孟 瑩 丁 虎 陳立群，2)

* (上海大學力學與工程科學學院，上海 200444)

? (上海大學上海市能源工程力學重點實驗室，上海 200444)

** (上海市應用數(shù)學和力學研究所，上海 200072)

引言

近年來，低功耗電子設備和無線傳感器網(wǎng)絡在民用和軍事領域得到了廣泛的應用[1-2].然而，這些設備大多依靠電池作為電源，到目前為止，化學電池仍有許多問題待解決，例如壽命短、體積大、對環(huán)境污染嚴重.此外，更換電池或為電池充電非常麻煩，有時甚至不切實際，例如人體內部的傳感器[3-4].因此，為了避免更換電池，延長設備使用壽命，用于自供電的能量采集技術得到廣泛應用.

目前，機械振動[5]由于不易受自然環(huán)境影響，且儲量豐富，是當前最具吸引力的能源選擇.根據(jù)轉換方法的不同，機械能轉化為電能的方法可分為壓電[6]、電磁[7]和靜電[8]轉換.壓電能量采集技術因其強大的機電耦合效應、能量轉換效率高和結構簡單等優(yōu)點，成為最具有潛力的電池替代品.因此，在本研究中，選擇壓電轉換作為能量采集方法.

隨著能量采集技術的發(fā)展，懸臂梁結構受到普遍關注[9-12].與懸臂梁結構相比，壓電圓板因其軸對稱結構和雙向應變等優(yōu)勢吸引了研究者的關注[13-14].例如，一些學者研究了承受壓力波動的壓電圓板能量采集器的采集性能[15-17]，這些研究為參數(shù)優(yōu)化提供了有用的設計工具.Yuan 等[18]基于壓電控制方程，推導出壓電鼓式換能器在彎曲模式下的解析解，分析了換能器采集振動能量的性能.Kan 等[19]利用Raleigh 方法建立了不同邊界的壓電圓板的解析模型，他們發(fā)現(xiàn)簡支邊界往往可以獲得更高的機電耦合系數(shù).Mohsen 和Hamid[20]研究了隨機激勵下固支壓電圓板能量采集器采集性能，成功將功率密度提高到3.2 mW/m2.

遺憾的是，上述文獻中能量采集器的固有頻率相較于低頻環(huán)境來說較高，導致了低發(fā)電效率.為了克服這個問題，Chen 等[21]，Palosaari 等[22]等發(fā)表了關于降低能量采集器固有頻率的評論，發(fā)現(xiàn)預應力對于降低固有頻率和提高能量采集效率是必要的.基于上述發(fā)現(xiàn)，很多學者對附加質量的圓板能量采集器進行了探究.一些文獻[23-27]借助于實驗手段，采用不同的設計來提高能量采集器的采集性能.Liu等[23-24]分別將平坦的粘合區(qū)域更改為彎曲的粘合區(qū)域，將附加在中心的質量塊更改為環(huán)形空心形狀，優(yōu)化了壓電圓板能量采集器的功率輸出.Han 等[25]發(fā)現(xiàn)，有凹槽的壓電圓板能量采集器相較于無凹槽的能量采集器，輸出功率明顯增加.Solovyev 和Duong[26]用ANSYS 和ACELAN 軟件對壓電雙晶圓板能量采集器建模，為設備的組裝技術提供指導.值得注意的是，上述文獻均是通過實驗或仿真完成，不能反映結構參數(shù)與能量采集器采集性能的關系.因此，封閉形式的解析解是描述和優(yōu)化能量采集器的必要工具.Jiang 和Hu[27]使用壓電控制方程推導出中心帶有剛性質量塊的雙晶壓電圓板能量采集器的解析解，結果表明調整參數(shù)可以提高能量采集器的采集性能.Yang 等[28-29]基于板振動理論研究了附加質量的壓電圓板的彎曲振動，并通過仿真和實驗進行驗證.

影響壓電圓板能量采集器的采集性能的參數(shù)有很多，包括基板厚度、半徑、質量塊重量、壓電片外徑等.然而關于壓電片內徑對能量采集器的采集性能的影響還鮮有報道.Xu 等[30]通過實驗發(fā)現(xiàn)了壓電圓板能量采集器中的非均勻應變分布會降低輸出功率.因此，他們減小壓電片尺寸并在中心挖孔，研究發(fā)現(xiàn)去除壓電片的低電壓輸出部分能夠提高采集效率.與上述文獻不同的是，本文使用能量法和有限元仿真來研究考慮附加質量接觸面積的壓電圓板能量采集器的采集性能，并探究了壓電片內徑對能量采集器采集性能的影響.

