張洪海，張濤，范薇，劉勇

(西北機電工程研究所，陜西 咸陽 712099)

軌道炮發(fā)射過程中，會在軌道上積累相當?shù)臒崃浚@些熱量對軌道炮身管壽命、炮口初速、身管動力學響應具有重要的影響。為避免持續(xù)的熱量累積加劇對身管的不利影響，通常需要配備相應的熱管理系統(tǒng)，較早期的工作參見文獻[1-2]。時至今日，基于有限元方法的軌道炮身管熱分析問題仍然沒有得到完美的解決。主要原因在于當前缺乏可直接用于軌道炮多場耦合分析的商業(yè)軟件，并且自研相關(guān)有限元(功能與EMAP3D[3-4]類似)仿真代碼的開發(fā)工作存在相當?shù)募夹g(shù)難度。EMAP3D本身可用于電磁-結(jié)構(gòu)-熱耦合分析，其流固耦合分析功能及基于EMAP3D的熱管理系統(tǒng)設計未見報道。

由于缺乏可以直接分析身管傳熱問題的有限元工具，導致當前軌道炮軌道瞬態(tài)溫升及求解問題被分為兩個步驟：首先對軌道進行分段，在每段的截面上應用解析法或有限元工具求解毫秒級發(fā)射過程為軌道帶來的溫升，從而避免滑動電接觸和樞軌接觸狀態(tài)的有限元建模問題[5-8]；以上一步獲得的結(jié)果作為初始值，將每段的結(jié)果分別(或經(jīng)過數(shù)值擬合)導入到傳熱分析軟件，用有限元法解熱擴散問題。通過應用上述求解步驟，研究人員已經(jīng)取得了一系列的研究成果，并且可以將分析結(jié)果用于軌道炮身管熱管理系統(tǒng)的論證與設計工作，其主要缺點是分段仿真和溫度載荷加載需要大量的軟件操作,這也是在全身管長度上軌道熱分析工作報道較少的原因之一。

為簡化熱管理系統(tǒng)作用下軌道的熱分析過程，筆者分析了軌道上的熱量分布及特點，通過分析銅軌道在身管徑向和軸向上的熱擴散規(guī)律，提出了幾個可以簡化軌道熱分析過程的物理假設并進行了討論。

1 軌道上的熱量組成

采用軌道分段的思路計算軌道炮內(nèi)彈道過程中軌道上的熱量，方法如下：

1)給定電樞位移、運動曲線x(t)、v(t)及軌道電流曲線i(t)；

2)將軌道沿軸向分為n段，記為{Xj|0

3)在考慮軌道體焦耳熱、接觸界面摩擦熱和接觸電阻焦耳熱的情況下，計算每段的溫升。

(1)

Xj段內(nèi)的溫升為

(2)

式中：mj為軌道段質(zhì)量；γ為材料比熱容。

1.1 軌道體焦耳熱模型

由于軌道炮的發(fā)射過程是一個毫秒級的快速過程，所以在Xj段的截面上，電流密度的分布是不均勻的，靠近軌道表面的位置上電流密度較高，接近軌道中心的位置電流密度相對較低，這種電流密度的不均勻分布可以用趨膚深度δ表示：

(3)

式中：ρ為軌道電阻率；μ0為真空磁導率。

(4)

式中：lj為Xj段的長度；sj為t時刻軌道的有效載流面積，如圖1所示。

軌道電流密度在軌道表面的不同位置上也是不同的，所以圖1所示的有效載流面積計算方法還可進一步改進。

1.2 摩擦熱模型

發(fā)射過程中電磁推力為

(5)

式中：L′為發(fā)射裝置電感梯度；f為電磁推力，與樞軌接觸壓力N存在以下關(guān)系：

N=αf+Nm，

(6)

式中：α為與電樞結(jié)構(gòu)有關(guān)的比例系數(shù)；Nm為初始機械接觸壓力。

樞軌間的摩擦力fr：

fr=βN，

(7)

式中,β為摩擦系數(shù)。

(8)

1.3 接觸電阻熱傳導模型

通過接觸面的熱通量Fc可表達為[9-10]

(9)

式中：ρa為接觸對平均電阻率；P為接觸壓強；sc為接觸面積；Hsoft為接觸對中較軟材料的硬度;c,m為經(jīng)驗系數(shù)，對于銅鋁接觸對，c=9.45×10-4，m=0.63。

