任耀軍, 袁修久, 黃 林

(空軍工程大學(xué)基礎(chǔ)部, 陜西 西安 710051)

0 引 言

為解決事物存在亦此亦彼的問題,Zadeh提出了模糊集理論,通過元素隸屬于集合的隸屬度來描述實際生活中的不確定現(xiàn)象。Atanassov提出了直覺模糊集,使得元素隸屬于集合可以從隸屬度和非隸屬度兩個維度來描述。然而,直覺模糊集要求隸屬度和非隸屬度之和小于等于1,這使得其適用范圍受到限制。為此,Yager提出了畢達(dá)哥拉斯模糊集,其能適用于隸屬度與非隸屬度之和大于1,而平方和小于等于1的情況,比直覺模糊集的適用范圍更寬泛。此外,Yager又進(jìn)一步提出了廣義正交模糊集的概念,其能描述隸屬度與非隸屬度(≥1)次方和小于等于1的情況,可以描述更為廣泛地模糊現(xiàn)象。廣義正交模糊集也被稱為q階模糊集。直覺模糊集、畢達(dá)哥拉斯模糊集、q階模糊集都是通過隸屬度和非隸屬度兩個維度來描述不確定現(xiàn)象。這種既包括隸屬度信息又包括非隸屬度信息的模糊集稱為正交模糊集?？紤]到在實際問題決策過程中決策者常常存在猶豫性,Torra和Narukawa在模糊集的基礎(chǔ)上提出了猶豫模糊集,使得元素隸屬于集合可以有多個隸屬度。隨后,學(xué)者們將猶豫模糊集和正交模糊集相結(jié)合,相繼提出了直覺猶豫模糊集、畢達(dá)哥拉斯猶豫模糊集、q階猶豫模糊集。

為解決模糊信息的多屬性決策問題,學(xué)者們一直致力于信息集成算子的研究。常用的算術(shù)平均算子、幾何平均算子、廣義算術(shù)平均算子等算子只是簡單的將信息集成,并沒有考慮數(shù)據(jù)之間存在的相關(guān)關(guān)系。然而,Bonferroni平均算子在信息集成過程中能夠反映評價信息之間的關(guān)聯(lián)關(guān)系。Yager首先將Bonferroni平均算子推廣為模糊信息集成算子并應(yīng)用于多屬性決策中,其能夠很好地反映評價信息之間的相互影響。隨后,Bonferroni平均算子被廣泛應(yīng)用于各種模糊信息的集成,如直覺模糊集、直覺模糊語言集、畢達(dá)哥拉斯模糊集、猶豫模糊集、猶豫模糊語言集、對偶猶豫模糊集等。但BM算子只能反映任意兩個評價信息之間的關(guān)系,而這在實際的多屬性決策問題中是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的。為此,Beloakov等提出了廣義Bonferroni平均算子,其能刻畫評價信息之間更多的關(guān)聯(lián)關(guān)系。考慮到不同屬性的重要程度不同,Xia等在廣義Bonferroni平均算子的基礎(chǔ)上提出了廣義加權(quán)Bonferroni平均算子和廣義加權(quán)Bonferroni幾何平均算子,并應(yīng)用于直覺模糊環(huán)境下的多屬性決策問題。

