盧日榮

摘要：折疊題型就是把一個(gè)幾何圖形的一部分沿某一條直線或線段折疊，通過(guò)這部分圖形折疊變換前后相等的等量關(guān)系來(lái)命題。試題綜合考查了學(xué)生的觀察能力，空間想象能力和動(dòng)手能力。其形式多樣，變幻巧妙，立意新穎，綜合性強(qiáng)。因此這類題型是歷年各省市中數(shù)學(xué)考中的熱點(diǎn)題型，也是學(xué)生失分最嚴(yán)重的題型。為了使學(xué)生在這類題中不丟分，我們老師在數(shù)學(xué)中考備考中應(yīng)認(rèn)真專研這類考題特點(diǎn)，弄清命題結(jié)構(gòu)和規(guī)律，在平時(shí)的訓(xùn)練中應(yīng)培養(yǎng)學(xué)生的識(shí)圖能力、觀察能力及解決問(wèn)題的能力。

關(guān)鍵詞：折疊;折法;策略

在復(fù)習(xí)折疊問(wèn)題時(shí)，教師應(yīng)歸納出這類題型的特征、考察形式以及有關(guān)的解題規(guī)律，總結(jié)出相關(guān)對(duì)策、解法并找到與此相關(guān)的一類題。下面本人結(jié)合實(shí)際教學(xué)，談?wù)勛约涸趶?fù)習(xí)折疊問(wèn)題時(shí)的一些做法。

一、緊扣課本，梳理考點(diǎn)

通過(guò)學(xué)生的動(dòng)手操作，讓學(xué)生比較直觀認(rèn)識(shí)和理解幾何圖形的折疊變換的概念和特性。

1.幾何圖形折疊的概念

幾何圖形折疊就是把一個(gè)幾何圖形的一部分沿某一條線段或直線折疊，使它與原圖形的另一部分重疊或者不重疊。

2.幾何圖形折疊的特性

（1）幾何圖形的折疊部分前和后都是全等形。

（2）幾何圖形的折疊部分所在折疊前和折疊后的位置，關(guān)于折痕成軸對(duì)稱。

例1（石家莊市）如圖1，在矩形ABCD的紙片中，要在矩形ABCD的紙片里折出一個(gè)最大的正方形。有同學(xué)把矩形的一個(gè)∠B沿線段AE向上折疊，使AB與AD邊上的AF重合，則四邊形ABEF就是一個(gè)最大的正方形。這位同學(xué)說(shuō)四邊形ABEF是一個(gè)最大正方形，根據(jù)什么來(lái)判定呢？

分析：這位同學(xué)把矩形的一個(gè)∠B線段AE向上折疊，使AB和AD邊上的AF重合，根據(jù)折疊的性質(zhì)，很容易得到： ，對(duì)角線平分內(nèi)角的矩形是正方形，因此四邊形ABEF在矩形ABCD里就是一個(gè)最大的正方形。

二、回歸課本，掌握折法

在各省市數(shù)學(xué)中考有關(guān)折疊題目中，有很多是源于課本的。命題者通過(guò)課本的例題、習(xí)題進(jìn)行“二次開(kāi)發(fā)”，變成一道新的考試題目。對(duì)這類緊扣課本試題，我們?cè)跀?shù)學(xué)中考復(fù)習(xí)中一定要注意對(duì)課本有關(guān)折疊知識(shí)的研究與挖掘，得出解題規(guī)律，化繁為簡(jiǎn)，達(dá)到靈活變通、觸類旁通的目

的。下面以初中數(shù)學(xué)人教版教材中的兩道題目為例，弄清在折疊中對(duì)直角三角形和矩形是怎樣折的問(wèn)題。

例2（人教版八年級(jí)上冊(cè)第58頁(yè)第14題）如圖2，在直角三角形ABC中，若∠C=90°∠B=30°，要把這個(gè)直角三角形均勻分成三個(gè)面積相等的直角三角形，你有辦法嗎？請(qǐng)你試著在圖上畫(huà)出來(lái)，并說(shuō)明原因。

解：作∠A的平分線AD交BC于D，過(guò)D作DE⊥AB于E，得到3個(gè)全等三角形。

∵∠C=90°∠B=30°

∴∠CAB=60°

∵AD為∠BAC的角平分線

∴∠BAD=∠CAD= ∠CAB=30°

∴AC= ?CD，且S△ACD= AC·CD

∵∠DAE=30°且∠DEA=90°

∴AD=2DE

∴DE=CD可證△ACD≌△AED

同理△ACD≌△BED

S△ADE= AE·DE=S△BDE= BE·DE=S△ACD

通過(guò)分析很容易得出此類題解題方法如圖3所示沿∠CAB的角平分線AD和邊AB的垂直平分線，DE劃分即可。此題看似與折疊問(wèn)題無(wú)關(guān)，但它實(shí)際包含了直角三角形的幾種常見(jiàn)的折疊類型，歸納如下：

1、沿一個(gè)銳角的角平分線折疊，如圖4;

2、沿斜邊的垂直平分線折疊，如圖5;

3、沿一條直角邊的垂直平分線折疊，如圖6;