由此，可以獲得接觸電阻Rc的表達式：

(10)

接觸電阻所產(chǎn)生的熱量為

(11)

1.4 算例

計算中所采用的通用計算參數(shù)如表1所示。

表1 通用計算參數(shù)

某軌道的設計及計算參數(shù)如表2所示。

表2 某軌道設計及計算參數(shù)

計算使用的電流及電樞的速度、位移曲線如圖2～4所示。

應用1.3節(jié)所述方法，計算可得軌道上的熱量分布如圖5所示。

從圖5可以看出，軌道上產(chǎn)生的熱量大部分積累在炮尾附近，而且體焦耳熱是其主要組成部分。在距離炮尾0.4 m的距離內(nèi)，體焦耳熱占總熱量的70%左右，所以，筆者以體焦耳熱溫升作為軌道的初始溫度分布。

2 軌道熱擴散過程模型

體焦耳熱在軌道橫截面上呈現(xiàn)不均勻的分布，其原因是趨膚效應。對于交變電流來說其電流密度的振幅沿著導體表面法向按照指數(shù)規(guī)律衰減：

Jx=J0e-wx，

(12)

式中：Jx是深度為x處的電流密度；w為與材料和頻率有關(guān)的系數(shù),在材料為銅，頻率為500 Hz的情況下，w≈340。

以下分別考慮圖6中單根矩形軌道y，z兩個方向上的軌道熱傳導問題。

2.1 軌道截面徑向傳熱

在y方向上：

1)設置初始溫度函數(shù)φ(y)=100e-2wy，以此模擬軌道炮發(fā)射后，軌道徑向上的溫度與電流分布存在近似平方的關(guān)系，且軌道表面溫升為100 K。

2)設置問題區(qū)域，即熱擴散深度為y=10 mm以模擬典型的軌道截面尺寸。

求解兩端絕熱條件下的熱傳導問題：

(13)

該問題的穩(wěn)態(tài)解為u|∞=u(y,t)|t=∞=14.64，應用分離變量法，該問題的解為

(14)

式中，Cn、βn為分離變量法中待確定的系數(shù)。

通過計算可得，端點絕熱條件下不同時刻的徑向溫度分布與穩(wěn)態(tài)解的相對偏差|u-u∞|/|u∞|如表3所示。

表3 端點絕熱條件下的徑向溫升分布相對偏差

在0.1 s時可以觀察到熱量在軌道徑向上的快速擴散；0.2 s時，軌道徑向上的溫度分布已經(jīng)趨于均勻，各點溫度與穩(wěn)態(tài)解的相對偏差接近10%；到0.3 s時，這個相對偏差已經(jīng)小于5%。對于軌道炮熱管理系統(tǒng)來說，可以認為當發(fā)射完畢到冷卻工質(zhì)到達軌道時，軌道橫截面上的溫度已經(jīng)充分擴散，呈均勻分布狀態(tài)。

以上計算中，所采用的初始溫度函數(shù)φ(y)=100e-2wy主要考慮了體焦耳熱溫升的分布特性。增大系數(shù)w，可以使溫度分布更加陡峭，熱量分布更加趨向與集中在軌道表面，可以模擬接觸面上的焦耳熱和摩擦熱所帶來的影響。將w設為原值的2倍，可獲得與表3一致的結(jié)果。表3計算結(jié)果說明，不施加水冷條件下，在軌道徑向方向上溫度分布將在0.3 s內(nèi)達到近似均勻分布的狀態(tài)，溫度梯度可忽略。

當軌道徑向上溫度分布均勻時，考慮以常溫水冷卻軌道的情形。此時，軌道徑向溫升u滿足：

(15)

式中，初始條件為u|t=0=φ(y)，換熱溫差由冷卻工質(zhì)的溫升uw以及式(14)的穩(wěn)態(tài)解計算得出。

分析表4可知，在0.3 s的時間范圍內(nèi)軌道徑向溫度迅速趨于均勻分布，然后由于端點換熱效應，在軌道徑向內(nèi)維持一個穩(wěn)定的端點溫差，在0.5～5 s，該溫差穩(wěn)定在0.6 K左右。