當(dāng)決策者對候選方案進(jìn)行評價時,很難用一個確定的值來表示其評價信息。為了更好地描述信息的模糊性,一些學(xué)者用區(qū)間模糊數(shù)、三角模糊數(shù)對猶豫模糊集理論進(jìn)行了擴(kuò)展,提出了區(qū)間猶豫模糊集、三角猶豫模糊集等。而在實際應(yīng)用中,若使用區(qū)間值表示評價信息,則會因區(qū)間過大包含過多的無效信息,或因區(qū)間過小丟失部分信息,導(dǎo)致信息不完整。相比較于區(qū)間模糊數(shù),三角模糊數(shù)為中間值隸屬度大,邊界值隸屬度小的隸屬關(guān)系,這使得其邊界取值對信息的定量描述影響較小。此外,三角模糊數(shù)比區(qū)間模糊數(shù)更貼近于人的認(rèn)知思維?？紤]到三角模糊數(shù)所具有的優(yōu)勢,本文結(jié)合三角模糊數(shù)和q階猶豫模糊集提出了q階三角猶豫模糊集,并將Bonferroni平均算子和廣義Bonferroni平均算子推廣至q階三角猶豫模糊集,提出了q階三角猶豫模糊Bonferroni平均(q-rung hesitant triangular fuzzy Bonferroni mean，q-HTFBM)算子及其加權(quán)形式，q階三角猶豫模糊Bonferroni幾何平均(q-rung hesitant triangular fuzzy Bonferroni Geometric mean，q-HTFBGM)算子及其加權(quán)形式，q階三角猶豫模糊廣義加權(quán)Bonferroni平均(q-rung hesitant triangular fuzzy generalized weighted Bonferroni mean，q-HTFGWBM)算子和q階三角猶豫模糊廣義加權(quán)Bonferroni幾何平均(q-rung hesitant triangular fuzzy generalized weighted Bonferroni geometric mean，q-HTFGWBGM)算子，用于解決q階三角猶豫模糊環(huán)境下評價信息之間存在關(guān)聯(lián)關(guān)系的多屬性決策問題。

1 預(yù)備知識

1.1 三角模糊數(shù)

(1)

其圖像如圖1所示。

圖1 三角模糊數(shù)的隸屬度函數(shù)Fig.1 Membership function of triangular fuzzy number

設(shè)三角模糊數(shù)=(,,)和=(,,),則可能度定義為

(2)

式中：為決策風(fēng)險規(guī)避程度。越大,則決策者的風(fēng)險規(guī)避程度越大;越小,則決策者的風(fēng)險規(guī)避程度越小?；诳赡芏鹊亩x可以對兩個三角模糊數(shù)進(jìn)行比較。

1.2 q階三角猶豫模糊集

基于定義14,給出q階三角猶豫模糊算術(shù)加權(quán)平均(q-rung hesitant triangular fuzzy weighted averaging,q-HTFWA)算子、q階三角猶豫模糊幾何加權(quán)平均(q-rung hesitant triangular fuzzy weighted geometric,q-HTFWG)算子。

(1) q-HTFWA

(3)

(2) q-HTFWG

(4)

設(shè),,為3個q-HTFE,則其滿足如下運算律:

(1)⊕=⊕;

(2)?=?;

(3) (⊕)⊕=⊕(⊕);

(4) (?)?=?(?);

(6)(⊕)=⊕。

設(shè)為一個q-HTFE,則稱()為的得分函數(shù)：

(5)

式中：||和||分別表示其所含元素的個數(shù)。得分函數(shù)計算得到的結(jié)果為三角模糊數(shù)。

1.3 相關(guān)算子

設(shè),≥0,且(=1,2,…,)為一組非負(fù)實數(shù),則Bonferroni平均算子定義為

(6)

設(shè),≥0,且(=1,2,…,)為一組非負(fù)實數(shù),則Bonferroni幾何平均算子定義為

(7)

(8)

GWBGM,,(,,…,)=

(9)

2 q階三角猶豫模糊信息集成算子

為了解決q階三角猶豫模糊環(huán)境下評價信息之間存在關(guān)聯(lián)關(guān)系的多屬性決策問題,本節(jié)提出了q階三角猶豫模糊Bonferroni平均算子和q階三角猶豫模糊Bonferroni幾何平均算子及其加權(quán)形式。

2.1 q-HTFBM算子及其加權(quán)形式

211 q-HTFBM算子

設(shè),≥0,(=1,2,…,)是一組q-HTFE,則q-HTFBM算子定義為

(10)

