動作·語言·符號：二年級除法意義的理解與教學

陳文

（福州市臺江實驗小學，福建 福州 350009）

到小學數學二年級下冊除法教學時，教師們普遍存在學生對兩種分法意義混淆的教學難題。而癥結是一些教師沒有按照符合兒童認知規(guī)律來落實教學計劃。理解除法意義，只要抓住“動作”“語言”“符號”的三個步驟進行?！皠幼鳌弊畹湫偷伢w現為低年級學生動手操作學具的過程；“語言”指學生用自然語言描述數學活動的過程；“符號”指最終抽象出的數學算式。這三者之間的遞進與統(tǒng)一形成了一種樸素的數學建模過程。它由易到難，由具象到抽象，循序漸進，契合兒童認知發(fā)展的規(guī)律?？梢哉f，這三個核心詞很好地貫穿了二年級下冊有關除法知識的單元學習。本文以人教2011 年課標版二年級下冊數學教科書為例對此進行闡述。

一、始于動作：認識初體驗

心理學家皮亞杰這樣描述兒童最初的感知運動階段：“主要認知結構是感知運動圖式。”皮亞杰還指出：“這種協(xié)調的動作中已形成了一種動作邏輯，成為以后數理邏輯結構的出發(fā)點?！保?］

二年級學習的除法重在描述“平均分”過程與結果。為了逐步揭示除法的含義，首先，應以生活中常見的“每份同樣多”的實例和活動情境讓學生建立“平均分”的概念；其次，掌握“等分”與“包含”兩種分法；再次，在“平均分”概念的基礎上引出除法運算。無論是“平均分”的概念引入，還是“兩種分法”的意義教學，又或是“有余數的除法”的教學，都應注重初期操作體驗，將其塑造為算式符號建模的發(fā)端。

（一）在“平均分”教學中激勵多樣化嘗試

教科書P8 例1：“把6 顆糖分成3 份，分一分?！崩}中的“分一分”點明了操作環(huán)節(jié)的重要性。它包括學生進行分物操作的嘗試過程與結果的反饋，是建模的基礎。受思維定式影響，大部分學生會自動把每份分得同樣多，但教師要促成學生嘗試多樣化的分法，凸顯“每份同樣多”這種分法的特殊意義。

（二）凸顯兩種分法操作的不同點

許多學生長期混淆除法兩種分法的意義，這源于初期的操作訓練沒有扎實進行。

1.“等分”中的操作。教科書P9 例2：“把18 個桔子平均分成6 份，每份幾個？分一分?！睂嵤┎僮髑?，學生須明了已知條件及任務——即把18 個桔子平均分成“6 份”，目的是每份分得同樣多。分物過程可能出現多種情況，只要結果是每份分得同樣多，各種分法均可，不必刻意強調過程。這往往被一些教師忽略，以至學生將此分法的重點放在“一個一個分”這樣的操作表征上。

2.“包含”中的操作?！鞍背ㄆ鋵嵤且环N連續(xù)減法，一年級下冊出現的解決問題例題：“28 個橘子，9 個裝一袋，可以裝滿幾袋？”——已經滲透了這種連減的計算思想?！鞍狈址ㄒ彩侵匾暺骄值倪^程和方法，但和“等分”分法過程有所區(qū)別，因為“包含”分法在已知條件中規(guī)定好了：每幾個一份，你只能按照這樣分。

二、相伴語言：認識的質飛躍

皮亞杰認知理論中提及兒童開始從具體動作中擺脫出來，憑借象征格式在頭腦里進行“表象性思維”［2］，特別是由于語言的出現和發(fā)展，促使兒童日益頻繁地用表象符號重現外界事物。與具體動作相比，語言的思維更加抽象，是認知的一個進步。

（一）語言概述結果

“平均分”概念的教學在大量分物操作基礎上中用語言概述結果，像這樣“每份分得同樣多”的分法，叫平均分，它突出強調的是分的結果，語言的描述成為點睛之筆；“等分”分法也是借助語言突出這樣的結果。如例2 描述為：“把18 個桔子平均分成6 份，每份（3）個”，在這種分法中借助語言來描述其分的過程和結果，為后面除法算式的教學作了很好的鋪墊，當這種操作過程到語言的體驗不斷熟練繼而轉到抽象出除法算式（符號），自然就水到渠成。

