基于橡膠減震器目標剛度曲線的多參數(shù)優(yōu)化

王竹清,王 偉

(青島科技大學 橡塑材料與工程教育部重點實驗室,山東 青島 266042)

一般,優(yōu)化分為拓撲優(yōu)化和參數(shù)優(yōu)化,兩種優(yōu)化方式既可以同時應(yīng)用于某一零件,也可單獨用于產(chǎn)品設(shè)計。拓撲優(yōu)化常用于剛度較大的金屬零件及混凝土結(jié)構(gòu)等,如胡海明等[1]對輪胎模具弓形座進行拓撲優(yōu)化,李東斌等[2]基于應(yīng)變能對橋梁結(jié)構(gòu)進行拓撲優(yōu)化。由于含有橡膠材料的數(shù)學模型有著復雜的非線性行為,很難通過解析求解的方法進行優(yōu)化。因此,橡膠制品常需借助有限元方法進行參數(shù)優(yōu)化,如黃祖宇[3]和孫蓓蓓等[4]以剛度曲線為目標函數(shù)分別對橡膠減震器和橡膠懸架進行參數(shù)優(yōu)化。但同時對橡膠制品的尺寸和材料屬性進行優(yōu)化的相關(guān)文獻較少,本研究通過在Isight平臺上集成Abaqus和Data Matching模塊,在僅知道橡膠本構(gòu)模型參數(shù)范圍和制品規(guī)定尺寸范圍的情況下,同時對某車用橡膠減震器的本構(gòu)模型參數(shù)和尺寸進行參數(shù)優(yōu)化,使橡膠減震器的載荷－位移曲線符合目標剛度曲線。

1 橡膠減震器有限元建模

1.1 幾何模型和有限元模型

本研究采用的橡膠減震器結(jié)構(gòu)如圖1所示。該橡膠減震器安裝在汽車前橋和車架之間,在汽車行駛過程中,起到維持行駛高度和緩沖減震的作用。上下兩部分為金屬框架,用于連接汽車前橋和車架,嵌在金屬架內(nèi)的為橡膠結(jié)構(gòu),起到支撐和緩沖的作用。

圖1 橡膠減震器的結(jié)構(gòu)Fig.1 Structure of rubber damper

由于該橡膠減震器是上下對稱的軸對稱結(jié)構(gòu),因此僅需要提取其中一個四分之一截面,建立軸對稱分析模型,網(wǎng)格模型如圖2所示。橡膠屬于不可壓縮材料,故網(wǎng)格類型選用雜交單元CGAX4H。上下金屬套簡化為剛體。

圖2 橡膠減震器的有限元模型Fig.2 Finite element model of rubber damper

1.2 橡膠本構(gòu)模型

橡膠是一種超彈性材料,具有應(yīng)變大非線性強的特征。目前,用來描述橡膠材料最常用的本構(gòu)模型是基于唯象理論的Yeoh模型和Ogden三階模型。其中Yeoh模型是廣義Mooney-Rivlin多項式的一種特殊形式,如式(1)所示:

式(1)中:C10、C20、C30為材料常數(shù),它們分別反映橡膠的模量、橡膠形變過程中的軟化現(xiàn)象、橡膠的硬化現(xiàn)象,I1為第一Green應(yīng)變不變量。

Ogden模型是采用主拉伸作為基準變量的本構(gòu)模型,如式(2)所示:

式(2)中:N為模型的階數(shù),J為彈性體積比,λ1、λ2、λ3為應(yīng)變張量3個方向上的主伸長率,μi、αi為材料常數(shù),Dk為反映橡膠不可壓縮的參數(shù)。

要準確擬合上述兩個本構(gòu)模型,需要通過試驗得到橡膠材料的拉伸、剪切和壓縮狀態(tài)下的力學性能。這些性能分別通過單軸拉伸試驗、剪切試驗和壓縮試驗獲得,但在壓縮試驗中,橡膠試件表面摩擦力無法消除,側(cè)面無法實現(xiàn)自由膨脹,誤差較大,故常用等軸拉伸試驗代替壓縮試驗。等軸拉伸試驗通過一定數(shù)量等間距的夾子對橡膠試樣進行多個方向等軸拉伸,可消除摩擦力帶來的剪應(yīng)變影響。由于能同時完成上述試驗的國內(nèi)單位很少,且測試價格昂貴。因此,若能根據(jù)橡膠制品的性能要求,反推出橡膠本構(gòu)模型的參數(shù),則具有非常重要的工程應(yīng)用價值。由式(2)可知,Ogden三階模型共有6個參數(shù),會極大地增加反演計算難度,且Ogden模型在計算大應(yīng)變時,易出現(xiàn)不收斂的情況[5]。由式(1)知,Yeoh模型僅含有3個參數(shù)C10、C20和C30,且其在大應(yīng)變下收斂性好,計算效率高,故本研究采用Yeoh模型來描述橡膠減震器中的橡膠材料的非線性力學行為。

