾個(gè)問(wèn)題又是怎樣思考的呢？一個(gè)問(wèn)題出現(xiàn)兩個(gè)不同的結(jié)論，實(shí)際上可以看成是兩個(gè)猜想、兩種假設(shè)。那么這兩個(gè)結(jié)論是否正確呢？需要論證每一個(gè)假設(shè)，才能獲得清晰的認(rèn)知。即每一種都做出實(shí)實(shí)在在的論證，清楚知道：是，它為什么是;不是，它為什么不是。還以“平行四邊形面積”為例，是的理由在操作實(shí)踐中已然清晰，但不是的理由也要說(shuō)得明白才行。也就是如郜舒竹教授建議的，需補(bǔ)充不是的緣由，通過(guò)邊的固定和面積的變化認(rèn)識(shí)到平行四邊形的面積與兩條鄰邊的乘積沒(méi)關(guān)系。如上兩種處理方法最大的差別在于一個(gè)是以教師的原有認(rèn)識(shí)為基礎(chǔ)的設(shè)計(jì)，一個(gè)是以學(xué)生的原有認(rèn)知為主體的設(shè)計(jì)。因?yàn)榻處熢陂_(kāi)展探究活動(dòng)之前就清楚地知道了結(jié)論，所以當(dāng)課堂上出現(xiàn)不同的結(jié)論時(shí)，教師清楚地知道只有一個(gè)結(jié)論是正確的，所以教師采用了不相容選言推理為設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)。實(shí)際上這里無(wú)論是出現(xiàn)兩個(gè)選言支還是多個(gè)選言支，只要設(shè)計(jì)從已知結(jié)果的角度采取不相容選言推理的方式，都會(huì)呈現(xiàn)舍去探究“為什么不是”的環(huán)節(jié)。但是，如果站在學(xué)生的視角去思考，面對(duì)研究假設(shè)，就需要去論證每一種假設(shè)，才可確定研究的結(jié)論。因此，對(duì)待“為什么不是”問(wèn)題，反映出的是以誰(shuí)為課堂主體的問(wèn)題，反映出的是怎樣探究的問(wèn)題，積累的是研究假設(shè)的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。因此，當(dāng)我們從學(xué)生角度選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄌ幚韺W(xué)生的問(wèn)題時(shí)，就是培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)研究精神、奠基科學(xué)研究經(jīng)驗(yàn)的過(guò)程，使學(xué)生掌握科學(xué)研究之方法。

以此為例，在其他雷同課例中呈現(xiàn)出“不是”的結(jié)論，教師也要以學(xué)生為主體，以科學(xué)方法為支撐，設(shè)計(jì)并補(bǔ)充適宜的學(xué)習(xí)活動(dòng)，幫助學(xué)生真實(shí)理解“為什么不是”。如，角的大小為什么跟邊的長(zhǎng)短無(wú)關(guān);小數(shù)加減法為什么不說(shuō)末尾對(duì)齊;分?jǐn)?shù)加減法為什么不能分母直接相加減;等等。

三、“是與不是”——觸碰概念本質(zhì)之“門環(huán)”

