徐琴輝

(浙江省東陽市吳寧第一初級(jí)中學(xué) 浙江 東陽 322100)

1.原題

(2018年第20題)如圖，在6×6的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)A在格點(diǎn)(小正方形的頂點(diǎn))上．試在各網(wǎng)格中畫出頂點(diǎn)在格點(diǎn)上，面積為6，且符合相應(yīng)條件的圖形。

圖1:以點(diǎn)A為頂點(diǎn)的三角形 圖2:以點(diǎn)A為頂點(diǎn)的平行四邊形 圖3:以點(diǎn)A為對(duì)角線交點(diǎn)的平行四邊形

(2019年第20題)如圖，在7×6的方格中，△ABC的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上．試按要求畫出線段EF(E，F(xiàn)均為格點(diǎn))，各畫出一條即可。

這兩題是經(jīng)典的數(shù)學(xué)開放題。國家教委將“數(shù)學(xué)開放題”列為九五重點(diǎn)科研項(xiàng)目。我們數(shù)學(xué)教育不僅要讓學(xué)生學(xué)會(huì)必需的數(shù)學(xué)基本知識(shí)、基本方法、基本技能，更重要的是讓學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光看待世界，用數(shù)學(xué)的思維方式去觀察分析現(xiàn)實(shí)社會(huì)，去解決現(xiàn)實(shí)生活中的問題。數(shù)學(xué)開放題對(duì)培養(yǎng)學(xué)生思維的發(fā)散性、創(chuàng)造性不失為好的載體。

細(xì)看這兩題，每題都有3小題構(gòu)成且有大前題，每小題又分別有不同的要求。我們可以發(fā)現(xiàn)編者的良苦用心:(1)條件開放,每小題的要求不同；(2)結(jié)論開放,每小題都有多種不同的畫法；(3)策略開放,每位學(xué)生的知識(shí)水平不同，產(chǎn)生思考的角度不同。這兩題都放在20題的位置,應(yīng)該難度不大，但中考考試的情況是:學(xué)生到了這里就皺起了眉頭，原來解題的速度也慢下來了。在評(píng)卷過程中也發(fā)現(xiàn)了許多意想不到的失分點(diǎn)。這值得我們深思平時(shí)的數(shù)學(xué)教學(xué)。

2.近年來開放題教學(xué)的一些誤區(qū)

2.1 把開放題教成封閉題。比如，在三角形全等這章的教學(xué)中經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)如下的開放題:如圖所示，AB=AD，∠1=∠2，添加一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件，使△ABC≌△ADE，則需要添加的條件是________(只要寫出一種)。出題的意圖是讓學(xué)生用多種方法，多角度去思考這一問題，以便掌握三角形全等的各種方法。但有些教師為了學(xué)生不丟分，就讓學(xué)生填一對(duì)角相等的條件。而不去讓學(xué)生自由發(fā)揮，以便更好的了解學(xué)生，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維。

2.2 缺乏對(duì)教材的挖掘，沒有進(jìn)行很好的思維引導(dǎo)。

浙教版八下第五章5.1的作業(yè)題第4題:

(1)判斷如圖5×5方格內(nèi)四邊形ABCD是不是矩形，請(qǐng)說明理由。(2)以DE為一邊作一個(gè)矩形，要求另外兩個(gè)頂點(diǎn)也在方格頂點(diǎn)上。

其中的第2小題，許多教師可能只會(huì)讓學(xué)生去畫矩形，而沒有去引導(dǎo)學(xué)生畫的本質(zhì)是畫直角，怎樣在網(wǎng)格中畫直角(或垂直)。

3.有效開展開放題教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的深層數(shù)學(xué)思維方式

3.1 教師蹲下身子，多聽聽學(xué)生的思考情況。本人參加了2018年的中考數(shù)學(xué)改卷，詳細(xì)了解過20題的答題情況，真正體會(huì)到了“不看不知道，一看嚇一跳”的心境。在教學(xué)中我們教師再不能墨守成規(guī)了，學(xué)生比我們想象得厲害多。

以2018年的答題為例。

第1小題，面積為6的三角形：(1)底為4，高為3;(2)底為3，高為4;(3)底為6，高為2。

形狀:等腰三角形或直角三角形或一般三角形

第2小題，面積為6的平行四邊形(1)底為3，高為2 (2)底為2，高為3

形狀:平行四邊形→矩形；位置:邊在網(wǎng)格線上;邊不在網(wǎng)格線上

第3小題目，以A為對(duì)角線交點(diǎn):底為3，高為2；底為2，高為3；以√2，3√2為邊的矩形。

在改這一題中，還發(fā)生的一點(diǎn)趣事。剛開始時(shí)，許多老師都認(rèn)為這題是送分題，很好改，所以分到這組的老師較少。結(jié)果改了一天后，發(fā)現(xiàn)學(xué)生的答案五花八門，真是太多了，許多老師都看花了眼，以至改卷速度也相對(duì)是比較慢的一題。