設(shè),≥0,(=1,2,…,)是一組q-HTFE,則用q-HTFBM算子集成的結(jié)果仍是q-HTFE,且

(11)

其中,

根據(jù)定義14中q-HTFE的運算法則式(4),可得

進(jìn)而,依據(jù)運算法則式(2),可得

利用數(shù)學(xué)歸納法可證得

其中,

再由運算法則式(3)和式(4),可得

其中,

證畢

q-HTFBM算子具有如下性質(zhì):

(冪等性) 設(shè),>0,(=1,2,…,)是一組q-HTFE。如果對于?∈{1,2,…,}有=,則有

q-HTFBM,(,,…,)=

(12)

(有界性) 設(shè),>0,(=1,2,…,)是一組q-HTFE。令=min,=max,則有

≤q-HTFBM,(,,…,)≤

(13)

(14)

(15)

212 q-HTFBM算子的加權(quán)形式

(16)

(17)

其中,

定理23與定理21的證明過程類似,這里不再贅述。

2.2 q-HTFBGM算子及其加權(quán)形式

221 q-HTFBGM算子

設(shè),>0,(=1,2,…,)是一組q-HTFE,則q-HTFBGM算子定義為

(18)

設(shè),>0,(=1,2,…,)是一組q-HTFE,則用q-HTFBGM算子集成的結(jié)果仍是q-HTFE,且

(19)

其中,

定理24與定理21的證明過程類似,這里不再贅述。

q-HTFBGM算子同樣具有冪等性、有界性、單調(diào)性、置換不變性等性質(zhì),這里也不再贅述。

222 q-HTFBGM算子的加權(quán)形式

(20)

(21)

其中,

定理25與定理21的證明過程類似,這里不再贅述。

在實際的多屬性決策問題中,通常是多個評價信息之間存在相互關(guān)聯(lián)的關(guān)系,而Bonferroni平均算子只能反映任意兩個評價信息之間的關(guān)聯(lián)關(guān)系。為了刻畫多個屬性之間的關(guān)聯(lián)關(guān)系,同時考慮到不同屬性的重要程度不同,本節(jié)提出了q階三角猶豫模糊廣義加權(quán)Bonferroni平均算子和q階三角猶豫模糊廣義加權(quán)Bonferroni幾何平均算子。

2.3 q-HTFGWBM算子

(22)

(23)

其中,

根據(jù)定義14 q-HTFE的運算法則式(4),可得

進(jìn)而,依據(jù)運算法則式(2),可得

其中,

再由運算法則式(3),可得

其中,

利用數(shù)學(xué)歸納法可證得

其中,

證畢

2.4 q-HTFGWBGM算子

(24)

(25)

其中,

定理27與定理26的證明過程類似,這里不再贅述。

3 基于q-HTFWBM算子的多屬性決策方法

將得到的q階三角猶豫模糊評價信息進(jìn)行規(guī)范化處理,得到標(biāo)準(zhǔn)化q階三角猶豫模糊決策矩陣=()×。其中,

利用q-HTFWBM算子聚合方案在不同屬性下的q階三角猶豫模糊評價值,得到q階三角猶豫模糊綜合評價值:

=q-HTFWBM,(1,2,…,)

計算各方案的q階三角猶豫模糊綜合評價值的得分函數(shù)()。

(1) 若>,則稱大于,記作f;

(2) 若=,則稱等于,記作=。

根據(jù)候選方案總體優(yōu)勢度的大小對候選方案進(jìn)行排序,選擇相應(yīng)的最優(yōu)方案。

4 算例分析

表1 q階三角猶豫模糊決策矩陣

續(xù)表1

由于對計算機(jī)系統(tǒng)性能評估所考慮的屬性指標(biāo)均是效益型屬性,所以原始矩陣不需要進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理。

