以平均數(shù)的教學(xué)為例談“變教為學(xué)”

山東菏澤市定陶區(qū)張灣鎮(zhèn)沙山寺小學(xué)（274104）董金憲

平均數(shù)屬于統(tǒng)計(jì)與概率這一大分支，如果教學(xué)時(shí)教師拘泥于平均數(shù)的計(jì)算公式，只追求順利計(jì)算出平均數(shù)，忽視對(duì)平均數(shù)本源和用途的考究，那么學(xué)生在計(jì)算平均數(shù)時(shí)就會(huì)犯下各種低級(jí)的錯(cuò)誤，即使他們明明對(duì)平均數(shù)的計(jì)算公式爛熟于心，但是由于弄不清算理，還是會(huì)錯(cuò)誤頻出，有時(shí)錯(cuò)了還不知道自己錯(cuò)在哪里。能熟練運(yùn)用平均數(shù)的計(jì)算公式，并不代表對(duì)平均數(shù)的算理融會(huì)貫通了，也不意味著對(duì)平均數(shù)的概念心領(lǐng)神會(huì)。下面筆者以教學(xué)“平均數(shù)”為例，來(lái)說(shuō)明如何設(shè)計(jì)活動(dòng)記錄單。

一、追溯歷史，正視平均數(shù)

通過(guò)對(duì)平均數(shù)起源的考證，可以發(fā)現(xiàn)，平均數(shù)是用來(lái)估計(jì)大數(shù)的。在一個(gè)印度神話故事中，有一棵參天大樹(shù)長(zhǎng)有茂盛的枝葉，樹(shù)枝粗細(xì)各異。故事的主人公出于好奇，想計(jì)算出每根樹(shù)枝上的葉片數(shù)，他想了想，先數(shù)出靠近樹(shù)根的一根纖細(xì)樹(shù)枝上的葉片數(shù)，再乘以大樹(shù)樹(shù)枝的數(shù)量，得結(jié)果為2095，第二天人們齊心協(xié)力數(shù)了一下，得出的結(jié)果和這個(gè)主人公估算的結(jié)果差不多。盡管這個(gè)神話故事中沒(méi)有交代清楚主人公如何選擇的樹(shù)枝，但是，可以肯定的是，他必須選擇一根中等粗細(xì)的樹(shù)枝，這樣估算的結(jié)果才不離譜。這選擇樹(shù)枝的過(guò)程和標(biāo)準(zhǔn)就代表著平均數(shù)的思想，因?yàn)樗x的樹(shù)枝必須具有代表性，既不能過(guò)于粗大，又不能過(guò)于纖細(xì)，這樣，在求總數(shù)的過(guò)程中，它才能有效平衡各種樹(shù)枝，起到一個(gè)調(diào)劑中和的作用，移多補(bǔ)少。

這個(gè)與平均數(shù)有關(guān)的神話給我們帶來(lái)啟發(fā)，平均數(shù)的學(xué)習(xí)應(yīng)該從估算大數(shù)起步，因此，筆者設(shè)計(jì)了活動(dòng)一，通過(guò)活動(dòng)一讓學(xué)生理解平均數(shù)可以代表一組數(shù)據(jù)的整體水平。

【活動(dòng)一】某手機(jī)代工企業(yè)總共有30間廠房，每間廠房的員工人數(shù)分別為42，35，36，43，40，58，

47，34，39，50，37，42，47，34，39，45，50，48，52，49，47，32，36，45，35，46，47，38，51，46，你能算出該企業(yè)一共有多少員工嗎？和同學(xué)交流一下你的想法。

活動(dòng)一要求學(xué)生算出代工企業(yè)共有多少員工，也就是讓學(xué)生對(duì)這組數(shù)據(jù)進(jìn)行求和，這種操作和數(shù)樹(shù)葉有著異曲同工之處。由于估算方法本身就是多樣的，再加上學(xué)生的個(gè)體差異和創(chuàng)新力，因此，學(xué)生會(huì)冒出許多不同的解法。

方法一：將這組數(shù)據(jù)中的兩個(gè)最值（最大值和最小值）相加，再平均分成2份，求出兩個(gè)數(shù)的“中間值”，然后用這個(gè)“中間值”代替組內(nèi)每個(gè)數(shù)據(jù)，用這個(gè)數(shù)乘以30。

方法二：將這組數(shù)據(jù)重新排列，按照從大到小的順序排列，然后找到處于正中間位置的那個(gè)數(shù)，再假設(shè)每個(gè)數(shù)都是這個(gè)中位數(shù)，用這個(gè)數(shù)乘以30。

方法三：一一查點(diǎn)，看哪個(gè)數(shù)出現(xiàn)的頻次最高，也就是找出重復(fù)出現(xiàn)次數(shù)最多的那個(gè)數(shù)，假設(shè)每個(gè)數(shù)都是這個(gè)數(shù)，再用這個(gè)數(shù)乘以30。

方法四：運(yùn)用“四舍五入”法將每個(gè)數(shù)據(jù)看成整十?dāng)?shù)，如將“42”看作“40”，將“47”看作“50”，將“34”看作“30”……再求出總和。

前三種方法都是選取一個(gè)代表整體水平的數(shù)值再算總數(shù)，這樣能較為科學(xué)準(zhǔn)確地算出總數(shù)，才能有效地估算大數(shù)。雖然有的廠房的員工人數(shù)會(huì)多于或少于這個(gè)選定的數(shù)，但是在求和的時(shí)候，會(huì)互相抵消?；顒?dòng)中，學(xué)生通過(guò)自行摸索和創(chuàng)新也生成了統(tǒng)計(jì)與概率中的中位數(shù)、眾數(shù)的前概念。通過(guò)這個(gè)活動(dòng)可以發(fā)現(xiàn)，平均數(shù)和估算有著千絲萬(wàn)縷的關(guān)系，并且學(xué)生通過(guò)獨(dú)立思考后提出的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)等形式很有說(shuō)服力，將學(xué)習(xí)內(nèi)容與數(shù)學(xué)知識(shí)緊緊捆綁在一起。教師不妨在開(kāi)展完活動(dòng)一后趁熱打鐵講述這個(gè)印度神話故事，讓學(xué)生深思平均數(shù)的內(nèi)涵。

任何數(shù)學(xué)概念的產(chǎn)生都有原因，平均數(shù)也不例外。其實(shí)計(jì)算平均數(shù)是簡(jiǎn)單的，只需要將各個(gè)數(shù)據(jù)相加，然后除以數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)即可，一旦數(shù)據(jù)較多，這樣計(jì)算就非常煩瑣，而且在學(xué)生眼里，平均數(shù)又沒(méi)有什么實(shí)際用處，因此不愿意學(xué)。小學(xué)低年級(jí)階段，學(xué)生接觸的都是具體運(yùn)算，沒(méi)有接觸過(guò)抽象的統(tǒng)計(jì)，平均數(shù)其實(shí)是一個(gè)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，為了讓學(xué)生更好地接受平均數(shù)，并且自覺(jué)運(yùn)用，介紹平均數(shù)的來(lái)由就顯得十分重要。平均數(shù)的功能就蘊(yùn)含在平均數(shù)的來(lái)歷中，因此，要實(shí)現(xiàn)“變教為學(xué)”，就要學(xué)生自主探究，自己去發(fā)現(xiàn)平均數(shù)的用途和優(yōu)勢(shì)，例如，讓學(xué)生計(jì)算工廠員工總數(shù)，如果估算好平均數(shù)，那么計(jì)算就會(huì)十分方便，學(xué)生在多方探究中自己發(fā)現(xiàn)平均數(shù)的優(yōu)勢(shì)。