當采用以下不同的初邊值條件時，仍然可以獲得與表4類似的結(jié)果。

表4 軌道內(nèi)部散熱條件下的徑向溫升分布 K

1)當其他條件不變將初始溫度分別換為φ(y)=100e-2wy和φ(y)=10時；

2)在1)基礎上將換熱邊界條件中的穩(wěn)態(tài)溫度換為軌道換熱表面溫度時；

3)將換熱條件分別布置于高低溫端點時。

表4計算結(jié)果說明在初始階段，軌道徑向溫度趨于均勻的擴散過程占有優(yōu)勢，然后由于換熱效應，在0.3 s左右形成穩(wěn)定的徑向溫度梯度，并可維持較長的時間。這一溫度梯度有助于估計平均溫度與實際表面換熱溫度的關(guān)系，如果直接采用溫度均值計算所得的換熱精度不能滿足工程計算需要，還可以將Δu引入換熱計算。

在軌道截面上的熱分布問題實際上是一個二維問題，且實際的熱量并非沿著軌道外周均勻分布，但散熱管道通常被布置在靠近軌道溫升較高的位置上，因此以軌道截面上的溫度均值計算換熱，會使初始階段的理論熱流量偏小，所設計的熱管理系統(tǒng)趨于保守。

2.2 軌道軸向傳熱問題

本節(jié)考慮圖6中沒有配備水冷系統(tǒng)時的軌道軸向傳熱問題。此時問題區(qū)域為0≤z≤1.4 m，初始溫升分布由圖5中的計算結(jié)果，并應用式(2)計算獲得。軌道發(fā)射完畢6 s內(nèi)的溫度變化情況如圖7所示。

2.3 討論

從時間與空間兩個角度看軌道炮瞬態(tài)溫升問題，可以發(fā)現(xiàn)：多數(shù)軌道炮的軌道長度為米級，而軌道截面上的寬、高尺寸為厘米級別，二者的尺寸比多在100倍以上；軌道熱分布的有源升溫過程(也即內(nèi)彈道過程)為毫秒級；徑向溫度擴散時間為0.1 s 的時間級別；在10 s級別的時間尺度內(nèi)，軌道炮的軸向溫度無源擴散過程是可以忽略的。

由此，對于筆者討論的熱管理系統(tǒng)(常溫工質(zhì)，換熱系數(shù)5 000 W·m-2·K-1，工作時間在10 s左右)可以做以下物理假設：

1) 忽略毫秒級內(nèi)彈道過程中的軌道軸向和徑向溫度擴散過程。

2) 忽略軌道溫度徑向擴散過程，將其考慮為軸向熱分布問題的源項，用于計算水冷換熱效果。這樣，軌道熱分布問題可簡化為軸向上的一維問題：

(16)

式中,源項f(z,t)與換熱表面積、溫差及換熱系數(shù)相關(guān)。

3)源項f(z,t)內(nèi)的溫差可采用軌道徑向溫度均值計算，也可采用表面溫度計算。由表4計算結(jié)果可知，表面溫度與平均溫度之間的差值將在較短的時間內(nèi)穩(wěn)定，這簡化了二者間的轉(zhuǎn)換。

4)由2.2節(jié)計算結(jié)果可知，在10 s級的工作時間內(nèi)，工程計算中還可忽略式(16)的傳導項，將導軌上的溫度分布表示為

(17)

上述假設使得軌道的一維冷卻問題被進一步簡化為軌道軸向多個段上的常微分方程。

3 結(jié)束語

針對軌道炮熱管理系統(tǒng)分析及設計問題，筆者分析了軌道上熱產(chǎn)生的原因及組成，通過算例說明體焦耳熱是造成軌道溫升的主要原因。應用分離變量法對軌道徑向和軸向上的一維熱傳導方程分別進行了分析與計算，獲得了在兩個方向上的瞬態(tài)熱分布特性。將所獲得的軌道瞬態(tài)熱分布特性與軌道結(jié)構(gòu)特點及發(fā)射過程相結(jié)合，得出了可以用于軌道炮熱管理系統(tǒng)分析與計算的物理假設。所提出的物理假設可將軌道炮高維多物理場瞬態(tài)耦合分析問題簡化為軌道軸向多個段上的常微分方程，有助于大幅簡化軌道炮熱管理系統(tǒng)設計中的工程計算。