本文采用廣義哈密頓原理，推導出附加質量的壓電圓板能量采集器的機電耦合方程，用伽遼金法對方程近似離散，通過離散方程得到輸出電壓、功率的閉合解.最后基于閉合解探討了負載阻抗、附加質量塊、壓電板的內、外徑對壓電能量采集器采集性能的影響，并用有限元仿真對結果進行驗證.以期為工程對象提供參考數(shù)據(jù).

1 壓電圓板能量采集器的理論模型

1.1 壓電圓板能量采集器機電耦合方程

由質量塊和壓電復合板組成的能量采集器的剖視結構如圖1 所示.復合板由兩個串聯(lián)的壓電陶瓷片鋪設在基板上組成，其中基層的半徑和厚度分別為rb和hb，壓電片內、外半徑和厚度分別為rpi，rpo和hp.壓電復合板中心固定一個倒錐形質量塊，質量塊尖端半徑rm遠小于復合板半徑，因此在理論建模中將質量塊考慮為質點.基板被固支在振動位移為y(t)基座上.

圖1 附加質量塊的圓板能量采集器的剖面圖Fig.1 The cutaway view of the circular energy harvester considering proof mass

假設系統(tǒng)的撓度不足以引起非線性幾何項，考慮基礎位移的位移矢量為

式中，i和k分別表示沿r和z軸的單位向量.

基于基爾霍夫薄板理論，幾何方程為

遵循胡克定律，基板的物理方程為[20]

考慮壓電材料的壓電效應，上壓電陶瓷的物理方程[31]

下壓電陶瓷的物理方程

z方向的電場強度與電壓之間的關系[31]

式中，v(t)為上下壓電板之間的電壓.

壓電圓板能量采集器的總動能表示為[32]

式中，m0是附加質量塊的質量，m為壓電復合板單位面積的質量，表示為

式中，ρb和ρp分別表示基板和壓電板的體積密度.

壓電圓板能量采集器的總勢能為[32]

串聯(lián)壓電陶瓷片的總電能為[32]

考慮內部電能的廣義哈密頓原理為[31]

式中，δT，δU，δWie和δWnc分別為動能、勢能、電能和非保守能的變分.在本研究中，由于在動能中考慮了基礎激勵的影響，機械阻尼在后續(xù)研究中引入，因此非保守虛功為

將式(7)～ 式(9)和式(11)代入式(10)，忽略慣性矩和面內慣性，機電耦合方程為

式中，RL表示負載阻抗;壓電陶瓷的電容

將橫向撓度假設為[33]

式中，qr(t)，φr(r) 分別表示r階模態(tài)坐標和振型，考慮到由壓電片引起的幾何變化，φr(r) 可表示為(具體過程見附錄A)

將式(15)代入式(12)和式(14)，引入瑞利阻尼[31]，用伽遼金法對方程離散化得

式中，M，D=μΜ+γK，K分別表示質量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣，其中μ和γ是比例系數(shù)[31].θ和η分別代表反向耦合項和正向耦合項，表示為

1.2 電壓和功率輸出閉合解

式中，a和ω分別表示基礎激勵的加速度幅值和頻率.

基于線性機電假設，廣義坐標和輸出電壓可表示為

式中，Θ，V分別表示響應幅值和電壓幅值.

將式(19)、式(20)代入式(17)、式(18)，得到能量采集器在短路(RL→0)和斷路(RL→∞)狀態(tài)下的固有頻率、系統(tǒng)的響應幅值和電壓幅值為

功率幅值可以定義為

2 結果與討論

本節(jié)，選擇黃銅為基體結構，PZT-5H[31]為壓電層來研究附加質量塊的壓電圓板能量采集器的采集性能.壓電圓板能量采集器的參數(shù)如表1 所示.

表1 圓板能量采集器的參數(shù)Table 1 The parameters of the circular energy harvester

2.1 收斂性研究

首先，收斂性研究來確定準確預測出輸出電壓和功率的假設模態(tài)數(shù)量.圖2 繪制了不同模態(tài)數(shù)量對應的電壓頻響圖，其他參數(shù)分別為rpi=2 mm，rpo=20 mm，RL=25 kΩ，m0=74.3 g 和a=0.1g.顯然，當N≥ 3 時，結果趨于收斂，因此選擇N=3 進行數(shù)值分析.

