基于公理化模糊集合的TOPSIS 多屬性決策方法

王 虎，潘小東，康 波

（西南交通大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，四川 成都 611756）

1981 年，Hwang 等[1]提出了基于理想點(diǎn)原理的TOPSIS 方法，經(jīng)典的TOPSIS 方法一般用于以確定的實(shí)數(shù)作為屬性值的多屬性決策方法。1965 年，Zadeh[2]首次提出了模糊集合的概念，將數(shù)學(xué)理論與應(yīng)用的研究范圍從精確性問(wèn)題拓展到了模糊性問(wèn)題。1970 年，Bellman 等[3]首次基于模糊集理論建立了模糊決策的基本模型。此后，基于模糊集合以及模糊集合的各種擴(kuò)展模型的模糊決策方法被相繼提出。胡輝等[4]在2007 年提出了基于區(qū)間直覺(jué)模糊集的TOPSIS 多屬性決策方法，將屬性值由確定的實(shí)數(shù)替換為區(qū)間直覺(jué)模糊數(shù)，希望解決屬性難以用準(zhǔn)確值表示的TOPSIS 多屬性決策問(wèn)題。2017 年，王應(yīng)明等[5]提出了基于前景理論的猶豫模糊TOPSIS 多屬性決策方法，考慮到實(shí)際決策過(guò)程中決策者的猶豫心理，選用一組語(yǔ)言值來(lái)對(duì)屬性進(jìn)行描述。2018 年，張文等[6]提出了基于區(qū)間猶豫模糊語(yǔ)言集的TOPSIS 多屬性決策方法，使用了區(qū)間猶豫模糊語(yǔ)言數(shù)來(lái)表示屬性值，能夠更加細(xì)膩、準(zhǔn)確地描述事物的模糊性。

在模糊多屬性決策過(guò)程中，備選方案的屬性值往往需要使用定性的評(píng)價(jià)自然語(yǔ)言去描述。對(duì)評(píng)價(jià)自然語(yǔ)言的處理，目前常用的第一種方法是用模糊數(shù)、三角模糊數(shù)、直覺(jué)模糊數(shù)等來(lái)表示語(yǔ)言值[7?11]；但存在的問(wèn)題是，模糊數(shù)或者擴(kuò)展的模糊數(shù)的隸屬度的確定存在較大主觀性，并且這些模糊數(shù)與決策者在決策過(guò)程中所使用的評(píng)價(jià)語(yǔ)言值很難建立合理的對(duì)應(yīng)關(guān)系。第二種常采用的方法是把一組語(yǔ)言值用集合S={sa|α=?t,···,?1,0,1,···,t}表示，并且通過(guò)集合S中元素的下標(biāo)來(lái)定義對(duì)應(yīng)語(yǔ)言值之間的序關(guān)系、集結(jié)及相似度等計(jì)算的算子[12?16]。例如，Rodríguez 等[15?16]根據(jù)猶豫模糊集的背景，提出了用一組語(yǔ)言值來(lái)作為屬性值，并且給出了猶豫模糊語(yǔ)言的序關(guān)系以及集結(jié)的算子，用于多屬性決策問(wèn)題。語(yǔ)言值以離散的形式給出，它們之間經(jīng)過(guò)相對(duì)應(yīng)的集結(jié)算子運(yùn)算以后，生成新的語(yǔ)言值可能不能與初始語(yǔ)言集中的語(yǔ)言值相對(duì)應(yīng)，引起初始信息的流失。

2018 年，Pan 等[17?18]從模糊現(xiàn)象的本質(zhì)和特征出發(fā)給出了模糊集合的公理化定義，從整體或全局的觀點(diǎn)給出關(guān)于模糊概念的新認(rèn)識(shí)。公理化模糊集合是定性評(píng)價(jià)自然語(yǔ)言的數(shù)學(xué)模型，使Zadeh意義下的模糊集嚴(yán)格化、明確化、清晰化。在公理化模糊集合的框架下，模糊集合能夠與評(píng)價(jià)自然語(yǔ)言值之間建立良好的對(duì)應(yīng)關(guān)系。