二、學(xué)會(huì)計(jì)算，領(lǐng)悟功能

【活動(dòng)二】（1）人們可以在甲、乙兩個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)衛(wèi)生院接種新冠疫苗，表1列出了甲鄉(xiāng)鎮(zhèn)衛(wèi)生院四周接種新冠疫苗的人次，表2列出了乙鄉(xiāng)鎮(zhèn)衛(wèi)生院三周接種新冠疫苗的人次，你知道哪個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)衛(wèi)生院的周業(yè)務(wù)量較高嗎？（2）乙鄉(xiāng)鎮(zhèn)衛(wèi)生院在第四周接種新冠疫苗的人次是多少，才能使該衛(wèi)生院平均每周接種新冠疫苗是70人次？和同伴交流一下你是怎么計(jì)算的。

本次親土狀元選拔賽，是今年該系列大賽的收官之作，吸引了300多名來(lái)自洛川各鄉(xiāng)鎮(zhèn)的蘋果種植能手。他們當(dāng)中，既有像楊華鵬一樣子承父業(yè)的“果二代”，也有自費(fèi)到日本學(xué)習(xí)果樹(shù)管理的“技術(shù)控”，以及在電商平臺(tái)逐漸做強(qiáng)品牌的“網(wǎng)紅果王”。大家一早便帶著自己的得意之作來(lái)到大賽現(xiàn)場(chǎng)，個(gè)個(gè)摩拳擦掌，對(duì)親土狀元志在必得。

表1 甲鄉(xiāng)鎮(zhèn)衛(wèi)生院四周接種新冠疫苗的人次

表2 乙鄉(xiāng)鎮(zhèn)衛(wèi)生院三周接種新冠疫苗的人次

活動(dòng)二的第（1）問(wèn)，第一個(gè)目的在于讓學(xué)生學(xué)習(xí)并掌握平均數(shù)的兩種基本算法，一種是先將所有數(shù)據(jù)加起來(lái)，再除以數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)，另一種則是移多補(bǔ)少；第二個(gè)目的在于向?qū)W生傳遞信號(hào)——平均數(shù)可以代表一組數(shù)的整體水平和另一組數(shù)做比較，讓學(xué)生體會(huì)到平均數(shù)的對(duì)比功能。學(xué)生經(jīng)過(guò)研究和思考就會(huì)發(fā)現(xiàn)，此時(shí)用接種新冠疫苗的總?cè)舜伪容^兩個(gè)衛(wèi)生院的業(yè)務(wù)量不公平，也不科學(xué)，因此會(huì)想出如下方法。

方法一：分別算出甲、乙兩個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)衛(wèi)生院接種新冠疫苗的總?cè)舜?，再除以?duì)應(yīng)的周數(shù)，就可以得出每個(gè)衛(wèi)生院每周接種人次，也就是周業(yè)務(wù)量。

方法二：把甲鄉(xiāng)鎮(zhèn)衛(wèi)生院第一周的10人次轉(zhuǎn)移到第二周，把第四周的20人次轉(zhuǎn)移到第三周，此時(shí)每周接種人次相等。把乙鄉(xiāng)鎮(zhèn)衛(wèi)生院第一周的30人次轉(zhuǎn)移到第二周，此時(shí)每周的接種人次也會(huì)相等。最后用兩個(gè)數(shù)進(jìn)行比較。

活動(dòng)二的第（2）問(wèn)是這樣設(shè)計(jì)的，已知四個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)和它們中的三個(gè)數(shù)據(jù)，據(jù)此推算第四個(gè)數(shù)據(jù)。這是通過(guò)已知平均數(shù)逆向求解未知數(shù)據(jù)，這種逆向出題思路，考查的就是學(xué)生對(duì)平均數(shù)的通盤考慮能力。學(xué)生可能會(huì)想出如下方法。

方法一：四周平均每周接種新冠疫苗70人次，據(jù)此就可以逆向求出四周接種新冠疫苗的總?cè)舜?，再減去前三周接種新冠疫苗的人次。

方法二：第一周接種新冠疫苗的較多，把其中30人次轉(zhuǎn)移到第二周，則前三周都接種新冠疫苗60人次，要使平均每周接種新冠疫苗70人次，這樣就還差30人次，再加上第四周接種新冠疫苗的70人次，得出第四周接種新冠疫苗的人次要達(dá)到100才可以。

