淺談高中數(shù)學(xué)中立體幾何解題技巧

閆海新

摘 要：立體幾何是高中數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的重要組成部分，是學(xué)生必須掌握的主要知識(shí)之一，是提升學(xué)生直觀想象核心素養(yǎng)的主陣地。學(xué)生通過立體幾何的學(xué)習(xí)，增強(qiáng)空間幾何感和空間想象力，提升邏輯思維能力和表達(dá)能力。本文將提供三種常規(guī)的立體幾何體積的解題思路，通過這三種常規(guī)解題思路逐步加強(qiáng)學(xué)生對(duì)立體幾何的掌握程度。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué);立體幾何;解題方法

美國數(shù)學(xué)家哈爾莫斯說：“數(shù)學(xué)的真正組成部分應(yīng)該是問題和解，解題才是數(shù)學(xué)的心臟。

”教育家波利亞稱：“掌握數(shù)學(xué)就意味著善于解題?！绷Ⅲw幾何知識(shí)的掌握和運(yùn)用，能力的提高當(dāng)然離不開解題和克服解題中的問題。因此，師生必須加強(qiáng)立體幾何的學(xué)習(xí)，提高學(xué)習(xí)效率。

一、適當(dāng)分割，多個(gè)求和

一般的數(shù)學(xué)考題中，關(guān)于體積的計(jì)算，不會(huì)是一個(gè)簡簡單單的長方體、正方體或是三棱錐，而是幾個(gè)長方體、正方體的結(jié)合形成的多面體，求它們相結(jié)合形成的體積。在此類型中，最常見的解題方法就是分割法，把多面體分割成幾個(gè)我們常見的立體幾何。然后，分別求出每個(gè)分割體的體積。最后，將所有的分割體體積相加，就能得出總體積了。例如，在多面體ABCDEF中，已知面ABCD是邊長為3的正方形，EF//AB，EF=1.5，EF與平面AC的距離為2。那么，該多面體的體積是多少？在本題中，由于多面體ABCDEF是一個(gè)不規(guī)則的立體幾何圖形，我們無法用常見的立體幾何的體積算法，去計(jì)算該多面體ABCDEF的體積。此時(shí)，我們便可以運(yùn)用分割法的知識(shí)，將多面體ABCDEF分割成常見的立體幾何，再進(jìn)行計(jì)算。我們先連接BE、CE構(gòu)成一個(gè)新的平面BCE，這個(gè)平面將多面體ABCDEF分割成了四棱錐E-ABCD和三棱錐E-BCF。此時(shí)，多面體ABCDEF的體積就等于四棱錐E-ABCD的體積加上三棱錐E-BCF的體積。教師可以引導(dǎo)學(xué)生得出V=V+V，在進(jìn)行求解。

二、兩把利刃，三視圖和直觀圖

從三視圖和直觀圖研究幾何體是分析視圖的常用方法，也是培養(yǎng)空間想象能力的重要途徑.從空間中某一點(diǎn)觀察幾何體，找出幾何體關(guān)鍵點(diǎn)、線、面要素，從宏觀整體感知幾何體的形狀，建立幾何體的實(shí)際模型，再微觀從正視、側(cè)視、俯視三個(gè)方面觀察幾何體，更準(zhǔn)確地感知幾何體的構(gòu)造，利于分析解決問題。

例如，如圖1-1，一個(gè)簡單空間幾何體的三視圖，其正視圖與側(cè)視圖都是邊長為2的正三角形，其俯視圖輪廓為正方形，則其全面積是（ ）。

A.4 B.8 C.+4 D.12

分析：本題多數(shù)學(xué)生初學(xué)時(shí)會(huì)認(rèn)為側(cè)棱即為斜高，導(dǎo)致側(cè)面積計(jì)算錯(cuò)誤。引導(dǎo)學(xué)生從三視圖概念分析，結(jié)合具體四棱錐實(shí)物模型，再次觀察各視圖形狀和和直觀圖中的點(diǎn)與線段關(guān)系，從而獲得正確的數(shù)據(jù)，再讓學(xué)生畫出對(duì)應(yīng)的四棱錐直觀圖并在圖上標(biāo)出三視圖中對(duì)應(yīng)的尺寸，完成解題。

感悟：三視圖反映幾何體在某個(gè)面上的投影形狀，直觀圖反映幾何體整體性質(zhì)，掌握直觀圖和三視圖的畫圖規(guī)則。能從空間幾何體的直觀圖確定三視圖形狀，從三視圖想象它的直觀圖，在教學(xué)中重視實(shí)物模型-三視圖—直觀圖之間的相互轉(zhuǎn)化，訓(xùn)練空間立體感促進(jìn)想象能力的發(fā)展。

三、動(dòng)態(tài)研究，面體互化

幾何體是多個(gè)平面圍成或者平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生的，是平面幾何知識(shí)的延伸和升華，從而有些立體幾何的問題可以轉(zhuǎn)化為平面幾何問題來分析，借助平面圖形知識(shí)來解決。

例如，圓柱的底面半徑為1，母線長為2，點(diǎn)M，N在同一條母線上，且分別位于上，下底面，求點(diǎn)M繞圓柱的側(cè)面到N的最短路徑長.

分析：要求繞圓柱的側(cè)面運(yùn)動(dòng)的最短路徑，化曲為直，沿母線MN將圓柱側(cè)面剪開展得矩形，則最短路徑即為矩形對(duì)角線長。

變式：如圖2-2，在三棱錐V-ABC中，VA=VB=VC=2，∠AVB=∠BVC=∠CVA=40°，過A作截面AEF分別交VB，VC于點(diǎn)E，F(xiàn)，求△AEF周長的最小值。

分析：本題即在棱錐中求三個(gè)側(cè)面上線段AE+EF+FA的和，空間中的和最短常轉(zhuǎn)化為平面和最短問題，則沿AF展開側(cè)面，變成從A到A′的距離最小值即可。

感悟：空間中在不同面研究距離、面積等問題可以結(jié)合幾何體的結(jié)構(gòu)特征在空間和平面之間轉(zhuǎn)化思考，把幾何體表面或側(cè)面展開，利用平面幾何知識(shí)來解決.

結(jié)語

總之，高中立體幾何作為高考考查的重要知識(shí)點(diǎn)之一，必須在教學(xué)中培養(yǎng)高中學(xué)生的空間想象能力和解題能力。教師要讓學(xué)生把立體幾何當(dāng)中的知識(shí)點(diǎn)理清楚。然后，在一般的基礎(chǔ)上理解體積計(jì)算的各種方法，明白每一種方法之間的變通，讓學(xué)生在實(shí)踐過程中能運(yùn)用這些巧妙的方法，更好地掌握該知識(shí)點(diǎn)。

參考文獻(xiàn)

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