李加樹

“問題是數(shù)學(xué)的心臟?！薄杜ｎD大詞典》把“問題”定義為，一個(gè)不能馬上解決或者困難的問題，一個(gè)需要探索、思考和討論的問題。瑞士教育學(xué)家裴斯泰洛齊認(rèn)為：“教育的主要任務(wù)不是積累知識(shí)，而是發(fā)展思維?！笨梢姡皢栴}”在數(shù)學(xué)教學(xué)和思維訓(xùn)練中的重要性，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維為核心。怎樣的問題才能給學(xué)生的思維方向提供引領(lǐng)？怎樣的問題才能讓學(xué)生在碰撞與交流中建構(gòu)新的理解？數(shù)學(xué)課堂中問題設(shè)計(jì)的路徑又有哪些？需要我們一線教師在教學(xué)中進(jìn)行思考和實(shí)踐。

一、本原性問題的內(nèi)涵特征

數(shù)學(xué)本原性問題是針對(duì)具體教學(xué)內(nèi)容（數(shù)學(xué)概念、思想方法）提煉出的核心問題，它指向數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)本質(zhì)。數(shù)學(xué)本原性問題包括內(nèi)容性問題和思維性問題。找準(zhǔn)了一節(jié)課的本原性問題，教學(xué)就有了抓手，學(xué)生思考就有了方向和動(dòng)力，學(xué)生學(xué)習(xí)就有了“靶心”。數(shù)學(xué)本原性問題具有以下特點(diǎn)：一是開放性。本原性問題設(shè)置的情境中包含豐富的信息，可供學(xué)生從多方面、多角度思考，給學(xué)生創(chuàng)造了獨(dú)立思考和主動(dòng)探究的空間。二是指向性。本原性問題有明確的學(xué)科核心素養(yǎng)指向，對(duì)學(xué)生的思維有引領(lǐng)作用，實(shí)現(xiàn)對(duì)知識(shí)的深層理解和本質(zhì)把握。三是挑戰(zhàn)性。本原性問題能夠引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，激勵(lì)學(xué)生主動(dòng)地進(jìn)行觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測(cè)、驗(yàn)證、推理與交流等數(shù)學(xué)活動(dòng)，既有一定的難度，又能通過探究獲得結(jié)果。四是發(fā)展性。本原性問題不僅指向新知識(shí)的轉(zhuǎn)化，新問題的產(chǎn)生，還延長(zhǎng)了思維的“長(zhǎng)度”，讓思維“觸角”不斷拓展延伸。深化對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的再認(rèn)識(shí)、再理解和再建構(gòu)，引領(lǐng)學(xué)生在不斷向上生長(zhǎng)。

二、本原性問題的教學(xué)意義

1.改變課堂教學(xué)組織方式

從教的角度看，便于教師圍繞本原性問題構(gòu)建大的空間。通過創(chuàng)設(shè)大問題、提煉大環(huán)節(jié)、構(gòu)建大空間培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)意識(shí)，有利于學(xué)生以開放、多維的方式探索未知，改變教師過度牽引、學(xué)生被動(dòng)接受的課堂教學(xué)現(xiàn)狀。從學(xué)的角度看，本原性問題給學(xué)生的獨(dú)立思考與主動(dòng)探究留下了空間，為思維發(fā)展提供了更大的張力。因此，以本原性問題為導(dǎo)向的教學(xué)，既是教師從學(xué)科教學(xué)走向?qū)W科教育、從主題教學(xué)走向核心素養(yǎng)培育的關(guān)鍵，也是學(xué)生從淺層學(xué)習(xí)走向深度學(xué)習(xí)、從“被動(dòng)認(rèn)知”走向“主動(dòng)建構(gòu)”的重要路徑。