方法三：把第一周中的10人次轉(zhuǎn)移到第二周，再把第一周的10人次轉(zhuǎn)移到第三周，這樣前三周接種新冠疫苗的人次分別是70，40，70，那么，用第二周差的30人次再加上第四周需要達(dá)到的70人次，答案是100人次。

方法四：第一周保留30人次，把60人次都轉(zhuǎn)移到第四周，這樣，這四周距離要求的70人次，分別差了40人次、40人次、10人次、10人次，40+40+10+10=100，答案同樣是100人次。

平均數(shù)算法的逆向倒推和移多補(bǔ)少的基本思想方法均可以破解這道題。方法二、三、四都是運(yùn)用的移多補(bǔ)少的方法，區(qū)別是基準(zhǔn)不同，它們分別以60，70，30為基準(zhǔn)。當(dāng)然，方法還有很多，但是都要經(jīng)過(guò)深入思考才能得出。

設(shè)計(jì)的活動(dòng)二并未直接要求學(xué)生計(jì)算平均數(shù)，而是通過(guò)現(xiàn)實(shí)情境告訴學(xué)生，平均數(shù)可以反映兩組數(shù)據(jù)的整體水平，要想比較出兩組數(shù)據(jù)的高低，就必須用平均數(shù)加以確認(rèn)。求平均數(shù)的本質(zhì)實(shí)際上是移多補(bǔ)少，實(shí)際計(jì)算時(shí)，也可以運(yùn)用移多補(bǔ)少的辦法，而且怎么“移”、怎么“補(bǔ)”也存在方法的多樣性，學(xué)生在經(jīng)歷活動(dòng)二各種各樣的“移花接木”后，就能掌握計(jì)算平均數(shù)的表象，這些寶貴的經(jīng)歷會(huì)促使學(xué)生在每次計(jì)算平均數(shù)時(shí)，都能熟練運(yùn)用平均數(shù)的內(nèi)在規(guī)律。

三、聯(lián)系舊知，對(duì)比辨析

完成上述兩個(gè)學(xué)習(xí)活動(dòng)后，學(xué)生對(duì)平均數(shù)有了細(xì)致的了解，此時(shí)，受知識(shí)遷移的影響，學(xué)生極有可能將“平均數(shù)”和“平均分”混淆。

“除法的初步認(rèn)識(shí)”對(duì)平均分有著明確的定義，將總數(shù)分成每份一樣多的若干份，平均分是一種結(jié)果一定的分配方案，而不是方法，無(wú)論采用哪種分法，最終的結(jié)果是一樣的，而且無(wú)論初次分配如何混亂，通過(guò)移多補(bǔ)少都可以達(dá)成平均分的目的，計(jì)算出的結(jié)果是實(shí)際操作后的客觀事實(shí)，或者說(shuō)是可以預(yù)見(jiàn)的事實(shí)。

而平均數(shù)則是一個(gè)統(tǒng)計(jì)概念，它在現(xiàn)實(shí)生活中未必對(duì)應(yīng)著分配的結(jié)果和操作，甚至不具備可操作性。學(xué)生學(xué)習(xí)平均數(shù)之前已經(jīng)學(xué)過(guò)平均分，平均分是“物品總數(shù)÷分的份數(shù)=每份數(shù)”，例如，甲有某上市公司3萬(wàn)股股票，乙有該上市公司5萬(wàn)股股票，一共有8萬(wàn)股股票，如果平均分，則甲、乙各得到4萬(wàn)股。而平均數(shù)的計(jì)算公式為“數(shù)據(jù)總和÷個(gè)數(shù)=平均數(shù)”。

活動(dòng)三可以進(jìn)一步深化平均數(shù)的統(tǒng)計(jì)概念。

【活動(dòng)三】有調(diào)查報(bào)告稱：“放開(kāi)三胎后，甲市每對(duì)夫妻平均生育2.5個(gè)子女；同期的國(guó)外某城市則是平均2.5人生育1個(gè)子女。”請(qǐng)你想一想，其中的“2.5人”是什么意思？

