胡紅萍，喬世昌，孔慧華，徐喬王，白艷萍

(1.中北大學(xué) 理學(xué)院，山西 太原 030051；2.臨汾市財(cái)政局 國(guó)際金融組織貸款服務(wù)中心，山西 臨汾 041000)

0 引言

新型冠狀病毒肺炎（Corona Virus Disease 2019,COVID-19）由于其高傳染性和高致病性，嚴(yán)重威脅到了人類的生命安全，并已迅速蔓延到全球，成為全球關(guān)注的問題之一.自疫情暴發(fā)以來，我國(guó)進(jìn)行了全民總動(dòng)員，真正做到“早發(fā)現(xiàn)，早隔離”.但由于境外輸入COVID-19和無癥狀感染的影響，疫情防控仍然面臨反彈壓力.因此有效地預(yù)測(cè)COVID-19的累計(jì)確診人數(shù)對(duì)COVID-19的防控具有非常大的價(jià)值.

目前，常用的預(yù)測(cè)方法有差分自回歸移動(dòng)平均乘積季節(jié)模型[1]，群智能算法優(yōu)化神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型[2?3]，多尺度組合模型[4]，隨機(jī)森林算法和模糊信息?；幕旌纤惴╗5]，經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解和極限學(xué)習(xí)機(jī)的組合預(yù)測(cè)模型[6]，等等.隨著群智能算法和機(jī)器學(xué)習(xí)的不斷改進(jìn)，預(yù)測(cè)模型也隨之增加，更利于解決實(shí)際問題.如用螢火蟲算法優(yōu)化長(zhǎng)短時(shí)記憶神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，并利用其預(yù)測(cè)生豬價(jià)格[2]；將粒子群算法和差分進(jìn)化相結(jié)合優(yōu)化自適應(yīng)小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的初始化網(wǎng)絡(luò)參數(shù)，進(jìn)而對(duì)風(fēng)電功率超短期多步預(yù)測(cè)[3]；利用改進(jìn)的灰狼算法優(yōu)化Elman神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，對(duì)基于基因表達(dá)譜的乳腺癌進(jìn)行識(shí)別[7]；利用改進(jìn)粒子群算法優(yōu)化BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)甜菜產(chǎn)量進(jìn)行預(yù)測(cè)[8]等.

最近很多學(xué)者將群智能算法和機(jī)器學(xué)習(xí)相結(jié)合對(duì)COVID-19進(jìn)行預(yù)測(cè).例如，文獻(xiàn)[9]利用機(jī)器學(xué)習(xí)、自適應(yīng)神經(jīng)模糊推理系統(tǒng)和增強(qiáng)甲蟲天線搜索群智能元啟發(fā)式相結(jié)合的混合方法預(yù)測(cè)COVID-19確診人數(shù)；文獻(xiàn)[10]利用遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)COVID-19確診人數(shù)進(jìn)行預(yù)測(cè)；文獻(xiàn)[11]利用集合經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解和自回歸移動(dòng)平均模型對(duì)COVID-19全球預(yù)測(cè)系統(tǒng)預(yù)測(cè)結(jié)果進(jìn)行改進(jìn).

樽海鞘群算法（Salp Swarm Algorithm,SSA）是受深海中樽海鞘的航行和覓食行為啟發(fā)提出的[12].自SSA提出以來，研究者已對(duì)SSA做了很多改進(jìn).例如，將SSA中樽海鞘鏈的領(lǐng)頭者的搜索方式修改為貪婪的交叉選擇方法，加強(qiáng)了SSA的性能且避免陷入局部最優(yōu)[13]；將正余弦算法和干擾算子加到SSA得到了一種特征選擇方法[14]；將混沌映射加入SSA中代替隨機(jī)數(shù)建立了混沌SSA（CSSA），并且將CSSA與2維曲波變換和深度學(xué)習(xí)技術(shù)相結(jié)合用于X射線圖像對(duì)COVID-19進(jìn)行診斷[15]；將SSA的樽海鞘的位置更新修改為Singer的混沌映射，在開發(fā)階段使用局部搜索算法，得到動(dòng)態(tài)的SSA[16].