2 優(yōu)化過程

2.1 優(yōu)化三要素

優(yōu)化在數(shù)學上被定義為:滿足限定條件,求得最優(yōu)解。求解優(yōu)化問題有3大要素,分別為設(shè)計變量、目標函數(shù)和約束限制。在優(yōu)化過程中允許改變的參數(shù),被稱為設(shè)計變量。目標函數(shù)是設(shè)計變量的函數(shù),它是設(shè)計目的的具體體現(xiàn)。在優(yōu)化過程中,設(shè)計變量的改變不是隨意的,它必須符合數(shù)學邏輯以及一些工程規(guī)定。因此需要對設(shè)計變量施加約束條件,這些條件被稱為約束限制。優(yōu)化問題可以用式(3)簡單描述如下:

式(3)中,x為設(shè)計變量,f(x)為目標函數(shù),gi(x)和hj(x)為約束限制。

在本研究中,橡膠本構(gòu)參數(shù)和橡膠減震器關(guān)鍵尺寸為設(shè)計變量,評價橡膠減震器的剛度曲線與目標剛度曲線的差距為目標函數(shù),橡膠本構(gòu)參數(shù)和橡膠減震器關(guān)鍵尺寸的優(yōu)化范圍即為約束限制。

2.2 優(yōu)化方法

在Isight中有3類優(yōu)化方法,分別為梯度法、直接法和全局法。梯度法適用于線性函數(shù)求解,而含有橡膠材料的數(shù)學模型常具有非線性,故梯度法不適用于求解橡膠制品。全局法理論上能求得全局最優(yōu)解,但隨著參數(shù)數(shù)量增加,其計算時間成本大幅度增加,且易出現(xiàn)失敗解[6]。直接法計算效率高,求解步長大,可用來求解非線性問題。因此,直接法在工程中得到廣泛應(yīng)用,但其缺點是計算結(jié)果一定程度上仰賴初值[7]。優(yōu)化算法對初值的選擇十分敏感,一個好的初值選取可在很大程度上降低優(yōu)化計算量,增加計算精度。可通過DOE(design of experiments)試驗方法,較方便地為直接法尋找一個合適的初值。

在Isight中直接法共有兩種算法,分別為Downhill Simplex算法和Hooke-Jeeves算法,其中Downhill Simplex算法使用單純形(simplex)的概念,通過改變單純形的尺寸及頂點位置以探索設(shè)計空間,該方法求解跳躍性較大,而橡膠材料的參數(shù)優(yōu)化不能進行很大的尺寸變動,這會產(chǎn)生較多失敗解,影響計算精度。Hooke-Jeeves算法是通過一個罰函數(shù)值來探索設(shè)計空間,求解過程較為穩(wěn)定,故本研究采用的直接法是Hooke-Jeeves算法[8],其最優(yōu)解的求解步驟如下:

步驟1:給定初始點、初始步長和坐標向量分別為x(1)、t和e1,e2,…,en,令加速因子α≥1,縮減率0＜β＜1,使k＝i＝1,y(1)＝x(1);

步驟2:若f(y(i)＋tei)＜f(y(i)),正方向離散步探索成功,令

轉(zhuǎn)步驟4;若f(y(i)＋tei)≥f(y(i)),正方向離散步探索失敗,轉(zhuǎn)步驟3;

步驟3:若f(y(i)－tei)＜f(y(i)),令

轉(zhuǎn)步驟4;

步驟4:若i＜n,令i＝i＋1,返回步驟2;否則i＝n,若f(y(n＋1))≥f(x(k)),轉(zhuǎn) 步 驟6;若f(y(n＋1))＜f(x(k)),則轉(zhuǎn)步驟5;

步驟5:使x(k＋1)＝y(tǒng)(n＋1),令

使k＝k＋1,i＝1,返回步驟2;

步驟6:若t≤β,則迭代停止,得點xk;否則,令

使k＝k＋1,i＝1,返回步驟2。

2.3 本構(gòu)模型的參數(shù)范圍

在Yeoh模型中,C10反映橡膠的模量,C20反映橡膠形變過程中的軟化現(xiàn)象,C30反映橡膠的硬化現(xiàn)象。根據(jù)常規(guī)橡膠的力學性能,給出這3個參數(shù)大致范圍[9],如表1所示。

表1 本構(gòu)模型參數(shù)的優(yōu)化范圍Table 1 Optimization range of constitutive model parameters

2.4 橡膠減震器的尺寸范圍

對橡膠減震器的空腔高度H、空腔半徑L以及橡膠體與下截面的外傾角R3個關(guān)鍵設(shè)計參數(shù)進行優(yōu)化,各尺寸參數(shù)位置如圖3所示。本研究參照文獻[3]中給定的尺寸設(shè)計范圍,如表2所示。

圖3 橡膠減震器待優(yōu)化尺寸Fig.3 Size of rubber damper to be optimized

表2 橡膠減震器尺寸參數(shù)的優(yōu)化范圍Table 2 Optimization range of size parameters of rubber damper