綜合上述分析，本文以公理化模糊集合作為基礎(chǔ)討論屬性值用評(píng)價(jià)語(yǔ)言值表示的模糊多屬性決策問(wèn)題?；谠u(píng)價(jià)自然語(yǔ)言值集建立模糊劃分，并基于模糊劃分生成公理化模糊集。對(duì)不同論域下的屬性值對(duì)應(yīng)不同的模糊劃分，決策過(guò)程中直接使用公理化模糊集來(lái)進(jìn)行決策建模計(jì)算。結(jié)合經(jīng)典的理想解TOPSIS 方法，本文建立基于公理化模糊集合的TOPSIS 模糊多屬性決策方法。

1 公理化模糊集合的基本理論

下面我們首先給出模糊劃分和公理化模糊集合的定義。

定義1[17?18]設(shè)U=[a,b]?R,U上的一個(gè)模糊劃分指的是具有如下形式的對(duì)象：

2 公理化模糊集合的序關(guān)系和距離

2.1 公理化模糊集合的序關(guān)系

在模糊多屬性決策理論中，模糊集合的序關(guān)系扮演著非常重要的作用。如果各方案的最終打分是用模糊集合來(lái)表示的，那么就需要用一種方法來(lái)對(duì)模糊集合進(jìn)行排序。

為了定義模糊集合的序關(guān)系，下面我們首先將同一模糊隸屬空間中的模糊集合轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)，然后再根據(jù)所得到的實(shí)數(shù)值的自然序?qū)δ：线M(jìn)行排序。

定義3設(shè)定義A的模糊均值mv(A)為

其中[a,b]為公理化模糊集合A的論域。

定義4設(shè)，定義上的序關(guān)系≤為：A≤B當(dāng)且僅當(dāng)mv(A)≤mv(B)。

例1用語(yǔ)言評(píng)價(jià)集{好，中，差}來(lái)評(píng)價(jià)某個(gè)班級(jí)學(xué)生綜合測(cè)評(píng)分?jǐn)?shù)的好壞，設(shè)論域?yàn)閇0,100]。用模糊集合A1表示評(píng)價(jià)語(yǔ)言“差”，用模糊集合A2表示評(píng)價(jià)語(yǔ)言“中”，用模糊集合A3表示評(píng)價(jià)語(yǔ)言“好”，它們的隸屬度函數(shù)分別定義為：

身高隸屬度函數(shù)如圖1 所示。

圖1 身高隸屬度函數(shù)圖像

2.2 公理化模糊集的距離

在經(jīng)典TOPSIS 方法中，我們通過(guò)計(jì)算各個(gè)備選方案與正負(fù)理想方案之間的距離來(lái)度量各個(gè)方案的優(yōu)劣性。經(jīng)典TOPSIS 方法的屬性值在為確定的實(shí)數(shù)的情況下，計(jì)算兩個(gè)方案同一屬性的差異時(shí)，可以直接通過(guò)實(shí)數(shù)的運(yùn)算來(lái)實(shí)現(xiàn)，最后使用Euclidean 距離來(lái)度量?jī)蓚€(gè)方案之間的距離。在本文中，我們使用自然語(yǔ)言所對(duì)應(yīng)的公理化模糊集來(lái)對(duì)方案的不同屬性進(jìn)行表示并且計(jì)算，公理化模糊集在嚴(yán)格的公理定義下的隸屬度函數(shù)為連續(xù)的函數(shù)。根據(jù)經(jīng)典TOPSIS 方法的啟發(fā)，我們根據(jù)擴(kuò)張?jiān)韀19]來(lái)對(duì)模糊集定義四則運(yùn)算及開(kāi)方運(yùn)算法則，將方案看作一個(gè)分量為屬性值的向量，計(jì)算向量之間的距離為一個(gè)模糊集。本文對(duì)模糊集進(jìn)行實(shí)數(shù)化再進(jìn)行距離的比較。

