著力感悟運算的“一致性”
——《小數(shù)四則運算（復(fù)習(xí)）》教學(xué)與思考

王華屏

（徐聞縣梅溪實驗學(xué)校 廣東湛江 524145）

引言

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出：數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的一大特點就是整體性。因此，教師在教學(xué)設(shè)計中應(yīng)突出核心內(nèi)容，體現(xiàn)不同知識之間的關(guān)聯(lián)性，促進(jìn)內(nèi)容與觀念的融合，體現(xiàn)出數(shù)學(xué)課程的整體性。在教學(xué)中，教師應(yīng)突出“數(shù)”與“運算”的一致性?！缎?shù)四則運算（復(fù)習(xí)）》一課在新課標(biāo)的教學(xué)目標(biāo)確定為：在回顧與梳理中進(jìn)一步理解小數(shù)的意義及四則運算的算理，感悟運算的一致性；在探索與比較中形成小數(shù)四則運算的算法技能，培養(yǎng)運算能力；進(jìn)一步探索運算規(guī)律，解決實際問題，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心?；诖耍處煈?yīng)精準(zhǔn)把握運算一致性的內(nèi)涵及原則，行之有效地開展教學(xué)，在教學(xué)完成后進(jìn)行審視與思考，進(jìn)一步提高教學(xué)的有效性[1]。

一、運算一致性的內(nèi)涵解析

在教學(xué)中體現(xiàn)運算一致性、整體性是新課標(biāo)的基本要求。事實上，整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)在本質(zhì)上是一個整體。從數(shù)形與發(fā)展的角度而言，當(dāng)整數(shù)除法運算出現(xiàn)了除不盡的情形，于是便產(chǎn)生了分?jǐn)?shù)運算；分?jǐn)?shù)運算其表示簡潔但運算不便的特質(zhì)促使小數(shù)誕生。從數(shù)組成的角度而言，整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)都是依托于“計數(shù)單位”這一概念而進(jìn)行構(gòu)建。

除數(shù)之間的關(guān)系外，加減乘除的運算法則本質(zhì)上也是一個整體。從運算意義的角度而言，所有的運算方法在經(jīng)過加工和變化后，都可以還原成加法。由此可見，加法是所有運算法則的基礎(chǔ)。從運算算理的角度而言，結(jié)合律、分配律和交換律與等式的基本性質(zhì)是所有算理的基礎(chǔ)。從運算算法的角度而言，所有運算都能夠還原成計數(shù)單位與計數(shù)單位之間的運算、計數(shù)單位上的數(shù)字與計數(shù)單位上的數(shù)字間的運算，加法口訣和乘法口訣是所有算法的基礎(chǔ)[2]。

在了解“數(shù)”與“運算”間存在的一致性和整體性后，教師就能夠精準(zhǔn)把握運算一致性的統(tǒng)領(lǐng)性概念，了解數(shù)與運算存在的本質(zhì)規(guī)律和關(guān)系，從而進(jìn)行科學(xué)的教學(xué)設(shè)計，帶領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)知識的緣由，體會知識發(fā)展的過程，建立知識之間的聯(lián)系，體會知識的本源性、一致性和整體性。

二、《小數(shù)四則運算（復(fù)習(xí)）》教學(xué)中如何實現(xiàn)運算一致性

要使學(xué)生認(rèn)識數(shù)的概念，就需要學(xué)生了解數(shù)的建構(gòu)方法。事實上，所有的數(shù)都是依托計數(shù)單位而進(jìn)行建構(gòu)的?！坝嫈?shù)單位”這一名詞是針對個數(shù)與順序的計量單位，如同長度計量單位1m、1dm，二者均是“度量單位”。前者通過抽象得到，后者借助工具得到。計數(shù)單位的出現(xiàn)使逐個計數(shù)存在的低效率問題得到極大改善，轉(zhuǎn)變了原有以“個”為單位的計數(shù)方式，開創(chuàng)了以“組”為單位的計數(shù)方式。以“組”為單位的計數(shù)方式本質(zhì)上是為數(shù)提供了一個標(biāo)準(zhǔn)的單位量，“組”同樣是計數(shù)單位中的一種。數(shù)的發(fā)展過程就是計數(shù)單位的發(fā)展過程。小數(shù)的計數(shù)單位為十、個、十分之一等，即通常所說的“數(shù)位”。而要加強學(xué)生對運算一致性的感悟，首先要使學(xué)生對計數(shù)單位產(chǎn)生充分認(rèn)知[3]。