2.促進(jìn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)走向深刻

深度學(xué)習(xí)是學(xué)習(xí)者主動(dòng)探索、辨別、加工和建構(gòu)知識(shí)的學(xué)習(xí)過程，其核心要義包含關(guān)聯(lián)性（知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系）、過程性（學(xué)生參與的時(shí)間和空間）和開放性（學(xué)生的真實(shí)表現(xiàn)），突出深度思辨的思維指向。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不應(yīng)停留于日常經(jīng)驗(yàn)、直觀感知的“淺層活動(dòng)”，而應(yīng)深入研究知識(shí)內(nèi)涵，實(shí)現(xiàn)深度思考。在本原性問題引領(lǐng)下，學(xué)生沉浸于相應(yīng)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)，深入知識(shí)意義內(nèi)核進(jìn)行深度學(xué)習(xí)。學(xué)生拾階而上，思考得更清晰、更全面、更合理、更深刻，從而真正讓學(xué)生學(xué)會(huì)、學(xué)活、學(xué)深。

3.促進(jìn)核心素養(yǎng)落地生根

從知識(shí)維度看，本原性問題重視學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解，數(shù)學(xué)思想方法的把握，數(shù)學(xué)思維的感悟等，是學(xué)生知識(shí)學(xué)習(xí)和能力發(fā)展的助推器。從思維維度看，本原性問題構(gòu)建了一個(gè)問題思維“場(chǎng)”，把學(xué)習(xí)的內(nèi)容融入思維空間更廣、強(qiáng)度更高的活動(dòng)中，確保學(xué)生思維發(fā)展的“力度”。從情感維度看，本原性問題設(shè)置讓學(xué)生直面問題的復(fù)雜、多元、真實(shí)性和挑戰(zhàn)性，不僅滿足了學(xué)生的探究欲望，而且增強(qiáng)了學(xué)生學(xué)習(xí)的信心和動(dòng)力，還幫助學(xué)生產(chǎn)生了積極的數(shù)學(xué)情感和態(tài)度。從問題解決維度看，以本原性問題為引領(lǐng)的教學(xué)，立足于真實(shí)情境的問題解決，通過觀察、比較、分析、推理、抽象、概括等方式去作深入的思考，直到問題解決，這一過程是發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的重要路徑。本原性問題引領(lǐng)的教學(xué)，為核心素養(yǎng)的落地生根提供了最為通暢的路徑，促使數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培育從理念走向行動(dòng)。

三、本原性問題的設(shè)計(jì)策略

本原性問題的設(shè)置、提煉既是一門科學(xué)，也是一門藝術(shù)，涉及教學(xué)內(nèi)容、學(xué)生、教師自身的數(shù)學(xué)理解以及對(duì)教學(xué)實(shí)踐的認(rèn)識(shí)等諸多要素，是教師專業(yè)素養(yǎng)和實(shí)踐智慧的集中反映。筆者認(rèn)為，教師提煉本原性問題時(shí)，需要提升站位，基于學(xué)生，整體把握。

1.整體把握，在知識(shí)關(guān)聯(lián)處生長(zhǎng)本原性問題

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容本就是一個(gè)整體。雖然教材編寫和教學(xué)的分課時(shí)推進(jìn)讓這個(gè)整體變得“斷裂且隱蔽”，但稍有經(jīng)驗(yàn)的教師都會(huì)關(guān)注教材的前后聯(lián)系，注意按照知識(shí)內(nèi)在的順序展開教學(xué)。教學(xué)中，教師要用全方位、立體化的視角去研究教材，從整體上把握每一節(jié)課的完整思路和理念框架，了解它在板塊中的地位、意義、作用，準(zhǔn)確把握知識(shí)體系尤其是其內(nèi)部邏輯聯(lián)系。只有把教材的縱橫聯(lián)系摸清讀透，才能從靜態(tài)的教材中領(lǐng)悟出能讓學(xué)生參與其中的動(dòng)態(tài)的教學(xué)活動(dòng)，設(shè)計(jì)出凸顯知識(shí)前后聯(lián)系的板塊式教學(xué)過程，提煉出針對(duì)性強(qiáng)、引領(lǐng)全課的本原性問題。

