許柱 陳生茹

[摘 要]說課在一定程度上能夠反映授課教師的教育教學(xué)理論素養(yǎng)和教科研水平.文章由“一道題”的說課引發(fā)了思考：尺規(guī)作圖也需要“守規(guī)矩”，并以有限次運(yùn)用標(biāo)準(zhǔn)中規(guī)定的尺規(guī)作圖的五個(gè)基本方法進(jìn)行解法展示.

[關(guān)鍵詞]說課;試題;尺規(guī)作圖

[中圖分類號(hào)]? ? G633.6? ? ? ? [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]? ? A? ? ? ? [文章編號(hào)]? ? 1674-6058（2021）35-0010-03

說課，是指授課教師面對同行或評(píng)委，在充分備課的基礎(chǔ)上，系統(tǒng)地說出自己的教學(xué)設(shè)計(jì)及其理論依據(jù).說課在一定程度上能夠反映授課教師的教育教學(xué)理論素養(yǎng)和教科研水平.2021年4月，筆者有幸成為泗洪縣第七屆（兩年一次）“推新人”大賽活動(dòng)第四輪（即說課）的評(píng)委，此次說課的重點(diǎn)是說解題，即從給定的六道數(shù)學(xué)題中抽取一道進(jìn)行說課.以下是筆者對“一道題”的說課的觀察與思考.

一、 試題呈現(xiàn)

已知：⊙[O1]的半徑[r=3]，⊙[O2]的半徑[R=8]，[O1O2=13].

（1）如圖1，若直線[l]與⊙[O1]相切于點(diǎn)A，與⊙[O2]相切于點(diǎn)B，求[AB]的長;

（2）尺規(guī)作圖：在圖2中作一條直線[l]，使它與⊙[O1]和⊙[O2]都相切，且⊙[O1]和⊙[O2]都在直線[l]的同一側(cè).（保留作圖痕跡，簡要寫出作法，不需證明）

二、解法展示

本次活動(dòng)中，“說解題”主要是由授課教師在相對封閉的環(huán)境中限時(shí)獨(dú)立思考，展示解題思路.以下是部分參賽選手給出的第（2）小題的幾種解題思路.

作法一：（如圖3）

1.以[O1]為圓心，12為半徑作弧.

2.以[O2]為圓心，5為半徑作弧，交前弧于點(diǎn)[B].

3.作射線[O2B]交圓[O2]于點(diǎn)[D].

4.過點(diǎn)[D]作[O2D]的垂線，交圓[O1]于點(diǎn)[E].

直線[DE]就是所求作的直線.（同理可以作出符合條件的另一條直線）

作法二：（如圖4）

1.以[O1][O2]為直徑作圓A.

2.以[O2]為圓心，以5為半徑作弧，交圓A于點(diǎn)B.

3.作射線[O2B]交圓[O2]于點(diǎn)[D].

4.過點(diǎn)[D]作[O2D]的垂線，交圓[O1]于點(diǎn)[E].（以下步驟同作法一）

作法三：（如圖5）

1.以[O1][O2]為直徑作圓[A].

2.以[O2]為圓心，以5為半徑作弧，交圓[A]于點(diǎn)[B].

3.作射線[O2B]交圓[O2]于點(diǎn)[D].

4.過點(diǎn)[D]作[O1B]的平行線，交圓[O1]于點(diǎn)[E].（以下步驟同作法一）

作法四：（如圖6）

1.以[O1]為圓心，[395]為半徑作弧，交射線[O2][O1]于點(diǎn)[B].

2.以[O1B]為直徑作圓，交圓[O1]于點(diǎn)[C]、[D].

3.作射線[BC]、[BD]交圓[O2]于點(diǎn)[E]、[F].

直線[BE]、[BF]就是所求作的直線.

作法五：（如圖7）

1.以[O1][O2]為直徑作圓[A].

2.以[O2]為圓心，[R-r]為半徑作弧，交圓[A]于點(diǎn)[B].

3.作射線[O2B]交圓[O2]于點(diǎn)[D].

4.過點(diǎn)[D]作[O2D]的垂線，交圓[O1]于點(diǎn)[E].（以下步驟同作法一）

三、“說解題”活動(dòng)的思考

1.尺規(guī)作圖需要“守規(guī)矩”

習(xí)近平總書記曾提出“治理一個(gè)國家、一個(gè)社會(huì)，關(guān)鍵是要立規(guī)矩、講規(guī)矩、守規(guī)矩”.尺規(guī)作圖是指用無刻度的直尺和圓規(guī)作圖，顯然，尺規(guī)作圖也需要“守規(guī)矩”——有限次運(yùn)用標(biāo)準(zhǔn)中規(guī)定的尺規(guī)作圖的五個(gè)基本作圖法.

作法一：在利用第（1）小題中的數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，結(jié)合題目條件逆向使用數(shù)據(jù)進(jìn)行作圖，類比得出分別以[O1]、[O2]為圓心，12、5為半徑作弧.12和5容易計(jì)算出來，難點(diǎn)是尺規(guī)作圖需使用“標(biāo)準(zhǔn)”中規(guī)定的五個(gè)基本作圖法，顯然5可以利用作同心圓得出，那么直接用12為半徑作弧是不“守規(guī)矩”的作法.作法四：看似簡單，但線段[395]不容易用尺規(guī)作圖去獲得，故以[395]為半徑作弧也是不“守規(guī)矩”的作法.