圖2 不同模態(tài)數(shù)下輸出電壓隨基礎激勵頻率變化Fig.2 The variation of the voltage output with base excitation frequency for different number of modes

2.2 有限元仿真和驗證

為驗證理論推導的正確性，采用有限元軟件COMSOL 建立了壓電圓板能量采集器有限元分析模型，如圖3 所示，其中，藍色和黃色分別表示壓電片和基體黃銅.接下來，使用壓電和固體力學模塊對壓電圓板能量采集器進行模態(tài)分析，穩(wěn)態(tài)響應分析.

無附加質量時圓板能量采集器固有頻率的解析計算與有限元計算結果對比，如表2 所示.從表2 中可以觀察到最大相對誤差為0.397%，這說明了理論計算與有限元計算結果高度一致，驗證了理論推導的正確性.表3 總結了m0=74.3 g 時圓板能量采集器固有頻率的理論計算與有限元仿真結果，同時有限元仿真中考慮了附加質量的接觸半徑，定義χ=rm/rb(質量塊與壓電復合板的接觸半徑與基板半徑比值).分析可得，當χ=1/28 時，最大相對誤差為1.141%，當χ=1/14 時，最大相對誤差增大至5.87%.表明相對誤差隨著質量塊與復合板的接觸半徑的增加而增加.產(chǎn)生誤差的主要原因是在理論模型中，將質量塊考慮為中心質點，而實際模型中，質量塊與復合板的接觸半徑會影響能量采集器的固有頻率.綜上所述，隨著質量塊與復合板接觸半徑的減小，理論模型和有限元模型一致性增強.

表3 m0=74.3 g 時壓電圓板能量采集器的固有頻率理論值與仿真比較Table 3 Comparison of natural frequency of circular energy harvester with m0=74.3 g from theory and simulation

2.3 參數(shù)對能量采集器采集性能的影響

附加質量塊的壓電圓板能量采集器的解析解是必不可少的，它可以根據(jù)具體的要求快速設計采集器.本節(jié)基于閉合解探討負載阻抗、附加質量、壓電板的內外徑對能量采集器采集性能的影響，并通過有限元仿真進行驗證.在有限元仿真中質量塊與壓電復合板的接觸半徑rm=1 mm.

圖4 繪制了在短路和斷路共振頻率處激勵時，電壓和功率隨負載阻抗的變化，其余參數(shù)分別為rpi=0 mm，rpo=20 mm，a=0.1g，m0=74.3 g.給出的結果表明理論解(線)與有限元解(空心點)高度一致.分析可知，給定基礎激勵頻率，電壓隨負載阻抗的增大而單調升高，進而趨于穩(wěn)定.輸出功率先增大再降低，且不同基礎激勵頻率下系統(tǒng)的最優(yōu)阻抗也不同，通過方程(25)得到最優(yōu)阻抗.從圖4 中還可以觀察到，負載阻抗較小時，由于系統(tǒng)接近于短路，因而短路共振頻率激勵下(f=109.76 Hz) 的輸出電壓和功率相對較高.隨負載阻抗的增大，曲線交于RL=20.5 kΩ處，此時電壓和功率相等，越過該點后，由于負載阻抗較大，系統(tǒng)接近開路狀態(tài)，斷路共振頻率激勵下(f=125.56 Hz)的電壓和功率較大.

圖4 負載阻抗對輸出電壓和功率的影響Fig.4 The effect of the load resistance on the output voltage and power

附加質量對壓電能量采集器輸出電壓和功率的影響如圖5 所示，其余參數(shù)分別為rpi=0 mm，rpo=20 mm，a=0.1g，RL=25 kΩ.顯然，與無質量塊相比，附加20 g 質量塊的能量采集器固有頻率從661.38 Hz 降低到228.228 Hz，輸出電壓和功率分別增長了187.74%和724.21%.這表明質量荷載能夠有效降低采集器的固有頻率和增加其采集性能.然而，增加質量荷載對提高采集器的采集性能是有限制的，具體而言，附加40 g 質量塊的能量采集器輸出電壓和功率相較于20 g，分別提升了40% 和97%;而附加60 g 質量塊的能量采集器的輸出電壓和功率相較于40 g，分別提升了23%和52%.顯然隨著質量塊重量的提升，電壓和功率輸出增長率降低.且過重的質量塊容易造成壓電陶瓷板破裂.

圖5 附加質量對能量采集器采集性能的影響Fig.5 The influence of the mass on the harvesting performance of the energy harvester

壓電片外半徑對固有頻率、最大輸出電壓和功率的影響如圖6 所示，定義λ=rpo/rb(壓電片外半徑與基板半徑比值)，其余參數(shù)分別為rpi=0，a=0.1g，RL=25 kΩ，m0=74.3 g.圖6(a)顯示，能量采集器的固有頻率隨外半徑的增加而增大，當λ大于0.928時，固有頻率斜率增大.圖6(b)和圖6(c)描繪了最大輸出電壓和功率隨λ的變化.顯然，在λ∈ (0.4，0.58)區(qū)域內，隨λ的增加，最大輸出電壓和功率增加;在λ∈ (0.57，0.9)的區(qū)域內，最大輸出電壓和功率隨著λ增大變化幅度較小;在λ∈ (0.9，1)區(qū)域內，隨λ的增加，最大輸出電壓和功率降低，當λ=1 時，最大輸出電壓和功率均為0.也就是說，完全覆蓋壓電層的固支圓板不能用作能量采集器，在文獻[15]中也發(fā)現(xiàn)了相同的現(xiàn)象.綜上所述，給定壓電片內徑，在λ∈(0.55，0.62)區(qū)域內，既可以降低能量采集器的固有頻率，又可以收獲較高的輸出電壓和功率.

圖6 壓電片外徑對能量采集器的固有頻率、最大輸出電壓和功率的影響Fig.6 The effect of the outer radius of the piezoelectric plate on the natural frequency，maximum output voltage and power of the energy harvester

圖7(a)和圖7(b)繪制了不同的外半徑下，最大輸出電壓和功率隨壓電板內徑的變化.其余參數(shù)分別為m0=74.3 g，a=0.1g，RL=25 kΩ.分析可得，給定壓電片外徑，隨著內徑的增大，最大電壓和功率的輸出先增大再降低.為了更具體地說明壓電片內徑對能量采集器性能的影響，以外徑為20 mm 的壓電圓板為例具體分析，如圖7(c)和圖7(d)所示.隨著內徑的增大，共振頻率降低，最大輸出功率和電壓增加，直至內徑為3.5 mm，此時，共振頻率為100.6 Hz，輸出功率和電壓分別達到最大值0.313 mW 和2.797 4 V.隨著內徑的進一步增大，共振頻率持續(xù)降低，輸出電壓和功率開始下降.因此，相較于無孔的壓電片，內徑位于2.5～ 4 mm 范圍內的壓電片可以提高能量采集器的采集性能.

圖7 壓電片內半徑對能量采集器采集性能的影響Fig.7 The effect of the inner radius of the piezoelectric plate on the harvesting performance of energy harvester

3 結論

基于基爾霍夫薄板理論，應用廣義哈密頓原理建立了附加質量塊的壓電圓板能量采集器的理論模型.采用數(shù)值分析和有限元仿真研究各參數(shù)對壓電圓板能量采集器的采集性能的影響.得到以下結論.

(1) 隨著質量塊與復合板接觸半徑的減小，理論模型和有限元模型一致性增強.

(2) 能量采集器的輸出電壓、功率受負載阻抗、附加質量、壓電片內外徑等的綜合影響.隨負載阻抗的增加，能量采集器的輸出電壓增加，直至趨于穩(wěn)定，輸出功率先增加再降低.不同基礎激勵頻率下系統(tǒng)的最優(yōu)阻抗也不同.

(3) 質量塊的引入有效降低了能量采集器的固有頻率，提高了其采集性能.與無質量塊相比，附加20g 質量塊的能量采集器固有頻率降低了65%，輸出電壓和功率分別增長了187.74%和724.21%.

(4) 壓電片外徑的增加會增大能量采集器的固有頻率.設置壓電片內徑為0，在λ∈ (0.55，0.62)區(qū)域內，能量采集器的采集性能相對較高.

(5) 相較于無孔的壓電片，壓電片內徑的合理選擇不僅可以降低能量采集器的固有頻率，還可以提高其采集性能.

附錄A

為得到壓電復合板的振型，將壓電復合板分為3 部分，每部分的力學行為和邊界條件如圖A1 所示.

式中J0，Y0，K0和I0均為零階貝塞爾函數(shù).

r=rpi處的邊界條件為