小數(shù)的計數(shù)單位是整數(shù)計數(shù)單位的自然延伸，這一現(xiàn)象可通過將整數(shù)與小數(shù)的計數(shù)單位進(jìn)行有序排列而得出。如“102，101，100，10-1，10-2”。小數(shù)是“十進(jìn)分?jǐn)?shù)”，這里的“分?jǐn)?shù)”指描述計數(shù)單位的工具，小數(shù)的計數(shù)單位本質(zhì)為“十進(jìn)”。因此，教師可在教學(xué)中通過小數(shù)計數(shù)單位的本質(zhì)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思考。如將計數(shù)單位“一百”十等分，每一份計數(shù)單位就是“十”，繼續(xù)將“十”進(jìn)行十等分，每一份計數(shù)單位為“一”。以此類推，在持續(xù)十等分下，小數(shù)作為十進(jìn)分?jǐn)?shù)所蘊含的意義會使學(xué)生更加容易理解。

綜上所述，小數(shù)的教學(xué)重點在于位值制。按照“逢十進(jìn)一”和“退一作十”的規(guī)則構(gòu)建出的小數(shù)，與整數(shù)共同構(gòu)建了完整的位值制體系。在教學(xué)中，教師應(yīng)遵循十進(jìn)制規(guī)則建構(gòu)小數(shù)，抓住認(rèn)識計數(shù)單位這一重要原則，由此使學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中有效感悟運算一致性。

三、《小數(shù)四則運算（復(fù)習(xí)）》的教學(xué)過程

1.回顧梳理，形成結(jié)構(gòu)

要進(jìn)行有效復(fù)習(xí)，就必然對小數(shù)四則運算的知識內(nèi)容進(jìn)行系統(tǒng)回顧，幫助學(xué)生理清知識脈絡(luò)。雖然小數(shù)的四則運算在運算法則上相對簡單，但要使學(xué)生真正將四則運算的概念內(nèi)化于自身，就需要以小數(shù)的意義和性質(zhì)為支撐。以北師大版小學(xué)數(shù)學(xué)教材為例，在課堂導(dǎo)入環(huán)節(jié)，教師可引導(dǎo)學(xué)生從小數(shù)的意義和相關(guān)概念出發(fā)，通過十進(jìn)位數(shù)理幫助學(xué)生認(rèn)知整數(shù)、分?jǐn)?shù)與小數(shù)之間的聯(lián)系，從而加深學(xué)生對小數(shù)意義的認(rèn)知。例如，教師可通過思維導(dǎo)圖的形式幫助學(xué)生進(jìn)行回顧，以小數(shù)為中心，通過對小數(shù)性質(zhì)、意義、產(chǎn)生的發(fā)散幫助學(xué)生建構(gòu)清晰的知識脈絡(luò)，為后續(xù)四則運算的復(fù)習(xí)掃清障礙[4]。

在課堂導(dǎo)入環(huán)節(jié)結(jié)束后，教師應(yīng)著手帶領(lǐng)學(xué)生對小數(shù)的計數(shù)單位進(jìn)行復(fù)習(xí)。運算的本質(zhì)是計數(shù)的過程。通過對小數(shù)意義的復(fù)習(xí)，學(xué)生能夠進(jìn)一步理解小數(shù)的計數(shù)單位，借助整數(shù)數(shù)位順序表的延伸加深對小數(shù)的認(rèn)知。例如，教師可引導(dǎo)學(xué)生在練習(xí)本上通過畫圖和涂色的方式分別表示1、0.1和0.01，并通過多媒體技術(shù)以動態(tài)直觀的形式演示1到0.1再到0.01的涂色演變，增強學(xué)生對小數(shù)計數(shù)單位變化的直觀印象。