2.5 正交試驗預估初始值

由于設(shè)計變量有6個參數(shù),它們包含橡膠減震器本構(gòu)模型參數(shù)3個和尺寸參數(shù)3個。這會導致優(yōu)化的計算量極其龐大,且不易找到全局最優(yōu)解。因此,若能找到一個逼近全局解的初始值,會大大提高計算效率,增加求解準確度。通過DOE試驗的方法可以快速地確定初始值,本研究采用正交數(shù)組方法(Orthogonal Arrays)安排這6個設(shè)計變量之間的試驗組合[10],如表3所示。正交表格中共設(shè)計16組試驗,其中C10、R、H和L參數(shù)采用4因子水平,C20和C30采用2因子水平。

表3 L 16(44×22)設(shè)計變量正交表Table 3 L 16(44×22)Orthogonal table of design variables

經(jīng)過16組試驗后,確定第6組試驗組合求得的剛度曲線與目標剛度曲線最接近,故將第6組試驗參數(shù)作為初值。此時橡膠減震器的初始剛度曲線與目標剛度曲線如圖4所示。

圖4 橡膠減震器初始剛度曲線與目標剛度曲線Fig.4 Initial stiffness curve and objective stiffness curve of rubber damper

3 目標函數(shù)及優(yōu)化結(jié)果分析

在橡膠減震器的優(yōu)化過程中,優(yōu)化目標是縮小橡膠減震器的剛度曲線與目標剛度曲線之間的差距。本研究采用橡膠減震器剛度曲線與目標剛度曲線的面積差絕對值之和(sum of the absolute area difference)來衡量二者之間的差距,初始面積差絕對值之和為260.5。

利用Hooke-Jeeves算法進行優(yōu)化迭代,共迭代101次,并在第95次迭代獲得最優(yōu)解,此時面積差絕對值之和為33.9。橡膠減震器剛度曲線與目標剛度曲線間的面積差絕對值之和在迭代過程中的變化如圖5所示。

圖5 橡膠減震器剛度曲線與目標剛度曲線間的面積差絕對值之和在迭代過程中的變化Fig.5 Variation of the absolute area differences between the rubber damper stiffness curve and the objective stiffness curve during iteration

在第95次迭代時,仿真剛度曲線與目標剛度曲線間的面積差絕對值之和的值最小,即為最優(yōu)解,此時橡膠減震器的本構(gòu)模型參數(shù)和尺寸參數(shù)見表4。利用經(jīng)驗公式E＝6C10和HA＝(100E－15.75)/(2.15＋E)可知[11],當C10為0.542 MPa時,楊氏模量E為3.252 MPa,邵A硬度HA為57.284(初步估計橡膠的邵A硬度在60左右),從而可以指導進行橡膠配方設(shè)計,給出滿足橡膠減震器剛度性能要求的合理配方,這樣會大幅度降低進行配方試驗和力學性能測試的次數(shù),縮短開發(fā)周期。

表4 橡膠減震器的最優(yōu)本構(gòu)模型參數(shù)和尺寸參數(shù)Table 4 Optimal constitutive model parameters and dimension parameters of rubber damper

當橡膠減震器的本構(gòu)模型參數(shù)和尺寸參數(shù)均采用最優(yōu)解時,橡膠減震器的仿真剛度曲線與目標剛度曲線如圖6所示,此時兩條曲線的相對誤差為4.9%。

圖6 優(yōu)化后橡膠減震器剛度曲線與目標剛度曲線對比圖Fig.6 Comparison of optimized rubber damper stiffness curve and objective stiffness curve

對比橡膠減震器優(yōu)化后的剛度曲線與目標剛度曲線,可以看到二者盡管不能完全一致,但無論是在高壓縮量還是低壓縮量范圍內(nèi),與目標剛度曲線的誤差均較小。

4 結(jié) 論

1)通過Isight平臺集成Abaqus和Data Matching模塊,對橡膠減震器的本構(gòu)模型參數(shù)和關(guān)鍵尺寸參數(shù)進行了多參數(shù)優(yōu)化;

2)采用正交試驗方法,確定多參數(shù)優(yōu)化初值,大大提高了優(yōu)化效率和準確度;

3)在正交試驗的優(yōu)化初值下,采用Hooke-Jeeves算法進行優(yōu)化迭代,并得到了一組符合橡膠減震器目標剛度曲線的最優(yōu)解。

通過對橡膠減震器的剛度曲線優(yōu)化分析,本研究提出了一種可同時優(yōu)化橡膠本構(gòu)模型參數(shù)和橡膠制品結(jié)構(gòu)參數(shù),進而滿足制品性能為目標函數(shù)的新方法,借助優(yōu)化預測的本構(gòu)模型參數(shù)可以反推橡膠的模量和硬度,為橡膠配方設(shè)計提供指導。