2020年高考全國(guó)卷Ⅰ理科20題的探究及教學(xué)啟示

蔡海濤 黃少瑩 盧 妮

(福建省莆田第二中學(xué) 351131)

一、試題呈現(xiàn)

(1)求E的方程；

(2)證明：直線CD過定點(diǎn).

本題第(1)小題以橢圓為載體，考查橢圓基本量的運(yùn)算，求標(biāo)準(zhǔn)方程等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力、推理論證能力，考查函數(shù)與方程思想.

第(2)小題以探索性問題為載體，考查橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力、推理論證能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，考查直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).

二、解法賞析

故直線CD的方程為

點(diǎn)評(píng)本解法從設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)出發(fā)，得到直線AP的方程，然后與橢圓方程聯(lián)立，由于知道一個(gè)交點(diǎn)(點(diǎn)A)的坐標(biāo)，故可根據(jù)韋達(dá)定理求出另一個(gè)交點(diǎn)(點(diǎn)C)的坐標(biāo)，這種處理方法叫“小聯(lián)立”.同理得到點(diǎn)D的坐標(biāo)，進(jìn)而得到直線CD的方程，再求得直線CD過定點(diǎn).

解法二(設(shè)直線)：設(shè)C(x1,y1)，D(x2,y2)，P(6,t).

若t≠0，設(shè)直線CD的方程為x=my+n，由題意可知-3

解法三(利用三點(diǎn)共線)：設(shè)C(x1,y1)，D(x2,y2)，P(6,m).

(ⅱ)當(dāng)直線CD斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)直線CD與x軸交點(diǎn)為M(x0,0).

(ⅰ)當(dāng)點(diǎn)P在x軸上時(shí)，C與B重合，D與A重合，此時(shí)直線CD方程為y=0.

(ⅱ)當(dāng)點(diǎn)P不在x軸上時(shí)，直線PA，PB的斜率都存在且y1，y2都不為0.

由④得3x2y1-x1y2=9y1+3y2，由⑤得x2y1-3x1y2=-3y1-9y2，兩式相加得

4x2y1-4x1y2=6y1-6y2⑥.

點(diǎn)評(píng)本法構(gòu)建曲線系解題.一般地，若兩曲線C1:f(x,y)=0和C2:g(x,y)=0有交點(diǎn),則過兩曲線交點(diǎn)的曲線系方程可設(shè)為:λf(x,y)+μg(x,y)=0；方程f(x,y)g(x,y)=0表示曲線C1和C2.曲線系是具有某種性質(zhì)的曲線的集合,合理運(yùn)用曲線系解題體現(xiàn)了整體處理的解題策略，可大大簡(jiǎn)化運(yùn)算.

三、背景探究

四、教學(xué)反思

1.圓錐曲線的定量問題

圓錐曲線中的定量問題包括定點(diǎn)、定值問題，這類問題往往是某些幾何量(線段的長(zhǎng)度、圖形的面積、角度、直線的斜率)的大小或某些代數(shù)表達(dá)式的值和題目中的參數(shù)無關(guān)，不隨參數(shù)的變化而變化，是一個(gè)不變的定量.求解這類問題常常有兩條途徑，一條是從特殊情況入手，發(fā)現(xiàn)特點(diǎn)，猜測(cè)出定點(diǎn)或定值，再通過觀察規(guī)律證明一般性情況，體現(xiàn)從特殊到一般的認(rèn)識(shí)過程.另一條途徑是從變量中尋求不變，即先用變量表示要求的量或點(diǎn)的坐標(biāo)，再通過推理計(jì)算，得出這些量或點(diǎn)的坐標(biāo)和變量無關(guān)，是一般到特殊的推理過程.這兩條途徑相得益彰，是數(shù)學(xué)研究中常用的特殊與一般的重要思想方法.

2.關(guān)注解析幾何的核心教育價(jià)值

解析幾何的本質(zhì)是用代數(shù)方法研究幾何問題，由于解析幾何蘊(yùn)含豐富的數(shù)學(xué)思想(函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類與整合思想、特殊與一般思想等)，所以解析幾何試題可有效檢測(cè)直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理以及數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).基于高考遵循的“一核四層四翼”命題指導(dǎo)思想，復(fù)習(xí)教學(xué)要注意數(shù)學(xué)思想方法的滲透，立足基礎(chǔ)性，以體系建構(gòu)為目標(biāo)對(duì)板塊的必備知識(shí)進(jìn)行全面梳理，在提升學(xué)科關(guān)鍵能力上應(yīng)以運(yùn)算求解能力和抽象概括能力為重點(diǎn)，著力發(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)算與直觀想象等核心素養(yǎng)，彰顯解析幾何獨(dú)特的分支教育價(jià)值以落實(shí)學(xué)科教學(xué)的立德樹人根本任務(wù).

