測電源電動勢和內(nèi)阻實驗誤差分析及拓展

謝雯婷 唐柏忠

[摘 要]測定電源電動勢和內(nèi)阻是高中物理的重要實驗，其誤差分析是教學(xué)難點。文章用數(shù)學(xué)計算法、圖像修正法、數(shù)形結(jié)合法、等效替代法分別進行誤差分析，通過比較又進行了教學(xué)拓展，并著重介紹數(shù)形結(jié)合法解決物理問題。

[關(guān)鍵詞]誤差分析;內(nèi)接法;外接法;數(shù)形結(jié)合

[中圖分類號]? ? G633.7? ? ? ? [文獻標識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2021）35-0059-02

一、教學(xué)背景

2020年浙江省7月選考電學(xué)實驗題（已簡化）：某同學(xué)分別用圖1甲和圖1乙的電路測量同一節(jié)干電池的電動勢和內(nèi)阻。

（1）實驗得到如圖2所示的兩條[U-I]圖線，圖中直線Ⅰ對應(yīng)電路是圖1? ? ? ? ? ?（選填“甲”或“乙”）。

（2）該電池的電動勢? ? ? ? ? ?V（保留三位有效數(shù)字），內(nèi)阻? ? ? ? ? ?Ω（保留兩位有效數(shù)字）。

本題不僅考查了學(xué)生對測電源電動勢和內(nèi)阻實驗的方法、原理及圖像處理方法的掌握情況，而且檢驗了學(xué)生的誤差分析能力。那么如何進行誤差分析呢？本文用數(shù)學(xué)計算法、圖像修正法、數(shù)形結(jié)合法、等效替代法，分別分析電流表內(nèi)接和外接時對電動勢和內(nèi)阻測量結(jié)果造成的系統(tǒng)誤差，并進行方法拓展。

二、誤差分析

圖1甲為內(nèi)接法測量電路，圖1乙為外接法測量電路。若不考慮電表電阻的影響，假設(shè)測量的兩組數(shù)據(jù)為（[U1， I1]）、（[U2， I2]），根據(jù)閉合電路歐姆定律列方程為：[E測=U1+I1r測]，[E測=U2+I2r測]①解得：[E測=（I1U2-I2U1）（I1-I2）]，[r測=（U2-U1）（I1-I2）]

（一）數(shù)學(xué)計算法

1.采用內(nèi)接法測量，考慮電流表和電壓表的內(nèi)阻，干路電流準確，路端電壓由于電流表的分壓而偏小，對兩次測量值進行修正，真實的路端電壓分別為：[U′1=U1+I1RA]，[U′2=U2+I2RA]。方程組①修正為：[E真=U1+I1RA+I1r真]，[E真=U2+I2RA+I2r真] ②

解得：[E真=I1U2-I2U1I1-I2=E測]，[r真=U1-U2I2-I1-RA=r測-RA]

于是得到：[E測=E真]，[r測=r真+RA]，測量值為[r]與[RA]的串聯(lián)電阻，由此判斷[E測]準確，[r測]偏大。

2.采用外接法，考慮電流表和電壓表的內(nèi)阻，路端電壓準確，干路電流由于電壓表分流作用偏小。對兩次測量值進行修正，真實的干路電流分別為：

[I′1=I1+U1RV]，[I′2=I2+U2RV]，這樣方程組①修正為：

[E真=U1+I′1r真]，[E真=U2+I′2r真] ③

類比方程①可解得：

[E真=I′1U2-I′2U1I′1-I′2]，[r真=U2-U1I′1-I′2]

[r真=U2-U1I′1-I′2=U2-U1I1-I2-U2-U1RV=r測RVRV-r測]

于是得到：[r測=RVr真RV+r真]，測量值為[r]與[RV]的并聯(lián)電阻，由此判斷[r測]偏小。

[E真=I′1U2-I′2U1I′1-I′2=I1+U1RVU2-I2+U2RVU1I1+U1RV-I2-U2RV]

[I1U2-I2U1I1-I2-（U2RV-U1RV）=E測1-r測RV=E測·RVRV-r測]

于是得到：[E測=（RV-r測）E真RV]，

將[r測=RV r真（RV+r真）]代入可得：[E測=] [RVE真（RV+r真）]，由此判斷[E測]偏小。

（二）圖像修正法

利用伏安法測量電源電動勢和內(nèi)阻，其路端電壓和電流的關(guān)系為[U=E-Ir]，其[U-I]圖像的[U]軸截距代表電動勢，直線斜率的絕對值代表內(nèi)阻。

1.采用內(nèi)接法測量，電流準確，由于電流表的分壓引起路端電壓測量值偏小，真實電壓為[U真=U+IRA]，由此對圖像進行修正：在同一[U-I]圖中，對應(yīng)同一電流值，電壓真實值對應(yīng)在實驗數(shù)據(jù)點的上方，比測量值大[IRA]。電流[I]越小，需修正的[IRA]越小，當電流為0時，修正的[IRA]也為零，電壓的真實值與實驗值重合。可得到修正后的真實圖線與實驗圖線如圖3中a與b所示。對比截距和斜率可得：[E測]準確，[r測]偏大。

2.采用外接法，路端電壓準確，由于電壓表的分流，測量的總電流偏小，真實值為[I真=I+URV]，由此對圖像進行修正：在同一[U-I]圖中，對應(yīng)同一電壓值，電流真實值對應(yīng)在實驗數(shù)據(jù)點的右方，比測量值大[URV]。路端電壓越小，需修正的[URV]越小，當路端電壓接近0時，修正的[URV]也為零，真實值與實驗值重合?？傻玫叫拚蟮恼鎸崍D線與實驗圖線如圖3中a與c所示。對比截距和斜率可得：[E測]偏小，[r測]偏小。

（三）數(shù)形結(jié)合法

1.采用內(nèi)接法測量，路端電壓與電流的關(guān)系：[U真=E真-Ir真]，由于電流表分壓，故有[U真=U+IRA]，代入并化簡可得：[U=E真-（r真+RA）?I]。結(jié)合[U-I]圖像可得，縱軸截距代表測量的電動勢[E測]，斜率的絕對值代表測量的內(nèi)阻[r測]，即[E測=E真]，[r測=r真+RA]，由此判斷[E測]準確，[r測]偏大。

2.采用外接法測量，路端電壓與電流的關(guān)系是：[U=E真-I真r真]，由于電壓表分流，故有[I真=I+URV]，代入可得：[U=E真-（I+URV）?r真]，化為[U-I]關(guān)系則有：[U=RVRV+r真E真-RV?r真RV+r真I]，結(jié)合[U-I]圖像可得，縱軸截距代表測量的電動勢[E測]，斜率的絕對值代表測量的內(nèi)阻[r測]，即[E測=RVRV+r真E真];[r測=RVRV+r真r真]，由此判斷[E測]偏小，[r測]偏小。

（四）等效替代法

閉合回路歐姆定律[E=U+Ir]中，[I]是流過電源的總電流，[U]是路端電壓。我們可以從電路中取一個等效電源，得到[E測=E等效]，[r測=r等效]。

1.采用內(nèi)接法測量，電流表測得的總電流準確，由于電流表的分壓，路端電壓的測量值偏小。若把電壓表測得的電壓看作路端電壓，就相當于把電流表當成電源內(nèi)部，電流表和電源等效為一個新的電源（圖1甲中虛線框內(nèi)），所以測得的內(nèi)阻是電源內(nèi)阻和電流表電阻的串聯(lián)電阻。可得[E測=E]，[r測=r+rA]，由此判斷[E測]準確，[r測]偏大。

2.采用外接法測量，路端電壓準確，由于電壓表的分流，總電流的測量值偏小。若把電流表測得電流看作總電流，就相當于把電壓表當成了電源內(nèi)部，電壓表和電源等效為一個新的電源（圖1乙中虛線框內(nèi)），所以測得的內(nèi)阻是電源內(nèi)阻和電壓表電阻的并聯(lián)電阻?？傻肹E測=Uab=IRV=RVRV+rE]，[r測=RV?rRV+r]，由此判斷[E測]偏小，[r測]偏小。

三、總結(jié)拓展

四種方法中，數(shù)學(xué)計算法計算繁雜、費時;圖像修正法簡潔明了，但只能定性分析，不能定量討論;等效替代法結(jié)論簡潔，但學(xué)生理解起來有一定難度;數(shù)形結(jié)合法思想方法簡潔明了，簡明易懂。數(shù)形結(jié)合法在其他方法測定電源電動勢和內(nèi)阻中也有很好的表現(xiàn)。

例題：有兩個電學(xué)元件，電阻箱R和手機中的鋰電池（電動勢[E]標稱值為3.7 V，允許最大放電電流為100 mA）。為測量鋰電池的電動勢E和內(nèi)阻r，設(shè)計了如圖4所示的電路圖。根據(jù)測量數(shù)據(jù)作出[1U-1R]圖像，如圖5所示。若該圖線的斜率為k，縱軸截距為b，則該鋰電池的電動勢[E=]? ? ? ? ?，內(nèi)阻[r=]? ? ? ? ?（用k、b和R表示）。

解析：由閉合電路歐姆定律得：[E=U+Ir=U+URr]，變形整理得：[1U=rE?1R+1E]，由[y=kx+b]可得：[k=rE]，[b=1E]，故電源電動勢[E=1b]，電源內(nèi)阻[r=kE=kb]。

綜上所述，在遇到類似的問題時，用數(shù)形結(jié)合法進行處理簡明易懂，只需結(jié)合題中的待測量列出合適的函數(shù)關(guān)系，找到函數(shù)圖像的斜率、截距等與待測量的關(guān)系，問題就迎刃而解了。

上述分析問題的思路，從學(xué)生實際出發(fā)，不僅有助于加深學(xué)生對物理規(guī)律的理解，同時還有利于培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)思維能力，提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力。

[? ?參? ?考? ?文? ?獻? ?]

[1]? 李莉，徐發(fā)林.巧用“圖像法”分析物理實驗誤差：以“測電源電動勢和內(nèi)阻”實驗誤差分析為例[J].中學(xué)物理教學(xué)參考，2019，48（12）：88-89

[2]? 潘華君.再議“測定電池的電動勢和內(nèi)阻”的誤差分析和優(yōu)化設(shè)計[J].中學(xué)物理教學(xué)參考，2012（10）：29-30.

[3]? 劉宗濤.席明納模式下高三物理復(fù)習(xí)課課堂實踐及探索：以“測定電源電動勢和內(nèi)阻實驗系統(tǒng)誤差分析”為例[J].物理教學(xué)，2019，41（1）：17-19.

[4]? 吳志山.用DIS探究“測定電池電動勢和內(nèi)阻”實驗問題[J].物理教師，2013，34（6）：66-68，71.

（責(zé)任編輯 易志毅）