（二）語言伴隨操作

與前面的語言描述過程與結果不同，“包含”分法強調操作與語言表達的統(tǒng)一。在教學時可以指導學生們一邊分，一邊說：“8 個果凍，2 個一份，2 個一份……可以分成這樣的4 份。”“包含”分法的語言伴隨著操作進行，為抽象出除法算式（符號）做鋪墊。語言表征比操作抽象，又比符號形象，在低年級兒童未完全脫離抽象思維的情況下起到很好的承接作用。語言的相伴，讓除法意義的認識有了質的飛躍。

三、歸于符號：三者互通暢

在操作、語言之后抽象出除法算式（符號），構建了三者之間的先后關系，但是這種關系并不是單線、單向行進的。教師要引導學生建立分的過程（操作表征）、語言表達過程（語義表征）、口算過程、豎式書寫過程（符號表征）之間一一對應的關系，理順動作、語義、符號三者的關系，有來有回，使學生在理解除法意義的同時真正完成對除法算式的建模。

（一）符號非孤立

在進行了動作與語言模塊的鋪墊之后，要開始引導學生掌握符號，即除法算式。需要注意的是，教師不能孤立地看待符號。有些教師會提出這樣的疑問：在除法的含義中，“24÷3=8”除了表示“把24 平均分成3 份，每份8 個”以及“24 里面有8 個3”，能不能表示成“24 里面有3 個8”？筆者認為不要孤立闡述除法算式的含義，而是要結合具體的情境讓學生充分體驗平均分的過程、結果與除法算式中各數的對應關系；除法算式或語言表達其實就是分物過程的再現，脫離情境去描述除法算式的意義是不妥的。

（二）回頭是關鍵

許多教師也按照此三者步驟有條理地教學，但有時效果不佳，關鍵問題就是沒有從最后的“符號”回歸到“語義”與“操作”的層面。

教科書第60 頁中的“例1：初步認識有余數除法的含義”的教學要抓住兩個要素的“對比”，其一是平均分結果的對比，其二是除法橫式的對比。教師要引導學生借助實物，從操作與語言表義的結合過渡到算式符號的抽象，并且還應從算式符號回歸圖形與語言，進行兩種情境的對比，建立有余數除法的模型。簡言之，就是看著除法算式即能用語言清晰描述操作過程?；貧w原初、順暢聯(lián)系，才算真正掌握了除法意義。

（三）符號與橋梁

除法豎式的建模對學生來講是一個十分困難的問題，究其根本，學生不是不懂計算，而是不懂除法豎式的含義和寫法。［3］因此，教師不僅要建立圖形與符號間的橋梁，還應建立符號與符號間的橋梁。

教科第63 頁例3 除法豎式的教學可以不用動手擺一擺，直接根據題意（屬于“語言”范疇）寫橫式（屬于“符號”范疇），之后要從橫式再回歸語言與圖畫。此時的動作已經過渡到圖像，“數形結合”的思維變得尤其重要，這為下面豎式的書寫建立良好的基礎。實際上，豎式的書寫就是借助符號描述分物過程的一種方式。除法豎式與橫式雖同為符號，但遵循一種全新的運算模式和符號應用模式。因此，舊符號與新符號之間，新符號與圖示之間的順暢溝通變得尤為重要。在豎式學習的環(huán)節(jié)中，可以引導學生帶著兩個關鍵的問題進行自學。其一，橫式中的每個數能否在豎式中找到，即重視橫式與豎式對比；其二，能否說一說豎式中的每個數分別表示圖中的什么意思，即重視數形結合。自學后，學生可以搭建起除法中橫式與豎式、豎式與圖形互通的橋梁。

除法意義教學中的“操作、語言、符號”不是簡單的先后三部曲，而是相伴相生、回歸順暢這樣一種充滿邏輯的關系。教師必須對其中蘊含的數理邏輯有較為深刻的把握，才能讓學生經歷循序漸進的認知過程，真正掌握蘊含其中的有關除法的數學道理。