如，教學(xué)“真分?jǐn)?shù)和假分?jǐn)?shù)”時(shí)，假分?jǐn)?shù)的意義一直是學(xué)生認(rèn)的知盲區(qū)。如果只從表面解讀教材，就很難引發(fā)學(xué)生深層思考，也就無法引領(lǐng)學(xué)生理解“真分?jǐn)?shù)和假分?jǐn)?shù)”的本質(zhì)。基于此，教師可以以分?jǐn)?shù)單位為新知生長(zhǎng)點(diǎn)，將“真分?jǐn)?shù)和假分?jǐn)?shù)之間的聯(lián)系”作為這節(jié)課的本原性問題，圍繞本原性問題設(shè)計(jì)“每個(gè)分?jǐn)?shù)里各有幾個(gè)？5個(gè)是幾分之幾？”“、、里各有幾個(gè)？需要幾個(gè)同樣的圓才能表示？”“可以把這些分?jǐn)?shù)分成幾類？你的分類標(biāo)準(zhǔn)是什么？”等問題串，促使學(xué)生去思考真分?jǐn)?shù)和假分?jǐn)?shù)的內(nèi)涵，進(jìn)而很自然地抽象出“數(shù)”，生成合情合理的解釋：其實(shí)是整數(shù)1，是1和合成的數(shù)，所以它們不是真分?jǐn)?shù)。

筆者認(rèn)為，設(shè)計(jì)出有利于學(xué)生整體認(rèn)知、整體建構(gòu)的本原性問題時(shí)，不僅能夠還原數(shù)學(xué)本來的面目，學(xué)生從“知其然”走向“知其所以然”，更重要的是能夠帶給學(xué)生“全局”眼光和系統(tǒng)思維，這顯然有利于發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

2.基于經(jīng)驗(yàn)，在經(jīng)驗(yàn)斷層處設(shè)置本原性問題

美國(guó)教育家杜威認(rèn)為：“教育是一個(gè)在經(jīng)驗(yàn)中不斷發(fā)展的過程?！毙W(xué)生的學(xué)習(xí)過程是一個(gè)激活、利用、調(diào)整和促進(jìn)經(jīng)驗(yàn)提升的過程，是“自己對(duì)生活現(xiàn)象的解釋”和“基于經(jīng)驗(yàn)的積極建構(gòu)過程”。本原性問題的設(shè)置，不但要理解教材，更要研究學(xué)生，更應(yīng)基于學(xué)生經(jīng)驗(yàn)的視角設(shè)計(jì)教學(xué)。教師只有對(duì)“學(xué)什么”“學(xué)生的真實(shí)起點(diǎn)在哪里”“認(rèn)知困惑是什么”“怎么學(xué)”等問題有了清晰、準(zhǔn)確、深刻把握的基礎(chǔ)上，所設(shè)置的本原性問題才能具有挑戰(zhàn)性（即形成認(rèn)知沖突）、啟發(fā)性（即引發(fā)數(shù)學(xué)思考）和可接受性（即處于學(xué)生認(rèn)知的“最近發(fā)展區(qū)”），才能真正彌合認(rèn)知目標(biāo)與學(xué)生學(xué)習(xí)需要之間的差距，激發(fā)學(xué)生積極參與數(shù)學(xué)活動(dòng)，推動(dòng)學(xué)生從現(xiàn)有的認(rèn)知水平向更高的認(rèn)知水平邁進(jìn)。