本文針對(duì)其他樽海鞘對(duì)鏈中第i個(gè)跟隨者均有影響的問題，提出加權(quán)平均樽海鞘群算法（Average Salp Swarm Algorithm,AVSSA），并通過23個(gè)基準(zhǔn)函數(shù)驗(yàn)證AVSSA的有效性，進(jìn)而用AVSSA優(yōu)化BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的權(quán)值和偏差，建立預(yù)測(cè)境外輸入COVID-19的預(yù)測(cè)模型AVSSA-BP.

1 樽海鞘群算法

樽海鞘群算法是受深海中樽海鞘的航行和覓食行為的啟發(fā)提出的[12].樽海鞘有透明的桶形身體，其組織非常類似于在海洋中發(fā)現(xiàn)的水母，它們像水母一樣通過身體泵水前進(jìn).SSA是從樽海鞘的群體行為中獲得的，它是以樽海鞘群體構(gòu)成一個(gè)樽海鞘鏈，在該鏈中，第一個(gè)樽海鞘為領(lǐng)導(dǎo)者，其余的樽海鞘為跟隨者.

設(shè)F是n維搜索空間中的食物源，將其作為樽海鞘鏈的目標(biāo).與F相關(guān)的領(lǐng)導(dǎo)者的更新位置的方式為：

其中：l是當(dāng)前迭代次數(shù)，L是迭代的最大次數(shù).

根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律，跟隨者xs的位置更新方式為：

由于優(yōu)化的時(shí)間是迭代t，迭代之間的差異為1，在v0=0時(shí)，方程(3)變?yōu)椋?/p>

2 預(yù)測(cè)模型

2.1 加權(quán)平均樽海鞘群算法

在SSA中，第i個(gè)跟隨者的位置更新方式定義為方程（4），為第i個(gè)跟隨者和第i-1個(gè)跟隨者的位置的平均值，這可能導(dǎo)致樽海鞘鏈中前i個(gè)跟隨者對(duì)第i個(gè)跟隨者的影響不大.為此，將樽海鞘鏈中第i個(gè)跟隨者的位置更新改進(jìn)為前i個(gè)跟隨者的加權(quán)平均，即：

其中：c1與方程（2）中的定義相同.我們將此改進(jìn)稱為加權(quán)平均SSA，記為AVSSA.

為驗(yàn)證所提算法AVSSA的有效性，選取了5個(gè)比較的優(yōu)化算法：蟻獅優(yōu)化器（ALO）、灰狼優(yōu)化器（GWO）、飛蛾撲火優(yōu)化（MFO）算法、鯨優(yōu)化算法（WOA）和樽海鞘群算法（SSA）.本文所采用的23個(gè)基準(zhǔn)函數(shù)F1(x)～F23(x)來源于文獻(xiàn)[17]，其中：F1(x)～F7(x)為7個(gè)n維單峰函數(shù)，F(xiàn)8(x)～F13(x)為6個(gè)n維多峰函數(shù)，F(xiàn)14(x)～F23(x)為10個(gè)固定維數(shù)的基準(zhǔn)函數(shù).在Win10 64bit專業(yè)平臺(tái)和64 GB RAM下Matlab R2019a工具箱下運(yùn)行這6個(gè)算法.

在這6個(gè)可比較的算法中，種群大小為50，最大迭代次數(shù)T=500.每個(gè)可比較的算法獨(dú)立運(yùn)行30次.將這30次獨(dú)立運(yùn)行的每個(gè)算法所獲得的全局最小值的平均值（Avg.）和標(biāo)準(zhǔn)差（Std.）作為評(píng)價(jià)算法的性能指標(biāo).