2.探索比較，建立聯(lián)系

在進(jìn)行小數(shù)四則運算時，學(xué)生普遍更依賴于通過更有效和易懂的筆算解決問題。但只有循序漸進(jìn)地幫助學(xué)生復(fù)習(xí)運算方法，才能夠使學(xué)生順利完成知識的復(fù)習(xí)與遷移。因此，教師應(yīng)以口算為出發(fā)點幫助學(xué)生進(jìn)一步明確四則運算的思路，借助直觀的計數(shù)單位幫助學(xué)生形象地理解運算的算理。

以北師大版小學(xué)數(shù)學(xué)為例，教師可通過多媒體為學(xué)生出示難度適宜的口算算式，如：

0.2+0.3=0.1+0.01=0.2-0.01=0.2×2=0.1÷2=

教師應(yīng)要求學(xué)生獨立完成口算，并匯報口算結(jié)果，在學(xué)生匯報時，教師應(yīng)操控多媒體，實時為學(xué)生展示結(jié)果和算理依據(jù)，并對算理依據(jù)進(jìn)行進(jìn)一步講解，由此通過直觀演示和歸納概括幫助學(xué)生內(nèi)化算理，為后續(xù)筆算算法的復(fù)習(xí)做好鋪墊。

在口算復(fù)習(xí)完畢后，教師同樣應(yīng)為學(xué)生出示筆算的算式，如：

2.6+1.4=4-2.7=1.2×2.4=4.56÷3.8=

教師可在學(xué)生進(jìn)行筆算前提出能夠引發(fā)學(xué)生產(chǎn)生思考的問題，如：“為什么在筆算時要將小數(shù)點對齊？”“為什么在計算小數(shù)除法時要先將除數(shù)變?yōu)檎麛?shù)？”等與算法相關(guān)的問題，使學(xué)生帶有一定疑問進(jìn)行筆算，在筆算完成后，教師應(yīng)鼓勵前后桌交流對上述問題的看法，并隨機挑選學(xué)生上臺演示筆算的過程和思路，最后對筆算的法則和依據(jù)進(jìn)行歸納與總結(jié)。該方法旨在提高學(xué)生的學(xué)習(xí)深度與課堂參與度，只有在學(xué)生對知識內(nèi)容產(chǎn)生深度理解的前提下方能進(jìn)一步提高學(xué)生的學(xué)習(xí)深度，而使學(xué)生產(chǎn)生對知識內(nèi)容的深度理解就需要深度思考進(jìn)行驅(qū)動，提出一定問題可激發(fā)學(xué)生的求知訴求。在前面的復(fù)習(xí)中，學(xué)生的思維活躍度較低，因此需要依托問題進(jìn)一步提高學(xué)生的分析能力比觀察能力，促使學(xué)生不斷向小數(shù)及算法的本質(zhì)進(jìn)行探索。

3.對比練習(xí)，形成能力

在完成小數(shù)的意義、四則運算的算理和算法的復(fù)習(xí)后，教師應(yīng)帶領(lǐng)學(xué)生通過練習(xí)加深四則運算的掌握，并設(shè)計具有一定靈活性和貼近生活的問題，促使學(xué)生將知識內(nèi)化與自身。