如教學(xué)“時(shí)、分的認(rèn)識(shí)”時(shí)，學(xué)生從小就非常熟悉鐘表，有較為豐富的認(rèn)鐘表、看時(shí)間的經(jīng)驗(yàn)，對(duì)時(shí)、分的認(rèn)識(shí)不是一片空白。但是，學(xué)生讀出鐘表上的時(shí)間，需要看出“分針?biāo)傅目潭葘?duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)”，這有一定的困難。站在本原性問題設(shè)計(jì)的角度，可以這樣處理：“今天我們學(xué)習(xí)鐘面的有關(guān)知識(shí)，你對(duì)鐘面有哪些了解？”當(dāng)學(xué)生答出鐘面上有12個(gè)數(shù)，我能認(rèn)識(shí)幾時(shí)，鐘面上有兩根長(zhǎng)短不同的針，便可提出本原性問題：“如何認(rèn)出鐘面上的幾時(shí)幾分呢？”這一問題的設(shè)計(jì)既基于學(xué)生已有的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，又很好地設(shè)置了認(rèn)知沖突。學(xué)生在“如何認(rèn)識(shí)幾時(shí)幾分”這一本原性問題的引領(lǐng)下，觀察鐘面就有了思維的方向。教學(xué)認(rèn)識(shí)幾時(shí)、幾分以及時(shí)、分的關(guān)系時(shí)，圍繞以下幾個(gè)問題動(dòng)態(tài)演示時(shí)針和分針走的過程展開：（1）時(shí)針從12走到1是幾小時(shí)？從12走到2呢？從3走到8呢？你發(fā)現(xiàn)了什么？（2）分針從12走到1，經(jīng)過了多少小格，是多少分？從12走到3呢？從12走到6呢？你發(fā)現(xiàn)了什么？（3）當(dāng)分針從12走了一圈回到12，經(jīng)過了多少小格，是多少分呢？分針走1圈，時(shí)針走了幾小時(shí)？你有什么想說的？

通過幾何畫板動(dòng)態(tài)演示時(shí)針和分針走的過程，能夠讓學(xué)生直觀地看到鐘面上經(jīng)過幾時(shí)、幾分，以及時(shí)、分之間的關(guān)系，從而在整體上把握時(shí)、分之間的內(nèi)在聯(lián)系。美國(guó)教育心理學(xué)家奧蘇伯爾認(rèn)為，影響學(xué)習(xí)的唯一最重要的因素，就是學(xué)習(xí)者已經(jīng)知道了什么?！耙呀?jīng)知道了什么”即兒童的已有經(jīng)驗(yàn)和已有知識(shí)?？梢姡敖?jīng)驗(yàn)”是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要資源。本原性問題正是基于學(xué)生的已有“經(jīng)驗(yàn)”，引導(dǎo)學(xué)生從經(jīng)歷和體驗(yàn)中學(xué)習(xí)，從而有效促進(jìn)學(xué)生的深度理解性學(xué)習(xí);幫助教師改變自己的教學(xué)方式，從而讓教學(xué)更有方向、更有條理、更加順暢、更具活力。

3.讓學(xué)引思，在思維創(chuàng)生中整合本原性問題

《禮記·中庸》記載：“博學(xué)之，審問之，慎思之，明辨之，篤行之?！笨梢?，“學(xué)、問、思、辨、行”是學(xué)習(xí)的重要方式與路徑?！皢柶鹩谝?，疑起于思?！睌?shù)學(xué)學(xué)習(xí)就是“從無疑到疑，再由疑到無疑”的矛盾運(yùn)動(dòng)過程，是一個(gè)不斷明辨、慎思的過程。本原性問題設(shè)計(jì)以“是什么、怎么樣、為什么、還有什么”為主線，整體把握學(xué)習(xí)路徑，引領(lǐng)學(xué)生從整體的角度對(duì)事物進(jìn)行分析、推理和判斷，辨析事物的情境、范疇和原理，努力形成系統(tǒng)性思維。

如，教學(xué)“正比例的意義”時(shí)，“相關(guān)聯(lián)的量”和“比值一定”是本課兩個(gè)本原性問題，是學(xué)生思維的引爆點(diǎn)，是課堂推進(jìn)的原動(dòng)力。教學(xué)應(yīng)始終圍繞這兩個(gè)本原問題展開。教學(xué)中，為引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)行程問題中變量與不變量之間的關(guān)系，教師可以圍繞以下問題展開教學(xué)：

一輛汽車在公路上行駛，行駛的時(shí)間和路程如下表：

問題1：觀察表中的數(shù)據(jù)，你有什么發(fā)現(xiàn)？路程和時(shí)間是相關(guān)聯(lián)的量嗎？它們的變化有什么共同點(diǎn)？表格中兩個(gè)省略號(hào)可以表示什么？

問題2：你能寫幾組相對(duì)應(yīng)的路程和時(shí)間的比，并求出比值嗎？比值80表示什么？

問題3：像這樣的式子寫得完嗎？如果用一個(gè)式子來概括這些算式，該怎樣寫？

本原問題是統(tǒng)整全課的大問題，它需要一系列的關(guān)鍵性問題來支撐。教師借助幾個(gè)關(guān)鍵性的問題，讓學(xué)生充分經(jīng)歷數(shù)據(jù)的變化過程，體會(huì)變化中的不變，為正比例的意義求解。首先是指向關(guān)聯(lián)的問題，促使學(xué)生發(fā)現(xiàn)時(shí)間和路程之間的變化規(guī)律，即時(shí)間擴(kuò)大幾倍，路程也隨之?dāng)U大幾倍;其次是指向比值的問題，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)變化中的不變，即速度始終是一定的，并歸納出數(shù)量關(guān)系式;再次是指向數(shù)形關(guān)系的問題，幫助學(xué)生建立成正比例的兩種量的表象;最后是指向判斷的問題，讓學(xué)生自學(xué)課本，弄清路程和時(shí)間成正比例的兩個(gè)必要條件。本原性問題教學(xué)就是循著“是什么、怎么樣、為什么、還有什么”的思辨之路，引導(dǎo)學(xué)生在有序觀察中探尋特征，在例證比較中洞察關(guān)系，在動(dòng)態(tài)轉(zhuǎn)化中把握本質(zhì)，在發(fā)散聯(lián)想中尋求創(chuàng)生，在解決問題中增長(zhǎng)智慧。

4.探本溯源，在知識(shí)內(nèi)核處提煉本原性問題

數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)核是指數(shù)學(xué)核心概念，表現(xiàn)為隱藏在客觀事物背后的數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)規(guī)律，以及隱藏在數(shù)學(xué)知識(shí)背后的思想和方法。因此，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)把握好數(shù)學(xué)邏輯、內(nèi)容本質(zhì)、認(rèn)知方式三個(gè)基本要素，透過知識(shí)表層設(shè)計(jì)本原性問題，引導(dǎo)學(xué)生思維深度卷入，將“冰冷的美麗”變成“火熱的思考”，實(shí)現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展在順其自然中由表及里，逐步向縱深發(fā)展。幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念，把握數(shù)學(xué)思想，感悟數(shù)學(xué)思維，鑒賞數(shù)學(xué)之美，追求數(shù)學(xué)精神。

如，教學(xué)“用數(shù)對(duì)確定位置”時(shí)，本質(zhì)是一個(gè)數(shù)對(duì)與平面上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)，是學(xué)生學(xué)習(xí)平面直角坐標(biāo)系的基礎(chǔ)。教學(xué)時(shí)，教師可以將“如何用數(shù)對(duì)確定位置”確定為本原性問題，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從“物體位置”到“點(diǎn)的位置”、從“確定位置”到“刻畫特征”、從“數(shù)學(xué)表達(dá)”到“生活應(yīng)用”的過程。

1.教學(xué)用數(shù)對(duì)表示平面圖上的位置（例1）

（1）我們?cè)撛鯓觼砻枋鲂≤姷奈恢媚兀?/p>

（2）你能用“列”和“行”描述一下小軍的位置嗎？

（3）如果用簡(jiǎn)潔的方式表示“第幾列第幾行”，小軍的位置可以怎么描述？

（4）小軍的位置用數(shù)對(duì)如何描述？

（5）（2，4）、（4，2）這兩個(gè)數(shù)對(duì)一樣嗎？同樣都用到了2和4，為什么卻表示兩個(gè)不同的位置？那么，數(shù)對(duì)中兩個(gè)數(shù)字的順序能隨便調(diào)換嗎？