既然5可以通過作同心圓得出，那么作法二和作法一、作法四比較，作法二更趨于合理，所有的步驟都使用“標(biāo)準(zhǔn)”中的五個(gè)基本作圖法.作法三和作法二比較，只有最后一步不同，作法三是過點(diǎn)[D]作[O1B]的平行線，交圓[O1]于點(diǎn)[E]，作法二是過點(diǎn)[D]作[O2D]的垂線，交圓[O1]于點(diǎn)[E]，這一步方法的不同，更能考查參賽選手對于“標(biāo)準(zhǔn)”的課程內(nèi)容的設(shè)置要求的了解程度.過一點(diǎn)作已知直線的垂線是“標(biāo)準(zhǔn)”中規(guī)定的五個(gè)基本作圖法之一.對于過直線外一點(diǎn)作已知直線的平行線，“標(biāo)準(zhǔn)”要求較低，不屬于尺規(guī)作圖規(guī)定的五個(gè)基本作圖法.由此可以看出，展示作法三的參賽選手沒有弄清“標(biāo)準(zhǔn)”中規(guī)定的五個(gè)基本作圖法.從這個(gè)角度來看，作法二優(yōu)于作法三.作法五更具有一般性，從第一步到最后一步，每一步都嚴(yán)格按照五個(gè)基本作圖法去找點(diǎn)，與前面幾種方法相比較是最“守規(guī)矩”的通用作圖法，這種通用作圖法的獲得是建立在對“不守規(guī)矩”的作法一、作法三、作法四以及“守規(guī)矩”的作法二的總結(jié)反思、歸納思辨基礎(chǔ)上的.

2.講解題不等于說解題

“說解題”是說課的一種特殊形式，比賽中，很多參賽選手只說解題的過程，沒有說試題命制背景、考查目的、學(xué)法指導(dǎo)（解題思路、題目滲透的思想方法）等.解題固然重要，但它只是“說解題”的一個(gè)環(huán)節(jié)，所以“說解題”還應(yīng)與說一節(jié)完整課的形式一樣.

3.教學(xué)預(yù)設(shè)需要“再創(chuàng)造”

教學(xué)“預(yù)設(shè)”指的是教師對給定教學(xué)內(nèi)容的理解、鉆研和再創(chuàng)造，說課也體現(xiàn)了教師對教學(xué)過程的“預(yù)設(shè)”.本次說課多數(shù)參賽選手能說出1～2種解法，但很少有參賽選手對解法中“不守規(guī)矩”的作圖進(jìn)行辨析，由此可見，參賽選手沒有對所給內(nèi)容進(jìn)行充分理解和鉆研，因此無法對所給內(nèi)容進(jìn)行“再創(chuàng)造”，從而顯得教學(xué)“預(yù)設(shè)”不充分.教師在“說解題”的過程中“預(yù)設(shè)”找到“守規(guī)矩”的作法五的通法后，再引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行反思或猜想：可否作一條直線l，使它與⊙[O1]和⊙[O2]都相切，且⊙[O1]和⊙[O2]在直線[l]的兩側(cè)？類比作法五可得到作法六（如圖8）：

1.以[O1][O2]為直徑作圓[A].

2.以[O2]為圓心，[R+r]為半徑作弧，交圓[A]于點(diǎn)[B].

3.連接[O2B]，交圓[O2]于點(diǎn)[D].

4.過點(diǎn)[D]作[O2B]的垂線，交圓[O1]于點(diǎn)[E].（以下步驟同作法一）

以上，通過類比第（2）小題，即作一條直線[l]，使它與⊙[O1]和⊙[O2]都相切，且⊙[O1]和⊙[O2]都在直線[l]的同一側(cè)，“預(yù)設(shè)”是否能作一條直線[l]，使它與⊙[O1]和⊙[O2]都相切，且⊙[O1]和⊙[O2]都在直線[l]的兩側(cè)，引導(dǎo)學(xué)生思考，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，這樣才能體現(xiàn)教師對教學(xué)內(nèi)容的“再創(chuàng)造”.

四、試題命制的反思

1.試題命制要呈現(xiàn)已有數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)

在不斷學(xué)習(xí)中，學(xué)生前面所積累的數(shù)學(xué)知識(shí)和方法就成為學(xué)生的“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”.這些數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)，主要包含學(xué)生已有的知識(shí)、技能和經(jīng)驗(yàn)方法，它們應(yīng)當(dāng)成為學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)和解決新問題的基礎(chǔ)和素材.教材中呈現(xiàn)的內(nèi)容也是試題命制的“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”.人教版教材九年級(jí)上冊第103頁《圓和圓的位置關(guān)系》以實(shí)驗(yàn)與探究的形式呈現(xiàn)，蘇科版教材九年級(jí)上冊第75頁和華師版教材第57頁以閱讀材料的形式呈現(xiàn)，而在該試題中解決第（1）小題的知識(shí)和方法成為學(xué)生解決第（2）小題的“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”，體現(xiàn)了試題命制從熟悉問題（教材）到關(guān)聯(lián)問題（試題第（1）小題）再到綜合問題第（2）小題的思路.

