多維度巧解以圓為背景的最值問題

蔣 敏 李 鮮

(四川省南充龍門中學(xué) 637130)

圓是一類特殊的幾何圖形，它形式簡潔，圖形優(yōu)美，生活中隨處可見，具有高度的對稱性.以圓為背景，考察最大值、最小值，取值范圍等等，是解析幾何中常見的一類題型.它涉及的學(xué)科知識內(nèi)涵豐富，解題構(gòu)思常常巧妙靈活，能夠很好的鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，進一步滲透數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).在課堂教學(xué)中，結(jié)合學(xué)生實際，教師積極引導(dǎo)，學(xué)生自主探究，以微專題的形式，多維度巧解以圓為背景的最值問題，讓解題教學(xué)的育人目標(biāo)能夠順利達成、落地生根.

一、以斜率、截距、距離的幾何意義為視角巧解最值

例1已知實數(shù)x、y滿足方程x2+y2-4x+1=0.求：

(2)y-x的最小值；

(3)x2+y2的最大值和最小值.

圖1

類題鞏固1 已知(x-2)2+(y-1)2=1，求(x-1)2+y2的最值.

解析令(x-1)2+y2=r2是以(1,0)為圓心，半徑為r的同心圓，問題轉(zhuǎn)化為求在(x-2)2+(y-1)2=1條件下，半徑r的最值.

例2 設(shè)點M(x0，1)，若在圓O：x2+y2=1上存在點N，使得∠OMN=45°，則x0的取值范圍是( ).

圖2

點評由題易知，隨著N點在圓上的移動，∠OMN的大小在變化，只有N點運動到讓MN是圓的切線時，∠OMN最大.結(jié)合圖形可知當(dāng)∠OMN≥45°，則圓上就存在滿足條件的點.

類題鞏固2 已知圓C:x2+y2=4，點P(x0,y0)在直線x-y-4=0上，O為坐標(biāo)原點，若圓C上存在點Q，使∠OPQ=30°，則x0的取值范圍為____.

解析過點P作圓C的切線，切點為D，連結(jié)CD，則CD⊥PD，若∠DPC=30°，則PC=2CD=4；

二、以構(gòu)造函數(shù)法的視角來巧解最值

點評根據(jù)條件列出關(guān)于所求目標(biāo)函數(shù)的關(guān)系式，然后轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值.這是求圓中最值的常用方法.同時，解答中尤其要結(jié)合變量的取值范圍.

三、以常用的不等式性質(zhì)的視角來巧解最值

例4 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以點(1,0)為圓心且與直線mx-y-2m-1=0(m∈R)相切的所有圓中，半徑最大的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為____.

點評當(dāng)所求的表達式是滿足基本不等式的結(jié)構(gòu)特征，如a·b或者a+b的表達式求最值，常常利用題設(shè)條件建立兩個變量的等量關(guān)系，進而求解最值.同時需注意“一正、二定、三相等”的限制.

類題鞏固4 直線2ax+by-2ab+6=0(a>0，b>0)平分圓(x-1)2+(y-2)2=4的面積，則ab的最小值等于____.