3.2 課堂教學(xué)中教師要注重課堂生成、以學(xué)生為主體，讓學(xué)生插上想象的翅膀。從人學(xué)角度說，人是生成性的存在，人的發(fā)展具有豐富的可能性，是不確定的、不可限量的，也是不可算度的。學(xué)生不是配合教師上課的配角，而是具有主觀能動(dòng)性的人。他們作為一種活生生的力量，帶著自己的知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)、思考、靈感、興致參與課堂活動(dòng)，并成為課堂教學(xué)不可分割的一部分，從而使課堂教學(xué)呈現(xiàn)出多樣性、豐富性和隨機(jī)性。從課程角度說，課程不只是“文本課程”，而更是“體驗(yàn)課程”，這意味著，課程的內(nèi)容和意義在本質(zhì)上并不是對(duì)所有人都相同的，在特定的教育情境中，每一位教師和學(xué)生對(duì)給定的內(nèi)容都有其自身的理解，對(duì)給定內(nèi)容的意義都有其自身的解讀。從教學(xué)角度說，教學(xué)不是教師教學(xué)生學(xué)、教師傳授學(xué)生接受的過程，而是教與學(xué)交往、互動(dòng)的過程，師生雙方相互交流、相互溝通、相互啟發(fā)、相互補(bǔ)充，在這個(gè)過程中教師與學(xué)生分享彼此的思考、經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)，交流彼此的情感、體驗(yàn)與觀念，豐富教學(xué)內(nèi)容，求得新的發(fā)現(xiàn)，教學(xué)是一個(gè)發(fā)展的、增值的、生成的過程。

基于此，在數(shù)學(xué)開放題的課堂教學(xué)中，我們教師更應(yīng)注重課堂生成，少些課堂預(yù)設(shè)。教師要轉(zhuǎn)變角色和教學(xué)行為，要不斷地捕捉、判斷、重組課堂教學(xué)中從學(xué)生那里涌現(xiàn)出來的各種信息，把有價(jià)值的新信息和新問題納入教學(xué)過程，使之成為教學(xué)的亮點(diǎn)，成為學(xué)生智慧的火種。教師只能引導(dǎo)學(xué)生自由、主動(dòng)地生成和發(fā)展，讓學(xué)生真正成為課堂的主人，發(fā)散他們的思維，讓他們插上想象的翅膀。

葉瀾教授所指出的：“教師只要思想上真正顧及了學(xué)生多方面成長(zhǎng)、顧及了生命活動(dòng)的多面性和師生共同活動(dòng)中多種組合和發(fā)展方式的可能，就能發(fā)現(xiàn)課堂教學(xué)具有生成性的特征?！比绻f，傳統(tǒng)課堂把“生成”看成一種意外收獲，那么新課程則把“生成”當(dāng)成一種價(jià)值追求；如果說傳統(tǒng)課堂把處理好預(yù)設(shè)外的情況看成一種“教育智慧”，新課程則把“生成”當(dāng)成彰顯課堂生命活力的常態(tài)要求?？梢哉f，生成是新課程課堂教學(xué)的一個(gè)亮點(diǎn)，它體現(xiàn)了課堂教學(xué)的豐富性、開放性、多變性和復(fù)雜性，激發(fā)了師生的創(chuàng)造性和智慧潛能，從而使課堂真正煥發(fā)出生命活力。

3.3 采用“一課一題”模式，開展開放題的復(fù)習(xí)課教學(xué)。

以2019年的為例，我設(shè)計(jì)了如下一節(jié)復(fù)習(xí)課。

設(shè)計(jì)的指導(dǎo)思想:教師的角色定位，即在教學(xué)過程中，教師不是教學(xué)活動(dòng)的主角，而是“編劇”和“導(dǎo)演”；不是知識(shí)的傳授者，而是教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)活動(dòng)的設(shè)計(jì)者、促進(jìn)者、示范者、組織者、調(diào)控者。

引入:復(fù)習(xí)尺規(guī)作圖:平分一條線段，作已知線段的中垂線。

出示第一小題:在7×6的方格中，△ABC的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上．試按要求畫出線段EF(E，F(xiàn)均為格點(diǎn)).

問題引領(lǐng)：(1)平分線段想到什么?(2)進(jìn)行不同的嘗試?

給學(xué)生充分的思考時(shí)間，教師選擇有代表性、典型性的幾位學(xué)生進(jìn)行展示，并講解自己的思考切入點(diǎn)。

(總結(jié):平分想到中點(diǎn)，平行四邊形的對(duì)角線互相平分)

出示第二小題:在7×6的方格中，△ABC的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上．試按要求畫出線段EF(E，F(xiàn)均為格點(diǎn))。

問題引領(lǐng):(1)垂直想到什么?(2)進(jìn)行不同的嘗試?

給學(xué)生充分的思考時(shí)間，教師選擇有代表性、典型性的幾位學(xué)生進(jìn)行展示，并講解自己的思考切入點(diǎn)。

(總結(jié):垂直想到直角，菱形和正方形的對(duì)角線互相垂直)

出示第三小題:在7×6的方格中，△ABC的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上．試按要求畫出線段EF(E，F(xiàn)均為格點(diǎn))。

問題引領(lǐng): (1)垂直平分想到什么? (3)怎樣的四邊形的對(duì)角線是互相垂直平分的?

(總結(jié):菱形和正方形的對(duì)角線互相垂直平分)

給學(xué)生充分的思考時(shí)間，教師選擇有代表性、典型性的幾位學(xué)生進(jìn)行展示，并講解自己的思考切入點(diǎn)。

最后，學(xué)生小結(jié)學(xué)習(xí)中的一些收獲和困惑；教師總結(jié)，數(shù)學(xué)培養(yǎng)的是我們的思維方式，碰到問題多思考，辦法總比問題多。

3.4 今后的教學(xué)啟示。

(1)注重幾何直觀，提升思維靈動(dòng)。在中對(duì)學(xué)生要求經(jīng)歷借助圖形思考問題的過程，初步建立幾何直觀。幾何直觀主要是指利用圖形和分析問題，借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡(jiǎn)明、形象，有助于探索解決問題的思路，預(yù)測(cè)結(jié)果。幾何直觀可以幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)，在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中都發(fā)揮著重要作用。幾何直觀解題經(jīng)驗(yàn)的積累能提升學(xué)生思維靈動(dòng)性，進(jìn)而使學(xué)生的數(shù)學(xué)能力產(chǎn)生質(zhì)的提升。

(2)注重思維變式，促成思維生長(zhǎng)。思維變式能力的培養(yǎng)依賴于變式教學(xué)。數(shù)學(xué)變式教學(xué)是通過變更數(shù)學(xué)概念的非本質(zhì)特征來暴露問題本質(zhì)特征的教學(xué)方法。有效的變式教學(xué)需要在具體和特殊的，有序變化的情境中，用類比、歸納等方法認(rèn)識(shí)相關(guān)問題的差異性和共性，從而抽象出數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)。思維變式的最終目的還是為了思維生長(zhǎng)。變式最主要還是為了不變。

(3)注重學(xué)生生成，課前充分預(yù)設(shè)。課堂生成不是信馬由韁、漫無邊際，而是緊扣教學(xué)目標(biāo)、圍繞教學(xué)內(nèi)容、基于學(xué)生認(rèn)識(shí)，通過教學(xué)活動(dòng)促進(jìn)學(xué)生知識(shí)掌握、思維發(fā)展、習(xí)慣養(yǎng)成、能力提升，所有這些都必須基于課前的充分預(yù)設(shè)。充分的預(yù)設(shè)要求教師在課前認(rèn)真研究教材，分析學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)，確定教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)。在教學(xué)實(shí)施中，當(dāng)學(xué)生的活動(dòng)偏離了預(yù)設(shè)時(shí)，教師不要打斷學(xué)生思維，而要通過設(shè)問把引導(dǎo)到預(yù)設(shè)的教學(xué)目標(biāo)上來。在課堂中多進(jìn)行開放式的教學(xué)有利于生成性資源的產(chǎn)生。真正的發(fā)現(xiàn)之旅不在于尋找新的景觀，而在于擁有新的眼界。

總之，在開放題的教學(xué)上要教師要注意講究“放”的策略，既要大膽地“放一放”，把時(shí)間留給學(xué)生，讓學(xué)生有機(jī)會(huì)去探索全面、正確的結(jié)論，又要善于把握全局，調(diào)控“放”度，凡是學(xué)生能提的問題，教師決不代替；學(xué)生能思考的問題，教師決不暗示；學(xué)生能解決的問題，教師決不插手，真正做到適時(shí)而“放”，提高“放”的整體效率。

希望我們教師在平時(shí)的教學(xué)中，多思考數(shù)學(xué)的本質(zhì)是什么，什么是我們要教給學(xué)生的，什么是學(xué)生終身有用的。讓學(xué)生真正體會(huì)數(shù)學(xué)的魅力,愛上數(shù)學(xué)。