定義5設(shè)V=[c,d]?R。定義A,B之間的四則運(yùn)算結(jié)果如下所示：

定義7設(shè)兩個(gè)不同向量ai,ak有m個(gè)分量，并且向量的分量由公理化模糊集表示，其中ai表 示為(ri,1,ri,2,···,ri,m)，ak表示為(rk,1,rk,2,···,rk,m)。且第j個(gè)向量的權(quán)重為wj，滿足定義向量ai,ak的Euclidean 距離d(ai,aj)為

zi,j表示經(jīng)過(guò)標(biāo)準(zhǔn)化處理后的分量值，zi,j的論域?yàn)閇0,1]。表示用定義5 和定義6 運(yùn)算規(guī)則計(jì)算出的兩個(gè)向量的Euclidean 距離。

3 基于公理化模糊集合的模糊多屬性決策方法

3.1 問(wèn)題描述

多屬性決策問(wèn)題考慮從一組已知備選方案A=(a1,a2,···,an)中選出最佳方案，并且屬性集C=(c1,c2,···,cm)，W=(w1,w2,···,wm)是這些屬性的權(quán)重向量。在決策過(guò)程中，用定性的語(yǔ)言來(lái)對(duì)屬性進(jìn)行評(píng)價(jià)。例如從一些備選電腦中去選購(gòu)一臺(tái)電腦，我們這個(gè)時(shí)候可以把電腦價(jià)格的區(qū)間作為論域U，給U上一個(gè)模糊劃分得到

分別代表“便宜”，“中等”，“昂貴”這3 個(gè)基本評(píng)價(jià)語(yǔ)言值所對(duì)應(yīng)的模糊集合的隸屬度函數(shù)，電腦價(jià)格論域的所有模糊集都可以由上述3 個(gè)基本模糊集生成，則我們可以用公理化模糊集對(duì)應(yīng)的自然語(yǔ)言來(lái)定性評(píng)價(jià)備選電腦。

我們可以用如下的矩陣來(lái)表示待解決的模糊多屬性決策問(wèn)題：

ci,j代表第i個(gè)方案第j個(gè)屬性，其中的屬性值是用語(yǔ)言值來(lái)表示的。在后續(xù)的計(jì)算中我們需要將自然語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)的公理化模糊集來(lái)建模計(jì)算。

3.2 決策方法

下面建立屬性權(quán)重為實(shí)數(shù)，屬性值為自然語(yǔ)言情況下的TOPSIS 決策模型。

第1 步,首先根據(jù)評(píng)價(jià)建立決策矩陣

其中ri,j代表第i個(gè)方案第j個(gè)屬性的評(píng)價(jià)自然語(yǔ)言對(duì)應(yīng)的公理化模糊集，屬性的權(quán)重滿足用表示ri,j的隸屬度函數(shù)。矩陣中的模糊集隸屬度函數(shù)由基本模糊集使用固定的連續(xù)三角模算子來(lái)得到。

第2 步,確定正理想方案X+和負(fù)理想方案X?：

對(duì)于多屬性決策問(wèn)題中的指標(biāo)屬性，分為兩類，一類是效益型指標(biāo)，一類是成本型指標(biāo)。對(duì)于效益性指標(biāo)，它越大越好，而對(duì)于成本性指標(biāo)，則越小越好。

我們令成本型指標(biāo)屬性的下標(biāo)集為N1，效益型指標(biāo)屬性的下標(biāo)為N2。我們?cè)?.1 節(jié)中討論過(guò)有關(guān)于公理化模糊集的序關(guān)系。