2.試題命制要引導(dǎo)教學(xué)關(guān)注教材

好題源于教材，教材是把頂層設(shè)計(jì)的“標(biāo)準(zhǔn)”落地生根的載體，是各類考題、說課的最大資源庫，各類中考、高考試題的命制都是“源于教材，高于教材”.本題也是蘇科版教材第75頁《圓與圓的位置關(guān)系》的選學(xué)內(nèi)容的一個(gè)延續(xù).通過平時(shí)的課堂教學(xué)觀察可以發(fā)現(xiàn)，很多初中數(shù)學(xué)教師對課本例題、習(xí)題的教學(xué)不夠重視，而例題是習(xí)題的基礎(chǔ)示范，習(xí)題則是例題的遷移、鞏固、變式.數(shù)學(xué)教材中的例題、習(xí)題都是專家經(jīng)過多次修訂、反復(fù)打磨而成的，其中的每一道例題、習(xí)題都具有代表性，體現(xiàn)了一定的數(shù)學(xué)思想方法.那么如何通過試題的命制，引導(dǎo)師生關(guān)注教材？試題第（1）小題考查學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)、技能的掌握和運(yùn)用，相對應(yīng)教材中的例題，解第（1）小題時(shí)能自然地聯(lián)想到遇切點(diǎn)連半徑的基本思路，構(gòu)造出直角梯形，過點(diǎn)[O1]作[O2B]垂線，化未知（直角梯形）為已知（直角三角形和矩形）進(jìn)行研究，最終使問題得以解決.試題中的第（2）小題則是第（1）小題的遷移、鞏固、變式，相當(dāng)于教材中的習(xí)題.在理解第（1）小題的基礎(chǔ)上逆向思考第（2）小題的解題思路，先要構(gòu)造直角三角形，根據(jù)直徑[O1][O2]所對的圓周角是90°作圓和以[O2]為圓心，[R-r]為半徑作弧找到[O2]上的關(guān)鍵點(diǎn)[D]，根據(jù)兩平行線之間的距離相等，作[O2D]的垂線，再依據(jù)圓心[O1]到直線的距離[d]等于半徑[r]，直線與圓相切，最后作出滿足條件的兩條直線.

3.試題命制要考查學(xué)生核心素養(yǎng)

喻平教授曾提出：從知識(shí)的理解到知識(shí)的遷移，再到知識(shí)的創(chuàng)新才能發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).本題從第（1）小題到第（2）小題是知識(shí)的理解到知識(shí)的遷移的過程，第（2）小題的作法一至作法四利用數(shù)據(jù)5、12、[395]“不守規(guī)矩”作圖，是受第（1）小題負(fù)遷移的影響.從解決第（2）小題的思路分析，先構(gòu)造直角三角形，再構(gòu)造矩形，最終得到符合條件的直線，體現(xiàn)了知識(shí)正遷移.如果從畫圖而非尺規(guī)作圖的角度看，第（2）小題的作法一至作法四也體現(xiàn)了知識(shí)正遷移，如學(xué)生在解題中能夠想到通過數(shù)據(jù)5、12、13可以構(gòu)造直角三角形，但數(shù)據(jù)12卻不容易通過尺規(guī)作圖獲得，因?yàn)槌咭?guī)作圖要“講規(guī)矩”.最后通過思辨，可知要“講規(guī)矩”，只能以[O1][O2]為直徑作圓，以[O2]為圓心，由以8-3為半徑（特殊）到以[R-r]為半徑（一般）作圓，“守規(guī)矩”作圖得出作法五，真正實(shí)現(xiàn)了培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的目標(biāo).

新一輪義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)修訂即將實(shí)施，我們的試題命制應(yīng)實(shí)現(xiàn)知識(shí)目標(biāo)到素養(yǎng)目標(biāo)的轉(zhuǎn)型，從客觀主義到建構(gòu)主義的位移，從淺層學(xué)習(xí)到深度學(xué)習(xí)的過渡，最終實(shí)現(xiàn)對學(xué)生知識(shí)評(píng)價(jià)到能力評(píng)價(jià)的變革.

[? ?參? ?考? ?文? ?獻(xiàn)? ?]

[1]? 刁成海.說解題：一種別開生面的說課[J].中小學(xué)教學(xué)研究，2012（1）：23-24.

[2] 中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

[3]? 喻平.數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)評(píng)價(jià)的一個(gè)框架[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2017（2）：19-23，59.

[4]? 吳立寶，洪夢，王富英.數(shù)學(xué)教科書例、習(xí)題的關(guān)系研究[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2021（8）：75-78.

[5]? 馬小為.“長期主義”與專業(yè)成長[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2021（1）：1-2.

（責(zé)任編輯 陳 昕）