例析“同構(gòu)法”在解題中的應(yīng)用

北京師范大學(xué)廣州實驗學(xué)校(510700)楊 雪

1 “同構(gòu)法”簡介

在解決含參的不等式問題時,常見的解法包括: 分類討論或轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題進(jìn)行研究.除此之外,還可通過分析不等式的結(jié)構(gòu),將不等式中的元素轉(zhuǎn)換成相同的結(jié)構(gòu),據(jù)此構(gòu)造函數(shù),通過研究函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解.具體如下: 即將F(x)≥0 等價的變形為f[g(x)]≥f[h(x)],通過研究函數(shù)f(x)的單調(diào)性,將問題轉(zhuǎn)化為研究g(x)與h(x)之間的大小關(guān)系,該解法即為“同構(gòu)法”.

2 利用“同構(gòu)法”證明或解不等式

例1 證明:x2?xlnx≤ex?1.

分析本題可通過多次求導(dǎo),再利用函數(shù)和導(dǎo)函數(shù)的關(guān)系判斷函數(shù)的最值進(jìn)行證明.本文利用同構(gòu)的思想進(jìn)行求解.

解析原不等式等價于:等價于:x ?lnx≤ex?1?lnx.根據(jù)經(jīng)典不等式: ex≥x+1,即可得: ex?1?lnx≥x ?1?lnx+1=x ?lnx成立.

評注本題通過對數(shù)恒等式[1]將不等式的兩側(cè)變形出相同的結(jié)構(gòu)x ?lnx,實現(xiàn)了“同構(gòu)”,簡化了證明過程.

例2 若函數(shù)f(x) 為定義在R上的偶函數(shù),當(dāng)x ∈(?∞,0)時,f′(x)>ex?e?x,求不等式f(2x?1)?f(x?1)>ex?1(ex ?1)(1?e2?3x)的解集.

分析解題的方向是將上述不等式的右側(cè)通過等價變形轉(zhuǎn)換為左側(cè)的形式,再結(jié)合題干信息完成“同構(gòu)”.

解析令g(x)=f(x)?ex ?e?x,則g′(x)=f′(x)?ex+e?x,當(dāng)x ∈(?∞,0)時,f′(x)>ex ?e?x,故g′(x)>0即g(x) 在(?∞,0) 上單調(diào)遞增;∵f(x) 是偶函數(shù),根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)可知函數(shù)g(x)也是偶函數(shù),考慮不等式f(2x?1)?f(x?1)>ex?1(ex?1)(1?e2?3x),對其右側(cè)令其模仿左側(cè)進(jìn)行“同構(gòu)”變形ex?1(ex?1)(1?e2?3x)=(e2x?1?ex?1)(1?e2?3x)=e2x?1?ex?1?e?x+1+e1?2x,原不等式等價于f(2x?1)?e2x?1?e1?2x >f(x?1)?e?x+1?ex?1,即g(2x?1)>g(x?1),∵g(x)為偶函數(shù),在(?∞,0)上遞增,所以在(0,+∞)上遞減,上述不等式等價于|2x?1|<|x?1|,解得:.

例2 變式、已知f(x)是R上可導(dǎo)的圖象不間斷的偶函數(shù),導(dǎo)函數(shù)為f′(x),且當(dāng)x>0 時,滿足f′(x)+2xf(x)>0,求不等式e1?2xf(x ?1)>f(?x)的解集.

解析不等式e1?2xf(x ?1)>f(?x) 等價于:f(x ?1)>f(x)e2x?1,兩邊同乘以得:.令,上述不等式等價于h(x ?1)>h(x).現(xiàn)考慮函數(shù)h(x) 的性質(zhì),因為h′(x)=,結(jié)合f′(x)+2xf(x)>0(x>0),所以h′(x)>0.所以h(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,易知該函數(shù)為偶函數(shù),所以h(x)在(?∞,0)上單調(diào)遞減.故(x ?1)2>x2,解得

3 利用“同構(gòu)法”計算參數(shù)范圍

評注對于同一個函數(shù),變形的視角不同,最終“同構(gòu)”后的函數(shù)也不相同.

4 利用“同構(gòu)法”判斷零點個數(shù)

如圖1,可以判斷:F(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,在(1,+∞)上單調(diào)遞增;G(x) 在(0,+∞) 上單調(diào)遞減.容易證明:F(x)>G(x) 恒成立,原問題轉(zhuǎn)化為直線y=a與函數(shù)F(x)與函數(shù)G(x)交點個數(shù)的問題.

顯然可得: 當(dāng)a ∈(0,e) 時,原問題只有一個零點;當(dāng)a=e 時,原問題有兩個零點;當(dāng)a ∈(e,+∞)時,原問題有三個零點.

5 反思與總結(jié)

在利用同構(gòu)法進(jìn)行解題時,需要通過觀察、分析發(fā)現(xiàn)題干中函數(shù)結(jié)構(gòu)的共性,通過整理等變形手段將等式(或不等式)兩側(cè)進(jìn)行同構(gòu).再完成同構(gòu)后,即可構(gòu)造函數(shù),利用函數(shù)的單調(diào)性簡化不等式.整理變形的技巧包括(但不限于)移項、通分、對數(shù)恒等式等等;有時也需對等式(或不等式)兩側(cè)進(jìn)行添項后完成同構(gòu).

根據(jù)上面的例題顯示,對于含指、對數(shù)的結(jié)構(gòu)時常見的變形技巧有: