■呂良英

“等時(shí)圓”是由意大利著名物理學(xué)家伽利略提出的應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決物理問(wèn)題的經(jīng)典模型。同學(xué)們?cè)谟龅揭恍┥婕百|(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間的問(wèn)題時(shí),如果能夠通過(guò)數(shù)理分析,構(gòu)建出“等時(shí)圓”,那么就可以運(yùn)用“等時(shí)圓”規(guī)律快速做出判斷,省時(shí)又省力。下面舉例說(shuō)明。

一、“等時(shí)圓”的基本規(guī)律

1.如圖1 所示,A為豎直平面內(nèi)圓周上的最高點(diǎn),B、C、D、E、F、…為圓周上的任意點(diǎn),質(zhì)點(diǎn)從A點(diǎn)沿不同的光滑斜面AB、AC、AD、AE、AF、…由靜止開(kāi)始下滑,到達(dá)斜面底端所用的時(shí)間都相等。

圖1

2.如圖2 所示,A為豎直平面內(nèi)圓周上的最低點(diǎn),B、C、D、E、F、…為圓周上的任意點(diǎn),質(zhì)點(diǎn)從B、C、D、E、F、…各點(diǎn)沿光滑斜面BA、CA、DA、EA、FA、…由靜止開(kāi)始下滑,滑至A點(diǎn)所用的時(shí)間都相等。

圖2

例1 如圖3 所示,光滑細(xì)桿BC、DC和AC構(gòu)成矩形ABCD的兩鄰邊和對(duì)角線(xiàn),已知三根細(xì)桿的長(zhǎng)度之比為1∶3∶2,細(xì)桿AC豎直。每根細(xì)桿上分別套有一小球a、b、d,三個(gè)小球的質(zhì)量之比m1∶m2∶m3=1∶2∶3?，F(xiàn)將三個(gè)小球同時(shí)從各細(xì)桿的上端由靜止釋放,不計(jì)空氣阻力,則這三個(gè)小球沿各細(xì)桿滑行的時(shí)間之比為( )。

圖3

A.1∶1∶1 B.1∶3∶2

C.1∶4∶9 D .1 ∶3∶4

因?yàn)锳BCD為矩形,所以A、B、C、D四點(diǎn)必定在以AC邊為直徑的同一圓周上。三個(gè)小球同時(shí)從各細(xì)桿的上端由靜止下滑至C點(diǎn),遵循“等時(shí)圓”的基本規(guī)律,因此三個(gè)小球必定同時(shí)到達(dá)圓周的最低點(diǎn)C。

答案:A

同學(xué)們?nèi)舨荒芾镁匦蔚膸缀涡再|(zhì),得出“A、B、C、D四點(diǎn)必定在以AC邊為直徑的同一圓周上”這一結(jié)論,就不會(huì)聯(lián)想到“等時(shí)圓”模型。本題也可以利用勻變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)規(guī)律和自由落體運(yùn)動(dòng)規(guī)律,逐一求出a、b、d三個(gè)小球的滑行時(shí)間,但是相較于利用“等時(shí)圓”基本規(guī)律求解的過(guò)程既復(fù)雜煩瑣,又容易出錯(cuò)。

二、“等時(shí)圓”的推廣規(guī)律

1.如圖4所示,A、B、C、D、E、F、…為豎直平面內(nèi)圓周上的任意點(diǎn),過(guò)其中較高的一點(diǎn)(不是最高點(diǎn))的豎直線(xiàn)(虛線(xiàn))可以把圓分割成優(yōu)弧和劣弧兩部分,質(zhì)點(diǎn)從該點(diǎn)由靜止開(kāi)始沿不同的光滑斜面下滑,從劣弧一側(cè)開(kāi)始質(zhì)點(diǎn)滑至離該點(diǎn)越近的點(diǎn)所用的時(shí)間越短,滑至離該點(diǎn)越遠(yuǎn)的點(diǎn)所用的時(shí)間越長(zhǎng)。比如,質(zhì)點(diǎn)從A點(diǎn)(不是最高點(diǎn))沿不同的光滑斜面AB、AC、AD、AE、AF、…由靜止開(kāi)始下滑至斜面底端所用的時(shí)間大小關(guān)系為

圖4

t1＜t2＜t3＜t4＜t5。

2.如圖5所示,A、B、C、D、E、F、…為豎直平面內(nèi)圓周上的任意點(diǎn),過(guò)其中較低的一點(diǎn)(不是最低點(diǎn))的豎直線(xiàn)(虛線(xiàn))可以把圓分割成優(yōu)弧和劣弧兩部分,質(zhì)點(diǎn)從圓周上比這個(gè)點(diǎn)高的其他點(diǎn)由靜止開(kāi)始沿不同的光滑斜面下滑至該點(diǎn),從劣弧一側(cè)開(kāi)始質(zhì)點(diǎn)出發(fā)位置離該點(diǎn)越近所用的時(shí)間越短,質(zhì)點(diǎn)出發(fā)位置離該點(diǎn)越遠(yuǎn)所用的時(shí)間越長(zhǎng)。比如,質(zhì)點(diǎn)從B、C、D、E、F、…各點(diǎn)沿光滑斜面BA、CA、DA、EA、FA、…由靜止開(kāi)始下滑至A點(diǎn)(不是最低點(diǎn))所用的時(shí)間大小關(guān)系為t1＜t2＜t3＜t4＜t5。

圖5

例2 如圖6 所示,AB、AC、AD是固定在豎直平面內(nèi)的三根光滑細(xì)桿,A、B、C、D四點(diǎn)位于同一圓周上,圓內(nèi)AE為水平線(xiàn),細(xì)桿AB、AC、AD互成30°角,每根細(xì)桿上分別套有一質(zhì)量均為m的小球。小球從細(xì)桿頂端由靜止下滑到A點(diǎn)所用的時(shí)間分別為t1、t2、t3,則( )。

圖6

A.t1=t2=t3B.t1＞t2＞t3

C.t1＜t2＜t3D.條件不足,無(wú)法判斷

A點(diǎn)不是圓周上的最低點(diǎn),小球從細(xì)桿頂端由靜止下滑到A點(diǎn),遵循“等時(shí)圓”的推廣規(guī)律。與水平線(xiàn)AE垂直的線(xiàn)將圓周分割成優(yōu)弧和劣弧兩部分,從劣弧一側(cè)開(kāi)始,B、C、D三點(diǎn)距離A點(diǎn)越來(lái)越遠(yuǎn),小球沿細(xì)桿AB、AC、AD下滑所用的時(shí)間越來(lái)越長(zhǎng),因此t1＜t2＜t3。

答案:C

本題也可以通過(guò)作輔助線(xiàn),構(gòu)建出與B、C、D三點(diǎn)分別對(duì)應(yīng)的“等時(shí)圓”,先利用“等時(shí)圓”的基本規(guī)律找到與從B、C、D三點(diǎn)下滑所用時(shí)間相同的B′、C′、D′的位置,再根據(jù)B′、C′、D′三點(diǎn)與A點(diǎn)的位置關(guān)系,結(jié)合自由落體運(yùn)動(dòng)規(guī)律,判斷出時(shí)間t1、t2、t3的大小關(guān)系。

1.如圖7所示,在同一豎直平面內(nèi),一半圓的直徑水平,與另一圓的底部相切于O點(diǎn),O點(diǎn)恰好是下方半圓的圓心。三條光滑軌道AOB、COD、EOF的兩端分別位于上下兩圓的圓周上,三條軌道與豎直線(xiàn)O′O″的夾角關(guān)系為α＞β＞θ?，F(xiàn)讓一小物塊分別從三條軌道的頂端由靜止下滑至底端,所用的時(shí)間分別為t1、t2、t3,則( )。

圖7

A.t1=t2=t3B.t1＞t2＞t3

C.t1＜t2＜t3D.t1=t2＜t3

2.如圖8所示,位于豎直平面內(nèi)的固定光滑圓形軌道與豎直墻壁相切于A點(diǎn),與水平面相切于B點(diǎn),圓心為O,在圓形軌道內(nèi)搭接有AB、AC兩條光滑傾斜軌道,軌道AC與豎直墻壁間的夾角α=60°?，F(xiàn)將質(zhì)量相同的三個(gè)小球a、b、c分別放在軌道AB、AC的頂端和圓心O處,同時(shí)放手,讓三個(gè)小球由靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)(c球可以直接穿過(guò)軌道AC),則( )。

圖8

A.a球最先到達(dá)B點(diǎn)

B.b球最先到達(dá)C點(diǎn)

C.c球最先到達(dá)B點(diǎn)

D.a、c兩球同時(shí)到達(dá)B點(diǎn)

參考答案:1.B 2.C