用代數(shù)方法來研究幾何問題，即：幾何問題→代數(shù)問題→代數(shù)結(jié)論→幾何結(jié)論.所以，它的兩大任務(wù)是：把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題；研究代數(shù)問題，得出代數(shù)結(jié)論.怎樣將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題？(1)要主動(dòng)去理解幾何對(duì)象的本質(zhì)特征；(2)善于將幾何條件、幾何性質(zhì)用代數(shù)的形式表達(dá)出來；(3)恰當(dāng)選擇代數(shù)化的形式，這點(diǎn)是關(guān)鍵：一要研究具體的幾何對(duì)象具有什么樣的幾何特征(如果幾何特征不清楚，就不可能準(zhǔn)確將其代數(shù)化)，這就要在審題上下功夫；二是選擇最簡(jiǎn)潔的代數(shù)形式(方便后續(xù)的代數(shù)研究)，這需要大局觀；(4)注意等價(jià)轉(zhuǎn)化.

直線上的交點(diǎn)或者動(dòng)點(diǎn)問題，代數(shù)上多結(jié)合幾何條件或設(shè)點(diǎn)或列方程，進(jìn)而用方程思想求解問題，建議必須依題構(gòu)圖，結(jié)合曲線的性質(zhì)從題意與圖形中抽象出關(guān)鍵的幾何特征，并以簡(jiǎn)潔的代數(shù)形式加以呈現(xiàn)，從而轉(zhuǎn)化為待求目標(biāo)關(guān)系式進(jìn)行變形演算.

3.關(guān)注解析幾何的簡(jiǎn)化運(yùn)算

解析幾何的主要特征是“算”，考生如果對(duì)運(yùn)算方法運(yùn)用不當(dāng)，面臨繁雜的運(yùn)算將無從下手，有效運(yùn)算、簡(jiǎn)便運(yùn)算是求解解析幾何問題必須重視的環(huán)節(jié)，包括如何設(shè)元、如何設(shè)方程、如何整體代換、如何化簡(jiǎn)等.

教學(xué)過程中，建議教師不能只是談思路方法，應(yīng)通過課堂師生共同演算的體驗(yàn)，增加實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)行算法算理的指導(dǎo).另外，解題中要指導(dǎo)學(xué)生克服只重視思路、輕視動(dòng)手運(yùn)算的缺點(diǎn).運(yùn)算能力差是學(xué)生普遍存在的問題，不僅在解析幾何問題中要加強(qiáng)訓(xùn)練，在其它板塊中也要加強(qiáng)訓(xùn)練，只有把提高學(xué)生的運(yùn)算能力貫徹于教學(xué)的過程之中，才能收到較好的效果.還有，要培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)算的求簡(jiǎn)意識(shí)，尤其是“設(shè)而不求”方法的應(yīng)用，充分發(fā)揮圓錐曲線的定義和利用平面幾何知識(shí)化難為易、化繁為簡(jiǎn)的作用.譬如圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值問題，解決的基本思想從變量中尋求不變，即先用變量表示所求的量或點(diǎn)的坐標(biāo)，再通過推理計(jì)算，導(dǎo)出這些量或點(diǎn)的坐標(biāo)和變量無關(guān).其基本策略是定點(diǎn)和定值問題就是在運(yùn)動(dòng)變化中尋找不變量的問題，基本思想是使用參數(shù)表示要解決的問題，證明要解決的問題與參數(shù)無關(guān).在這類試題中選擇消元的方向是非常關(guān)鍵的.另外，對(duì)于某些定點(diǎn)問題的證明，可以先通過特殊情形探求定點(diǎn)坐標(biāo)，然后對(duì)一般情況進(jìn)行證明，這種方法在填空題中更為實(shí)用.

五、對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練

(1)求C的方程；

(2)設(shè)直線l不經(jīng)過P2點(diǎn)且與C相交于A,B兩點(diǎn).若直線P2A與直線P2B的斜率的和為-1，證明：l過定點(diǎn).