對(duì)于效益型指標(biāo)ri,j(j∈N2)，我們?cè)谌≌硐虢獾臅r(shí)候，考慮備選方案中使這個(gè)效益型指標(biāo)取最大的模糊集，對(duì)于成本性指標(biāo)ri,j(j∈N1)則正好相反，取成本性指標(biāo)的最小值，

則

類似對(duì)于負(fù)理想解有：

通過(guò)上述方法，我們確定了正負(fù)理想解。

第3 步,計(jì)算各個(gè)備選方案與正負(fù)理想解之間的距離，根據(jù)經(jīng)典TOPSIS 方法步驟，為了消除量綱對(duì)距離的影響，首先對(duì)原始決策矩陣的屬性集進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理：

得到以下標(biāo)準(zhǔn)化決策矩陣

對(duì)正負(fù)理想解也進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理。將兩個(gè)方案看作兩個(gè)向量，屬性值的權(quán)重為分量的權(quán)重。按照第2.2 節(jié)中的步驟得到第i(i=1,2,3,···,n)個(gè)方案與正理想解的實(shí)數(shù)距離為：

與負(fù)理想解的實(shí)數(shù)距離為

第4 步,計(jì)算每個(gè)方案到正理想方案的相對(duì)貼近度

第5 步，按照Di值從大到小對(duì)方案進(jìn)行優(yōu)劣排序。

4 算例分析

4.1 實(shí)例計(jì)算

選用文獻(xiàn)[20]中實(shí)例說(shuō)明上述提出方法的過(guò)程與合理性?？紤]某個(gè)風(fēng)險(xiǎn)投資公司進(jìn)行項(xiàng)目投資的決策問(wèn)題。某風(fēng)險(xiǎn)投資公司在對(duì)備選企業(yè)a1～a5進(jìn)行選擇時(shí)，首先制定了4 項(xiàng)評(píng)價(jià)屬性c1～c4(屬性分別為風(fēng)險(xiǎn)因素、成長(zhǎng)因素、社會(huì)政治影響因素和環(huán)境影響因素)，設(shè)這四個(gè)因素的的分?jǐn)?shù)得分范圍為0 到100 分。案例中沒(méi)有給出屬性權(quán)重的數(shù)值，我們暫時(shí)認(rèn)為它所有的權(quán)重相同，都為0.25。對(duì)于4 個(gè)因素的論域都為[0,100]，我們給出相同的模糊劃分為{非常差，差，中等，好，非常好}，并且給出相應(yīng)的隸屬度函數(shù)如圖2 所示。

圖2 分?jǐn)?shù)隸屬度函數(shù)圖像

專家組評(píng)測(cè)得到備選企業(yè)的自然語(yǔ)言評(píng)價(jià)結(jié)果如表1 所示。

表1 語(yǔ)言評(píng)價(jià)結(jié)果

步驟1,建立決策矩陣

步驟2,確定正理想方案X+和負(fù)理想方案X?：

X+={非常好，非常好，非常好，非常好},

X?={差，非常差，非常差，非常差}。

步驟3,計(jì)算各個(gè)方案到正負(fù)理想方案的距離：

步驟4,計(jì)算各個(gè)方案的綜合指數(shù)：

根據(jù)Di值的大小對(duì)備選企業(yè)進(jìn)行排序，排序結(jié)果為：a4?a3?a5?a1?a2，可見(jiàn)企業(yè)4 為最優(yōu)選擇。

4.2 比較分析

文獻(xiàn)[20]中選擇使用三參數(shù)區(qū)間數(shù)來(lái)對(duì)屬性進(jìn)行分，打分結(jié)果如下所示：

專家對(duì)備選企業(yè)的影響因素進(jìn)行打分時(shí)，因?yàn)槿祟愖陨砼袛嗟哪：?，選擇使用自然語(yǔ)言，上述將專家的評(píng)價(jià)自然語(yǔ)言量化為區(qū)間數(shù)來(lái)進(jìn)行處理，沒(méi)有解釋清楚區(qū)間數(shù)如此取值的合理性，并且沒(méi)有從全局的角度來(lái)約束區(qū)間數(shù)的取值，造成很大的客觀性。如同使用Zadeh 意義下的模糊集與Zadeh意義擴(kuò)展下的模糊集相同，隸屬度的確定存在較大主觀性。