獨(dú)立運(yùn)行這6個(gè)算法30次，得到了23個(gè)基準(zhǔn)函數(shù)的最小函數(shù)值的Avg.和Std.，如表1所示.部分基準(zhǔn)函數(shù)的收斂曲線如圖1所示.由圖1可見，AVSSA有最好的收斂性能.由表1可知，利用AVSSA得到單峰函數(shù)F1(x)～F4(x)，F(xiàn)7(x)的Avg.分別為1.18×10?145、1.61×10?73、2.66×10?145、1.15×10?73和5.81×10?5，這些都最接近全局最小值0，而AVSSA和SSA在函數(shù)F6(x)上有相近的Avg..AVSSA在多峰函數(shù)F9(x)和F11(x)上的Avg.達(dá)到全局最小值0，在函數(shù)F7(x)、F10(x)和F12(x)的Avg.分別是5.81×10?5、8.88×10?16和4.40×10?3，這些都最接近全局最小值0，且在多峰函數(shù)F13(x)上的Avg.與其它可比較的算法具有相同的數(shù)量級(jí).對(duì)于固定維數(shù)的函數(shù)F16(x)～F19(x)，所有可比較的算法AVSSA、SSA、ALO、GWO、MFO和WOA都達(dá)到了全局最小值-1.031 6、3、0.398和-3.86，但AVSSA有最小的Std..對(duì)于固定維數(shù)的函數(shù)F22(x)，AVSSA得到了最小的Avg.-8.326 6，最接近于全局最小值-10.402 8.

圖1 部分基準(zhǔn)函數(shù)的收斂曲線

表1 23個(gè)基準(zhǔn)函數(shù)的Avg.和Std.

基于上述分析和討論，所提出的算法AVSSA優(yōu)于其它可比較的算法SSA、ALO、GWO、MFO和WOA，更適于基準(zhǔn)函數(shù)的極值尋優(yōu).

2.2 基于AVSSA和BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測(cè)模型

利用所提出的AVSSA優(yōu)化有一個(gè)隱含層的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的參數(shù)：輸入層與隱含層的連接權(quán)值W，隱含層與輸出層的連接層的連接權(quán)值W′，隱含層的偏差b和輸出層的偏差b′.將此預(yù)測(cè)模型記為AVSSA-BP，具體步驟為：

步驟1：初始化.初始化的參數(shù)包括樽海鞘鏈中樽海鞘的大小、最大迭代次數(shù)、隱含層中神經(jīng)元節(jié)點(diǎn)的個(gè)數(shù)、終止條件.

步驟2：將鏈中的每個(gè)樽海鞘映射為連接權(quán)值W和W′，偏差b和b′.選取函數(shù)

作為AVSSA的適應(yīng)度函數(shù)，其中Q是樣本數(shù)，yis和分別是第s個(gè)樣本的預(yù)測(cè)輸出和目標(biāo)輸出.

步驟3：執(zhí)行AVSSA算法，利用公式（1）和（5）分別更新鏈中領(lǐng)導(dǎo)者和跟隨者的位置.

步驟4：若滿足終止條件，則返回AVSSA算法的食物源F，轉(zhuǎn)向步驟5.否則執(zhí)行AVSSA，轉(zhuǎn)向步驟2.

步驟5：將食物源F映射為連接權(quán)值W和W′，偏差b和b′，訓(xùn)練和測(cè)試BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò).

預(yù)測(cè)模型AVSSA-BP的流程圖如圖2所示.

圖2 AVSSA-BP模型的流程圖

3 實(shí)驗(yàn)

3.1 數(shù)據(jù)源

本文所采用的COVID-19數(shù)據(jù)為2020年3月5日至2020年10月6日國(guó)家衛(wèi)健委公布的境外輸入COVID-19累計(jì)確診病例數(shù)，網(wǎng)站為http://www.nhc.gov.cn/xcs/xxgzbd/gzbd-index.shtml.所采用的COVID-19數(shù)據(jù)利用前3天的COVID-19累計(jì)確診病例數(shù)預(yù)測(cè)第4天的COVID-19累計(jì)確診病例數(shù).得到了214組3維輸入數(shù)據(jù)，再刪除最后一組3維數(shù)據(jù)，這樣就得到了213組輸入數(shù)據(jù)，將前192組數(shù)據(jù)作為訓(xùn)練數(shù)據(jù)，剩下的21組數(shù)據(jù)作為測(cè)試數(shù)據(jù).