數(shù)學(xué)概念的準(zhǔn)確認(rèn)識(shí)和理解是建構(gòu)數(shù)學(xué)大廈的基石，它是數(shù)學(xué)判斷、推理、生發(fā)的根基。因此，深刻領(lǐng)悟概念是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一件大事。當(dāng)學(xué)生在新知識(shí)的認(rèn)識(shí)和理解中出現(xiàn)了遷移，無(wú)論“是”或者“不是”其背后都指向?qū)﹃P(guān)系的認(rèn)識(shí)與理解。以平行四邊形面積的計(jì)算為例，學(xué)生生成兩種猜測(cè)。其一，平行四邊形面積是兩鄰邊之乘積，指向的是平行四邊形面積與兩鄰邊長(zhǎng)短之關(guān)系;其二，平行四邊形面積等于底乘高，指向的是平行四邊形面積與底和高之關(guān)系。當(dāng)我們聚焦于數(shù)學(xué)事實(shí)、關(guān)注結(jié)果的時(shí)候，實(shí)際上就在不經(jīng)意間忽視了一個(gè)最重要的問(wèn)題，那就是按照思維的順序，要知道平行四邊形面積的計(jì)算方法。首先要找到影響面積大小的相關(guān)聯(lián)的量，這就回到了數(shù)學(xué)的最根本價(jià)值上。在《馬克思主義哲學(xué)全書(shū)》中，對(duì)數(shù)學(xué)是這樣定義的：“數(shù)學(xué)是一門研究現(xiàn)實(shí)世界中數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)?！盵5]研究數(shù)量關(guān)系的第一步就是要找到數(shù)量間是否存在著關(guān)系，有怎樣的關(guān)系，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)數(shù)量關(guān)系的認(rèn)識(shí)和理解。因此，在對(duì)平行四邊形面積計(jì)算方法的探究中，學(xué)生研究的實(shí)際上是兩個(gè)問(wèn)題。第一個(gè)問(wèn)題，平行四邊形的面積與誰(shuí)有關(guān)系？第二個(gè)問(wèn)題，有什么關(guān)系？因此，對(duì)于“為什么不是鄰邊相乘”的研究，是探究平行四邊形面積與兩鄰邊長(zhǎng)短是否存在確定關(guān)系的過(guò)程，是積累認(rèn)識(shí)和發(fā)現(xiàn)數(shù)量關(guān)系經(jīng)驗(yàn)的過(guò)程，是觸碰數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)的過(guò)程。在探究數(shù)學(xué)事實(shí)的過(guò)程中認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)事實(shí)，重要的是深化對(duì)關(guān)系的理解，積累探究的經(jīng)驗(yàn)，獲得數(shù)學(xué)研究的科學(xué)方法。

探究“為什么不是”的學(xué)習(xí)活動(dòng)，不僅可以清楚知道平行四邊形面積與鄰邊存在不確定的關(guān)系，也進(jìn)一步清晰了長(zhǎng)和寬與長(zhǎng)方形面積、邊長(zhǎng)與正方形面積的確定關(guān)系，深化了圖形特征的認(rèn)識(shí)。在對(duì)比辨析中深層次理解圖形的同與不同，深入認(rèn)識(shí)平行四邊形易變形的特征。一個(gè)“為什么不是”的研究其意義深遠(yuǎn)，它觸碰到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的本質(zhì)。美國(guó)數(shù)學(xué)教授柯普闌認(rèn)為，數(shù)學(xué)是一種對(duì)關(guān)系的學(xué)習(xí)，教師應(yīng)鼓勵(lì)兒童發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)關(guān)系，不要只顧灌輸知識(shí)而扼殺了他們獨(dú)立思考的機(jī)會(huì)和發(fā)現(xiàn)的樂(lè)趣。

雷同的對(duì)“為什么不是”的挖掘，都可以引領(lǐng)學(xué)生叩擊數(shù)學(xué)本質(zhì)之大門。如角的大小比較中，為什么角的大小與邊的長(zhǎng)短沒(méi)有關(guān)系;被2、5整除的數(shù)的特征為什么只看個(gè)位上的數(shù)就可以判斷，而被3整除的數(shù)的特征不能只看個(gè)位上的數(shù)來(lái)確定;小數(shù)加減法為什么不能末尾對(duì)齊直接加減;等等。

在不同的學(xué)習(xí)內(nèi)容中，我們看到學(xué)生思維上產(chǎn)生的相通的問(wèn)題，而這些相通問(wèn)題都指向了對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)的探索。因此，教師要認(rèn)真對(duì)待教學(xué)中“為什么不是”的問(wèn)題，關(guān)注學(xué)生的真問(wèn)題，給學(xué)生提供發(fā)現(xiàn)真理的機(jī)會(huì)，讓他們真實(shí)地去探究以獲得真知。

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（北京市朝陽(yáng)區(qū)教育科學(xué)研究院 ? 100010）