變式訓(xùn)練：

1、圖2中，若AC=3，BC=4求線段CD的長(zhǎng)

2、圖3中，若AC=3，BC=4求線段CD的長(zhǎng)

3、圖4中，若AC=3，BC=4求線段CE的長(zhǎng)

規(guī)律總結(jié)：利用折疊的性質(zhì)得到的直角和相等的邊或角，選擇適當(dāng)?shù)闹苯侨切?，運(yùn)用勾股定理列方程或利用直角三角函數(shù)，是解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵。

例3（人教版八年級(jí)上冊(cè)第53頁(yè)練習(xí)2）四邊形ABCD是矩形，△BCD沿矩形對(duì)角線BD向上折疊，如圖7重疊部分△BFD是一個(gè)等腰三角形嗎？為什么？

此題是矩形折疊后的有關(guān)三角形證明，解決矩形的折疊問(wèn)題，實(shí)際上是把它轉(zhuǎn)化為三角形的問(wèn)題去解決。矩形折疊與三角形折疊相比較，矩形折疊中的條件更豐富，融入了矩形的性質(zhì)的運(yùn)用，因而它比三角形的折疊更復(fù)雜，常以此題基礎(chǔ)變式出了許多的中考題型。如2018年廣東中考題數(shù)學(xué)第22題。

規(guī)律總結(jié)：矩形常見(jiàn)的折疊規(guī)律

（1）如圖8，沿矩形ABCD的對(duì)角線BD折疊。

（2）如圖9，沿矩形ABCD的對(duì)角線BD折疊。

（3）如圖10，△BCE沿直線CE向上折疊，點(diǎn)B落在線段AD點(diǎn)F上。

變式訓(xùn)練：

（1）圖8中，若AB=3，BC=4求線段AF的長(zhǎng)

（2）圖9中，若AB=3，BC=4求線段AF的長(zhǎng)

（3）圖10中，若AC=3，BC=5求線段AF的長(zhǎng)

規(guī)律總結(jié)：首先要抓住矩形折疊的本質(zhì)特點(diǎn)，找出折疊前后相等的邊和角，再把矩形折疊問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直角三角形問(wèn)題，找出關(guān)鍵的直角三角形，運(yùn)用勾股定理列方程或解直角三角形來(lái)解決這類問(wèn)題。

三、研究中考，剖析題型

在掌握幾何圖形折疊的性質(zhì)及折疊問(wèn)題中常見(jiàn)的折疊法后，我們就要剖析各省市的中考中關(guān)于幾何圖形折疊問(wèn)題的常見(jiàn)類型題，引導(dǎo)學(xué)生觸類旁通，懂一題會(huì)一片。培養(yǎng)學(xué)生解決幾何圖形折疊問(wèn)題的能力，真正做到胸有成竹。

1.幾何圖形折疊后求角度

例4（2016.長(zhǎng)沙市）在一般△ABC中。

（1）如圖②所示，點(diǎn)A向下沿DE折疊，使點(diǎn)A落在四邊形BCED的內(nèi)部點(diǎn)A′的位置，∠1、∠2與∠A之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？為什么？

（2）如圖①，點(diǎn)A向下沿DE折疊，點(diǎn)A剛好落在邊AC上的點(diǎn)A′的位置，∠A與∠1存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？為什么？

（3）如圖③，點(diǎn)A向下沿DE折疊，使點(diǎn)A落在四邊形BCED的外部點(diǎn)A′的位置，∠A、∠1與∠2之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？為什么？

解：（1）∵如圖②點(diǎn)A折疊后落在點(diǎn)A′的位置，點(diǎn)A′在四邊形BCED內(nèi)

∴∠ADE=∠A′DE∠AED=∠A′ED

∴∠ADE=12（180°-∠1）∠AED=12（180°-∠2）

在△ADE中，∠A+∠ADE+∠AED=180°

∴∠A+12（180°-∠1）+12（180°-∠2）=180°

整理得，2∠A=∠1+∠2

（2）如圖①∵點(diǎn)A折疊后落在點(diǎn)A′的位置，點(diǎn)A′在線段上，

∴∠A=∠DA′E

由三角形外角性質(zhì)得：∠1=∠A+∠DA′E=2∠DA′E=2∠A

（3）如圖③，∵點(diǎn)A折疊后落在點(diǎn)A′的位置，點(diǎn)A′在四邊形BCED外

∴∠A=∠A′由三角形的外角性質(zhì)得：∠3=∠2+∠A′∠1=∠A+∠3

∴∠1=∠A+∠2+∠A′=∠2+2∠A

即∠1=∠2+2∠A.