為驗(yàn)證AVSSA-BP的預(yù)測(cè)性能，我們?nèi)匀贿x取SSA、ALO、GWO、MFO和WOA優(yōu)化BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的參數(shù)，建立預(yù)測(cè)模型SSA-BP、ALO-BP、GWO-BP、MFO-BP和WOA-BP進(jìn)行比較，并與BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行比較.

在本文中，平均絕對(duì)誤差（Mean Absolute Error,MAE），根均方差誤差（Root Mean Square Error,RMSE），平均絕對(duì)百分比誤差（Mean Absolute Percentage Error,MAPE）和確定性系數(shù)R2[16]作為預(yù)測(cè)模型AVSSA-BP的評(píng)價(jià)指標(biāo).

3.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

在預(yù)測(cè)模型AVSSA-BP的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中，輸入層神經(jīng)元的個(gè)數(shù)為3，輸出層的節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)為1.經(jīng)過大量的實(shí)驗(yàn)，選取預(yù)測(cè)模型AVSSA-BP中BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的隱含層的神經(jīng)元節(jié)點(diǎn)數(shù)為6.這樣我們將AVSSA-BP中樽海鞘鏈的每個(gè)樽海鞘映射為輸入層與隱含層之間的連接權(quán)值W，隱含層與輸出層之間的連接權(quán)值W′，隱含層的偏差b和輸出層的偏差b′，這樣預(yù)測(cè)模型AVSSA-BP中樽海鞘鏈的每個(gè)樽海鞘的維數(shù)為3×6+6×1+6+1=31，并選擇方程（7）作為AVSSA的適應(yīng)度函數(shù).

在實(shí)驗(yàn)中，AVSSA-BP、SSA-BP、ALO-BP、GWO-BP、MFO-BP和WOA-BP的種群大小為50，最大迭代次數(shù)為100.獨(dú)立運(yùn)行BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，AVSSA-BP、SSA-BP、ALO-BP、GWO-BP、MFO-BP、WOA-BP和BP各30次，得到7個(gè)預(yù)測(cè)模型AVSSA-BP、SSA-BP、ALO-BP、GWO-BP、MFO-BP、WOA-BP和BP的21個(gè)測(cè)試樣本的預(yù)測(cè)值的平均值和評(píng)價(jià)指標(biāo)，分別見表2和表3.

表2 測(cè)試數(shù)據(jù)的預(yù)測(cè)值

表3 測(cè)試數(shù)據(jù)的評(píng)價(jià)指標(biāo)

由表3可知，利用AVSSA-BP得到的境外輸入病例確診的COVID-19累計(jì)病例數(shù)預(yù)測(cè)的平均MAE、RMSE和MAPE最小，分別為4.311 0、1.413 4和0.154 7，且具有最高的平均確定性系數(shù).因此，預(yù)測(cè)模型AVSSA-BP優(yōu)于其它預(yù)測(cè)模型SSA-BP、ALO-BP、GWO-BP、MFO-BP、WOA-BP和BP.實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明AVSSA算法能有效地優(yōu)化神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的參數(shù)實(shí)現(xiàn)COVID-19的預(yù)測(cè).

4 討論與結(jié)論

本文對(duì)SSA中樽海鞘鏈中第i個(gè)跟隨者的位置更新進(jìn)行了改進(jìn)，得到加權(quán)平均的SSA，記為AVSSA.將AVSSA與BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)相結(jié)合，對(duì)境外輸入確診COVID-19累計(jì)病例建立了預(yù)測(cè)模型AVSSA-BP，且AVSSA-BP具有最小的預(yù)測(cè)誤差MSE、MAE、RMSE和MAPE，最高的確定性系數(shù)R2.實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明AVSSA-BP優(yōu)于SSA-BP、ALOBP、GWO-BP、MFO-BP、WOA-BP和BP模型.

在以后的研究中，我們還可以對(duì)SSA算法進(jìn)行改進(jìn)，并將其與其他一種或多種群智能算法相結(jié)合，建立新的混合算法來提高其性能.這些新算法可以用來優(yōu)化某些機(jī)器學(xué)習(xí)算法的參數(shù)，以解決預(yù)測(cè)和分類問題.