基于公理化模糊集的多屬性決策方法中，將專家評(píng)價(jià)自然語(yǔ)言量化為公理化模糊集合來(lái)處理，在確定公理化模糊集合的隸屬度函數(shù)過(guò)程中，從全局的角度通過(guò)模糊劃分來(lái)生成基本的公理化模糊集，并且此論域的所有模糊集只能通過(guò)這組基本公理化模糊集使用特定的方式來(lái)生成，隸屬度函數(shù)滿足嚴(yán)格的公理化定義，較傳統(tǒng)模糊集合隸屬度函數(shù)的確定更加準(zhǔn)確。本文結(jié)果與文獻(xiàn)[20]比較如表2所示。

表2 結(jié)果比較

通過(guò)觀察得知，在計(jì)算得到的結(jié)果中，文獻(xiàn)[20]的結(jié)果為a4?a5?a3?a1?a2，而本文的結(jié)果為a4?a3?a5?a1?a2，其中結(jié)果a5與a3的結(jié)果與本文不同，a3優(yōu)于a5，通過(guò)觀察，方案的4 個(gè)屬性值的權(quán)重一致，a3的屬性評(píng)價(jià)集為（非常好，好，差，好），而a5的屬性評(píng)價(jià)集為（差，中等，中等，非常好），通過(guò)直觀上的對(duì)比，a3的屬性中兩個(gè)好優(yōu)于優(yōu)于a5，a3明顯優(yōu)于a5，驗(yàn)證了本文方法的準(zhǔn)確性。其中5 個(gè)備選公司中計(jì)算出的結(jié)果最差為a2，通過(guò)直接觀察a2的評(píng)價(jià)為（好，非常差，非常差，差），較其它備選公司具有明顯劣勢(shì)，通過(guò)上面表格中數(shù)據(jù)對(duì)比，可以看出本文方法所計(jì)算出的結(jié)果中，a2的值明顯小于其它4 個(gè)備選公司的值，而文獻(xiàn)[20]的結(jié)果中區(qū)分沒(méi)有特別明顯，本文的方法對(duì)更差的備選方案具有更好的區(qū)分性，決策結(jié)果更加符合我們想要的預(yù)期決策結(jié)果。通過(guò)比較分析，驗(yàn)證了本文決策模型的有效性與準(zhǔn)確性。

5 結(jié)束語(yǔ)

本文在多屬性決策過(guò)程中的屬性集用自然語(yǔ)言表示的情況下，通過(guò)模糊劃分來(lái)建立自然語(yǔ)言與公理化模糊集之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，將各個(gè)屬性直接表示為自然語(yǔ)言所對(duì)應(yīng)的公理化模糊集來(lái)進(jìn)行建模計(jì)算，模糊集隸屬度函數(shù)滿足嚴(yán)格公理化定義并且是連續(xù)的。很好的將自然語(yǔ)言量化為對(duì)應(yīng)的模糊集隸屬度函數(shù)。在后面計(jì)算同一屬性的排序，方案之間的距離時(shí)直接使用公理化模糊集來(lái)進(jìn)行計(jì)算。較以往模糊多屬性決策中使用單個(gè)隸屬度表示屬性或者直接使用自然語(yǔ)言沒(méi)有對(duì)應(yīng)的隸屬度函數(shù)來(lái)表示屬性更加準(zhǔn)確，客觀。本文沒(méi)有考慮權(quán)重信息為模糊的情況下，在未來(lái)，可以考慮以公理化模糊集合為基礎(chǔ)，并且權(quán)重、屬性都為模糊情況下的多屬性決策方法。