通過(guò)學(xué)生的回答可知，在他們心目中，“0.5”是未成年人，“2.5人”表示兩個(gè)成人和一個(gè)未成年人。出現(xiàn)這樣令人啼笑皆非的答案，表明學(xué)生還沒(méi)有對(duì)平均數(shù)的統(tǒng)計(jì)概念有深刻印象。半個(gè)人是不存在的，當(dāng)A對(duì)夫妻育有2個(gè)子女，B對(duì)夫妻育有3個(gè)子女，平均每對(duì)夫妻就育有“2.5個(gè)子女”。以上報(bào)道可以理解為“甲市每?jī)蓪?duì)夫妻加起來(lái)育有5個(gè)子女”和“同時(shí)期國(guó)外某城市平均5人就育有2個(gè)子女”。教師可以繼續(xù)問(wèn)“每名學(xué)生平均每天閱讀1.5小時(shí)”中的“1.5小時(shí)”作何解，此處的“1.5小時(shí)”則是一個(gè)具體量。教師要引導(dǎo)學(xué)生理解平均數(shù)的統(tǒng)計(jì)意義與實(shí)際意義的聯(lián)系與區(qū)別。

平均數(shù)是一個(gè)統(tǒng)計(jì)概念，其數(shù)值在具體情境中也沒(méi)有正式的“身份”，因此，要將其與平均分概念徹底區(qū)分開(kāi)，平均分中的每個(gè)數(shù)字都是實(shí)指，而平均數(shù)則是虛構(gòu)的，如生育率統(tǒng)計(jì)中的“2.5人”就是虛指，因?yàn)椴淮嬖诎雮€(gè)人這一說(shuō)，而到了統(tǒng)計(jì)中，它又是合理的，此處的0.5是移多補(bǔ)少造成的結(jié)果，只要將所有“0.5”合起來(lái)，會(huì)得到一個(gè)整數(shù)。平均數(shù)的虛擬性還體現(xiàn)在不可操作性，如7天的平均氣溫可以進(jìn)行理論計(jì)算，但是人們無(wú)法將7天的氣溫疊加到一塊，然后平均分成7份，也不可能將今天的氣溫轉(zhuǎn)移3℃到昨天。但是，如果換成是7個(gè)人摘蘋果，平均每人摘得的蘋果數(shù)卻可以“操作”出來(lái)——先將所有蘋果收集起來(lái)，然后平均分給7個(gè)人。

“變教為學(xué)”中強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)內(nèi)容要“實(shí)現(xiàn)關(guān)聯(lián)”，指的是課程既要體現(xiàn)知識(shí)，又要反映生活，因此，最后設(shè)計(jì)活動(dòng)四，讓學(xué)生在生活中處處看到平均數(shù)的身影。

【活動(dòng)四】說(shuō)說(shuō)你在生活中的哪些地方見(jiàn)過(guò)平均數(shù)？

活動(dòng)四的問(wèn)題很開(kāi)放，待學(xué)生舉例后，教師可以繼續(xù)補(bǔ)充完善相關(guān)知識(shí)。

“變教為學(xué)”要求學(xué)習(xí)內(nèi)容凸顯數(shù)學(xué)本質(zhì)、滲透數(shù)學(xué)文化、實(shí)現(xiàn)知識(shí)間的關(guān)聯(lián)。因此，對(duì)“平均數(shù)”的教學(xué)設(shè)計(jì)首先要突出平均數(shù)的本質(zhì)——選擇中間值估計(jì)大數(shù)；其次，需要滲透平均數(shù)的文化，回顧平均數(shù)的發(fā)展史；最后，把平均數(shù)與學(xué)生已經(jīng)學(xué)過(guò)、學(xué)會(huì)的平均分聯(lián)系起來(lái)，對(duì)照辨析，弄清平均數(shù)的統(tǒng)計(jì)功能與統(tǒng)計(jì)特性。