以北師大版小學(xué)數(shù)學(xué)為例，教師可為學(xué)生出示如下練習(xí)題：

根據(jù)27×15=405直接寫積：2.7×15=（）0.27×15=（）0.27×1.5=（）0.27×0.15=（）

根據(jù)4.68÷1.3=3.6填空：46.8÷（）=3.6 0.468÷（）=3.6（）÷130=3.6（）÷0.013=3.6

兩種類型的題考察了學(xué)生對十進(jìn)制的靈活應(yīng)用，進(jìn)一步鍛煉了學(xué)生靈活應(yīng)用四則運算的能力。教師應(yīng)在學(xué)生匯報答案時鼓勵其說出在過程中所用的方法和思路，有助于教師進(jìn)一步掌握實際學(xué)情。在常規(guī)練習(xí)結(jié)束后，教師應(yīng)為學(xué)生創(chuàng)設(shè)具體情境，提高學(xué)生解決實際問題的能力，如：

周末爸爸帶你開車去人民公園游玩，在公園停車半小時以內(nèi)免費，滿一小時則按照5.50元收費，超過一小時的部分按照每半小時1.50元收費。在游玩后，爸爸共付車費11.50元，你能夠通過停車費計算出你和爸爸在公園內(nèi)游玩了大概多久嗎？

對口算和筆算的復(fù)習(xí)有兩個重要目的，一是使學(xué)生通過對運算規(guī)律的進(jìn)一步了解促進(jìn)學(xué)生數(shù)感的形成，二是提高學(xué)生解決實際問題的能力。在直接填空的練習(xí)中，分別鍛煉了學(xué)生對積的變化規(guī)律及商不變的規(guī)律的了解掌握，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的運算思維。情景應(yīng)用題則進(jìn)一步加強了學(xué)生對生活中數(shù)學(xué)知識的感知，提高了學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力。

四、對于《小數(shù)四則運算（復(fù)習(xí)）》教學(xué)的思考

1.如何進(jìn)行幾個相關(guān)單元的綜合復(fù)習(xí)

在日常的教研活動中，常見的教研內(nèi)容為新課的相關(guān)教研，對于復(fù)習(xí)課的教研頻率較低，尤其是對于幾個單元相結(jié)合的綜合復(fù)習(xí)課的教研經(jīng)驗較少。本節(jié)復(fù)習(xí)的內(nèi)容是北師大版小學(xué)數(shù)學(xué)教材中《小數(shù)的意義和加減法》《小數(shù)乘法》《小數(shù)除法》的整合。線性小學(xué)數(shù)學(xué)一線教師普遍缺乏對綜合復(fù)習(xí)課的開展方法、思路等方面的教研，在面對綜合復(fù)習(xí)課時容易出現(xiàn)“無從下手”的局面。教師應(yīng)基于新課標(biāo)突顯課程結(jié)構(gòu)性、整體性和一致性的要求，積極開發(fā)具有綜合性與整體性的教學(xué)模式，如大單元教學(xué)、類比思維教學(xué)等，將相對獨立的知識內(nèi)容進(jìn)行整合，增進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)知識、規(guī)律和本質(zhì)的了解。

2.如何跨越小學(xué)階段計算錯誤的高發(fā)區(qū)

五年級是小學(xué)生出現(xiàn)計算錯誤的高發(fā)區(qū)，這一現(xiàn)象在五年級上學(xué)期尤為明顯。究其原因，學(xué)生的運算思維是導(dǎo)致五年級學(xué)生計算錯誤頻出的主要因素。五年級的學(xué)生對數(shù)量、算理和算法的理解通常停留在整數(shù)思維，而四則運算的算理和算法相較于整數(shù)運算具有更高的復(fù)雜性，計算的步驟較為煩瑣和精細(xì)，這一變化往往使學(xué)生在初級學(xué)習(xí)時錯誤頻出，需要一定的試錯糾錯的適應(yīng)時間，促進(jìn)了學(xué)生數(shù)學(xué)思維的進(jìn)一步發(fā)展。為有效提高學(xué)生對小數(shù)四則運算算理和算法的理解掌握，教師應(yīng)注重知識間的銜接關(guān)系，不僅要使學(xué)生了解如何運用知識，還要使學(xué)生明白知識的由來、知識間存在的關(guān)系和知識發(fā)展的規(guī)律，使學(xué)生能夠形成關(guān)于小數(shù)及其算理和算法的完整認(rèn)知結(jié)構(gòu)，使學(xué)生能夠感知知識間存在的內(nèi)在聯(lián)系，進(jìn)而突破教學(xué)中的重難點內(nèi)容，幫助學(xué)生迅速轉(zhuǎn)變思維，順利完成思維的高階遷移。