利用q-HTFWBM算子對各個計算機(jī)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)性能評估信息進(jìn)行集結(jié),取=1,=1,得到其綜合評估值(=1,2,3,4,5),如表2所示。

表2 q階三角猶豫模糊綜合評估值(q-HTFWBM)

計算各計算機(jī)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)性能的綜合評估值的得分函數(shù)()(=1,2,3,4,5)如表3所示。

表3 得分函數(shù)

假設(shè)決策者為風(fēng)險規(guī)避型,令參數(shù)=04,構(gòu)造計算機(jī)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)性能綜合評估值基于q-HTFWBM算子的得分函數(shù)()進(jìn)行比較的可能度矩陣:

計算總體優(yōu)勢度可得,=2284 8,=3642 0,=1695 6,=2740 4,=2137 3。

依據(jù)計算機(jī)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)性能的總體優(yōu)勢度對其進(jìn)行排序,可得ffff,即系統(tǒng)性能最為優(yōu)異的為。

5 結(jié)果分析

通過利用不同的信息集成算子且選取不同參數(shù)得到計算機(jī)系統(tǒng)性能的排序結(jié)果,如表4所示。分析可知。

表4 排序結(jié)果

(1) 利用q-HTFWBM算子和q-HTFGWBM算子得到的性能最優(yōu)的計算機(jī)系統(tǒng)均為,且系統(tǒng)性能排序結(jié)果基本相同,說明所得結(jié)果是可靠有效的。

(2) 當(dāng)q-HTFWBM算子的參數(shù)選取為=2,=2時,排序結(jié)果變?yōu)閒fff,這與q-HTFGWBM算子得到的排序結(jié)果相同,而當(dāng)q-HTFGWBM算子的參數(shù)變化時,其得到的排序結(jié)果都是ffff。這說明考慮更多數(shù)量的關(guān)聯(lián)關(guān)系,得到的結(jié)果更穩(wěn)定。

(3) 當(dāng)利用q-HTFWA算子進(jìn)行信息集結(jié)時,得到的性能最優(yōu)的計算機(jī)系統(tǒng)為,并且系統(tǒng)性能排序結(jié)果存在較大的差異,說明利用q-HTFWA算子進(jìn)行信息集結(jié)時忽略了一部分信息,即評價信息之間的關(guān)聯(lián)關(guān)系。

同時,為了檢驗算子的穩(wěn)定性與可靠性,令q-HTFWBM算子的參數(shù)和從1變化到10,得到排序結(jié)果。由排序結(jié)果可知,隨著參數(shù)的取值逐漸增大,排序結(jié)果便不再穩(wěn)定。通過數(shù)據(jù)分析可知,當(dāng)參數(shù)增大后,信息集成過程中數(shù)據(jù)逐漸趨于零,這使得計算誤差增大,結(jié)果也不再可靠。

綜上所述,可知當(dāng)利用q-HTFWBM算子和q-HTFGWBM算子進(jìn)行信息集成時,其考慮到了評價信息之間存在的關(guān)聯(lián)關(guān)系,這使得決策更為科學(xué)合理。

6 結(jié)束語

Bonferroni平均算子能夠刻畫數(shù)據(jù)之間存在的關(guān)聯(lián)關(guān)系,近年來引起了國內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注,針對Bonferroni平均算子的研究具有重要的理論研究意義。本文提出了q階三角猶豫模糊集,并使之與Bonferroni 平均算子相結(jié)合,提出了q-HTFBM算子和q-HTFGBM算子及其加權(quán)形式。進(jìn)而,基于q-HTFWBM算子給出了多屬性決策方法的具體步驟,并通過算例證明了q-HTFWBM算子的穩(wěn)定性與可靠性。但當(dāng)參數(shù)選擇較大時,通過q-HTFWBM算子得到的計算結(jié)果就會趨于零,結(jié)果便不再可靠。為此,下一步將嘗試添加調(diào)節(jié)參數(shù)來提高算子的可靠性。