2.教學(xué)用數(shù)對(duì)的方法在方格圖上確定位置（例2）

（1）這是一張公園的平面圖，你能用數(shù)對(duì)表示出各個(gè)景點(diǎn)的位置嗎？

（2）（給它加上一個(gè)網(wǎng)格）現(xiàn)在你還能用數(shù)對(duì)確定各個(gè)景點(diǎn)的位置嗎？

（3）兒童樂園的位置是由哪兩條線決定的？假山呢？

（4）在方格圖上，你還能根據(jù)數(shù)對(duì)找到對(duì)應(yīng)的點(diǎn)嗎？這兒有三個(gè)數(shù)對(duì)，請(qǐng)找到對(duì)應(yīng)的點(diǎn)并標(biāo)上數(shù)對(duì)。出示數(shù)對(duì)：（1，5）、（3，3）、（4，2）。

（5）把這三個(gè)點(diǎn)用線連起來，你發(fā)現(xiàn)了什么？

（6）觀察這些數(shù)對(duì)，你有什么發(fā)現(xiàn)？（2，4）和（2，3）這兩個(gè)數(shù)對(duì)表示的點(diǎn)，哪個(gè)點(diǎn)會(huì)在這條直線上？

……

不論是用數(shù)對(duì)表示平面圖上的位置，還是在方格圖上確定位置，“如何用數(shù)對(duì)確定位置”本原性問題像燈塔一樣指引著學(xué)生思考的方向，引導(dǎo)學(xué)生通過思維的交流與碰撞，把握學(xué)科本質(zhì)，體會(huì)思維之美、理性之趣。學(xué)生由“第幾排第幾個(gè)”到“第幾列第幾行”，再到用數(shù)對(duì)的方法確定“點(diǎn)子圖上”點(diǎn)的位置，在圖例不斷抽象、方法不斷簡(jiǎn)化的過程中初步感受坐標(biāo)思想的本質(zhì)。通過在方格圖上用數(shù)對(duì)確定位置的辨析、比較，感受平面直角坐標(biāo)系的本質(zhì)思想。這正好與笛卡爾思考的“如何實(shí)現(xiàn)點(diǎn)與數(shù)的對(duì)應(yīng)”這個(gè)問題一致。把建立坐標(biāo)系替換成制定規(guī)則，從規(guī)則中分解出坐標(biāo)系的要素讓學(xué)生體會(huì)，在最重要、最本質(zhì)的問題上做文章，讓學(xué)生經(jīng)歷著類似笛卡爾那樣的思考，這才是讓學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)并建構(gòu)的數(shù)學(xué)知識(shí)。

教學(xué)中，教師應(yīng)該把握問題的內(nèi)核，提煉高質(zhì)量的本原性問題，引導(dǎo)學(xué)生找到適切的學(xué)習(xí)路徑，促進(jìn)學(xué)生核心素養(yǎng)的提升。追求以本原性問題為導(dǎo)向的數(shù)學(xué)教學(xué)，就是期許數(shù)學(xué)課堂從關(guān)注教師的教轉(zhuǎn)向關(guān)注學(xué)生的學(xué)，期許課堂提問從“小步子”走向“大問題”，期許課堂教學(xué)從“知識(shí)導(dǎo)向”走向“素養(yǎng)導(dǎo)向”。善于運(yùn)用本原性問題引領(lǐng)教學(xué)，教學(xué)內(nèi)容才會(huì)“精”，教學(xué)環(huán)節(jié)才會(huì)“簡(jiǎn)”，教學(xué)方式才會(huì)“活”，學(xué)習(xí)效果才會(huì)“實(shí)”！