3.如何在教學(xué)中全面落實新課標(biāo)的理念

2022年版新課標(biāo)基于時代和教育發(fā)展趨勢，更新和完善了核心素養(yǎng)的理念，凝練了以“三會”為主要培養(yǎng)方向的核心素養(yǎng)內(nèi)涵。運算能力是核心素養(yǎng)的重要組成部分，新課標(biāo)充分體現(xiàn)了使學(xué)生感悟運算一致性的重要性。但無論是新課標(biāo)的要求或核心素養(yǎng)的內(nèi)涵，都并非獨立于教學(xué)之外的培養(yǎng)內(nèi)容。發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)、貫徹落實新課標(biāo)都需要依托教學(xué)進(jìn)行，將新課標(biāo)和核心素養(yǎng)的理念有效融入教學(xué)中是當(dāng)前一線數(shù)學(xué)教師面臨的緊迫任務(wù)。首先，教師應(yīng)對新課標(biāo)與核心素養(yǎng)的內(nèi)涵進(jìn)行學(xué)習(xí)與解析，新課標(biāo)圍繞核心素養(yǎng)構(gòu)建了課程理念，對數(shù)學(xué)教學(xué)的開展做出了詳細(xì)的指導(dǎo)和規(guī)劃，因此，教師應(yīng)以培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)作為核心目標(biāo)，精準(zhǔn)把握核心素養(yǎng)中“會用數(shù)學(xué)的眼光、思維和語言對現(xiàn)實世界進(jìn)行觀察、思考與表達(dá)”的內(nèi)涵。此外，教師還需秉持“以學(xué)生為中心”的原則。如果沒有將學(xué)生作為中心，核心素養(yǎng)的培養(yǎng)就容易變成“能力灌輸”式的培養(yǎng)，教學(xué)也容易回歸到單向知識傳授的教學(xué)模式。以學(xué)生為中心強調(diào)教師應(yīng)遵循學(xué)生的發(fā)展特征，關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)體驗。在教學(xué)中，教師應(yīng)以學(xué)生能夠接受和理解的方式進(jìn)行授課，根據(jù)小學(xué)生以形象思維為主要思考形式的特點，為學(xué)生創(chuàng)造生動形象的情景和活躍的學(xué)習(xí)環(huán)境，使學(xué)生全身心地投入到學(xué)習(xí)中，進(jìn)而實現(xiàn)由受教育主體向自我教育主體的轉(zhuǎn)變。在課后，教師應(yīng)建立具有過程性和完整性的評價，以教促學(xué)、以評促教。教學(xué)評價的過程性指教師在關(guān)注結(jié)果的同時也要關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)過程，完整性指教師的評價除認(rèn)知教育外，也要包含對情感態(tài)度和價值觀的評價，體現(xiàn)數(shù)學(xué)課程在落實立德樹人這一根本任務(wù)中的實效性。

結(jié)語

小數(shù)四則運算作為重點教學(xué)內(nèi)容，對于增強學(xué)生對數(shù)量關(guān)系、計量單位、數(shù)理和算法的認(rèn)知具有重要意義。教師應(yīng)認(rèn)知本節(jié)課程背后所蘊含的重要教育價值，避免將本節(jié)復(fù)習(xí)課程視為簡單的復(fù)習(xí)課，從而忽視了促進(jìn)學(xué)生核心素養(yǎng)發(fā)展的重要契機。此外，教師應(yīng)不斷保持進(jìn)行教學(xué)反思的習(xí)慣，以學(xué)生發(fā)展的角度審視自身教學(xué)，確保教學(xué)觀念和方法的科學(xué)性、時代性與有效性。