經(jīng)驗(yàn)總結(jié)：如果幾何圖形只有一次折疊，我們只要抓住幾何圖形折疊的性質(zhì)，利用折疊前后兩個(gè)三角形是全等型這一本質(zhì)特征，就可以解決問(wèn)題。對(duì)于幾次折疊的問(wèn)題可通過(guò)操作相結(jié)合的方法解決。

2.幾何圖形折疊后求線段長(zhǎng)度

例5（濟(jì)南市2000年中考試題）

如圖11，四邊形ABCD是矩形，先沿對(duì)角線BD折出一條

折痕，再AD向BD折疊，使落AD在對(duì)角線BD上，DG是折線，

若AD =1，AB =2，求AG。

分析：（如圖12）A1是A點(diǎn)落在BD上的位置，

連結(jié) A1G，根據(jù)折疊的性質(zhì)得：

△ADG ≌△A1DG，AG = A1G，AD = A1D。

∵矩形ABCD，AB =2，AD =1，在Rt△BAD中，

根據(jù)勾股定理得

∴BD = =

BA1= –1∵∠ BA1G =∠ A =90°

設(shè)AG = A1G= X，在Rt△BA1G中

利用勾股定理列出方程：x2+（ –1）2=（2– x ）2

∴ x = ，即：AG =

經(jīng)驗(yàn)總結(jié)：此題按折疊法可歸類為矩形沿某條直線折疊。此類題能得出幾個(gè)直角三角形是關(guān)鍵，然后反復(fù)利用直角三角形的勾股定理，得到要求的線段長(zhǎng)度。所以遇到這種題型一定要抓住折疊前后的線段和角度不變這一特點(diǎn)，弄清線段之間的等量關(guān)系，利用相關(guān)的定理得出結(jié)論。

3.幾何圖形折疊后證明

例6（2018廣東）如圖13，四邊形ABCD是矩形，且AB?AD，ΔABC沿矩形沿對(duì)角線AC向上折疊，使點(diǎn)B落在矩形ABCD外面點(diǎn)E處，AE交CD于F，連接DE。

求證：ΔCED ≌ΔADE

求證：ΔEDF是等腰三角形。

證明：∵四邊形ABCD是矩形， AD=BC，AB=CD

根據(jù)折疊性質(zhì)得：BC=CE，B=AE

∴AD=CE，AE=CD

在ΔADE和ΔCED中

∴ΔADE ≌ΔCED

（2）由（1）得ΔADE ≌ΔCED

∴∠DEA=∠EDC 即∠DEF=∠EDF

∴EF=DF

∴ΔDEF是等腰三角形。

例7（?？谑校┤鐖D14，四邊形ABCD是矩形，將ΔBCD沿矩形對(duì)角線BD折疊，點(diǎn)C落在矩形ABCD外點(diǎn)E處，BE交AD于F，連結(jié)AE。

求證：（1）BF=DF;（2）AE∥BD。

證明：（1）能正確說(shuō)明∠ADB=∠EBD（或△ABF≌△EDF）

∴BF=DF。

（2）能得出∠AEB=∠DBE（或∠EAD=∠BDA）

∴AE∥BD

經(jīng)驗(yàn)總結(jié)：對(duì)于此類折疊后證明的題型，我們要先折疊的性質(zhì)出發(fā)，得到相等的角和線段，發(fā)掘出其中的角和線段的數(shù)量關(guān)系，利用三角形全等或線段的數(shù)量關(guān)系用方程表示出來(lái)，達(dá)到求解的目的。

4.幾何圖形折疊后求函數(shù)問(wèn)題

例8（上海市）如圖15，△ABC是銳角三角形，AH⊥BC于點(diǎn)H，BC=9，AH=6，AB邊上的任意一點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作DE∥BC，交AC于E。設(shè)△ADE的高AF=x（0

（1）①求出當(dāng)0

（2）當(dāng)x取什么值時(shí)，y的值最大或最小值？是多少？

解：（1）①當(dāng)0

∵DE∥BC

∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C

∴△ADE∽△ABC

∴ .∴ ，即

又∵FA'=FA=x

∴y= DE·A'F= · x·x

∴ （0

②當(dāng)3

∵FH=6-AF=6-x

A'H=A'F-FH=x-（6-x）=2x-6

又∵DE∥PQ

∴△A'PQ∽△A'DE

∴

∴

∴

（2）當(dāng)0

當(dāng)3

∵y1

經(jīng)驗(yàn)總結(jié)：此題考察了幾何折疊問(wèn)題與動(dòng)點(diǎn)函數(shù)問(wèn)題。利用幾何圖形折疊的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)和二次函數(shù)的性質(zhì)。求出函數(shù)的最大值最小值。解決此類題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的性質(zhì)，找出線段的等量關(guān)系，也就是函數(shù)關(guān)系，從而快速求解。

幾何圖形的折疊問(wèn)題是數(shù)學(xué)中考的熱點(diǎn)、難點(diǎn)題型。此類題型綜合考察學(xué)生的空間想能力和知識(shí)的綜合運(yùn)用能力。在平時(shí)的復(fù)習(xí)訓(xùn)練中，要培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想與綜合運(yùn)用能力。雖然此類題型變化之多，考察范圍之廣，但是經(jīng)過(guò)深入研究之后，我們不難發(fā)現(xiàn)其中的命題規(guī)律，在解決此類題型，我們要教會(huì)學(xué)生細(xì)心觀察，利用幾何圖形折疊的性質(zhì)，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題所在，化繁為簡(jiǎn)，才能輕車熟路，得心應(yīng)手。

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