深入剖析概念 揭示公式本質(zhì)談?wù)勌岣邔W(xué)生的解題能力的途徑

付金和

“問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟”.在中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，掌握數(shù)學(xué)就意味著解題，那么中職學(xué)生的解題能力到底怎么樣呢？讓我們來(lái)看看下面的鏡頭：學(xué)生在做練習(xí)，遇上了稍有變化的或沒(méi)有見(jiàn)過(guò)的題，不少學(xué)生叫喊不會(huì)做，或者忙于翻書(shū)，試圖找到同類(lèi)題，以便依葫蘆畫(huà)瓢;或者凝神苦思，卻不得其解;或者干脆放棄這道題……

難道題目真的如他們想象的那樣難，以至超出了范圍？不是！這通常反映出學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念沒(méi)吃透，公式定理本質(zhì)沒(méi)理解，導(dǎo)致無(wú)法用所學(xué)的知識(shí)解決面臨的問(wèn)題，即知識(shí)未轉(zhuǎn)化為能力，也即人們常說(shuō)的解題能力差.針對(duì)這一問(wèn)題，筆者嘗試從下列途徑來(lái)提高學(xué)生的解題能力：

一、深入剖析概念，加強(qiáng)對(duì)比教學(xué)，努力讓學(xué)生參與概念的形成過(guò)程，使學(xué)生理解概念本質(zhì)，促進(jìn)知識(shí)正遷移

在《空間直線與平面》這一章中，異面直線的概念是難點(diǎn)，但又必須弄清楚，否則影響后續(xù)內(nèi)容的學(xué)習(xí).筆者在教學(xué)中是這樣做的：從實(shí)際生如活中不相交且不平行的兩直線入手，指出空間兩直線的第三種位置關(guān)系：不相交且不平行，稱(chēng)為異面，那么如何下定義呢？這里可先引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)已有知識(shí)來(lái)嘗試下定義，然后教師總結(jié)板書(shū).這樣做，既調(diào)動(dòng)了學(xué)生的積極性，發(fā)揮了其主體作用，又通過(guò)學(xué)生嘗試→教師點(diǎn)撥→再?lài)L試→再點(diǎn)撥→結(jié)論的教學(xué)過(guò)程，使學(xué)生參與概念的形成過(guò)程，從而概念的本質(zhì)被逐步揭示出來(lái).同時(shí)，上述過(guò)程又是偏離本質(zhì)→訂正→再偏離→再訂正的過(guò)程，正反對(duì)比強(qiáng)烈，學(xué)生的印象也較深刻.另外板書(shū)概念時(shí)將關(guān)鍵字詞加上著重號(hào)不失為加深學(xué)生印象的一種好辦法.實(shí)踐證明，這樣做效果很好，學(xué)生不僅記住并且理解了概念，從而對(duì)于辨析概念一類(lèi)的問(wèn)題，一般都能迅速準(zhǔn)確作答，達(dá)到了教學(xué)目的。

二、加強(qiáng)公式變式教學(xué)，讓學(xué)生從多側(cè)面認(rèn)識(shí)理解公式，從而靈活應(yīng)用解題

有這樣一道題：

不查表求值tan12°+tan33°-（1-tan12°tan33°）

不少學(xué)生見(jiàn)到此題后，百般思索，就是想不到從何下手.的確，12°、33°均非特殊角，其三角函數(shù)值只能查表，但不合題意.怎么辦？仔細(xì)看看，12°+33°=45°是特殊角，且題中涉及tan12°+tan33°與tan12°tan33°，聯(lián)想到兩角和的正切公式，變形即可得原題結(jié)果.這里，不是照搬公式，而是利用公式的一個(gè)變形。

一般地，在創(chuàng)設(shè)合適的問(wèn)題情境導(dǎo)出公式后，在公式的應(yīng)用教學(xué)中要特別重視公式的逆用和變式應(yīng)用.我們知道，每個(gè)公式都有雙向功能，從左到右是順用，從右到左是逆用，而公式推導(dǎo)一般是從左到右，這種思維定勢(shì)使得學(xué)生只注意公式的順用，而難以聯(lián)想逆用和變式應(yīng)用.因此我們?cè)诮虒W(xué)中要求學(xué)生掌握公式的形式結(jié)構(gòu)及語(yǔ)義內(nèi)容，真正理解公式的本質(zhì)，并有意識(shí)地多舉逆用及變式應(yīng)用方面的例子，使學(xué)生應(yīng)用公式解題時(shí)，思維變得靈活，能迅速根據(jù)需要聯(lián)想如何應(yīng)用公式。

三、在教學(xué)中嘗試讓學(xué)生說(shuō)題，即讓學(xué)生把審題、分析、解答和回顧總結(jié)的思維過(guò)程按一定準(zhǔn)則說(shuō)出來(lái)，促使學(xué)生暴露面對(duì)題目的思維過(guò)程，通過(guò)老師引導(dǎo)，同學(xué)補(bǔ)充，系統(tǒng)地把握解題過(guò)程，提高分析思維能力，從而促進(jìn)解題能力的提高

根據(jù)數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)和學(xué)生的能力特征，筆者在高三數(shù)學(xué)教學(xué)中對(duì)學(xué)生說(shuō)題進(jìn)行了一些研究和嘗試，覺(jué)得一般的說(shuō)題包括以下幾個(gè)方面：說(shuō)題目中的知識(shí)點(diǎn)及聯(lián)系、說(shuō)解題的思路和方法、說(shuō)解題后的檢查反思、說(shuō)解法的變化、說(shuō)題目的引申推廣等.下面舉實(shí)例加以說(shuō)明：

例： 公差d不為0的{an}等差數(shù)列中，a1、a2、a6成等比數(shù)列，求該等比數(shù)列的公比q.

㈠、說(shuō)知識(shí)點(diǎn) 本題著重考查等差與等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公

式.

㈡、說(shuō)解題思路 由這三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列有（a2）2= a1a6.

于是有 （a1+d）2=a1（a1+5d）

解得 d=3a1或者d=0

所以 q=4或者q=1

㈢、說(shuō)檢查 題目中d≠0，于是q=4（q=1舍去）.

㈣、說(shuō)反思 上述解法是從等比數(shù)列這一條件入手的，能否從等差數(shù)列這一條件入手呢？學(xué)生嘗試后發(fā)現(xiàn)這一想法是可行的：

易知a2=a1 q=a1+d①，a6=a1 q2=a1+5d ②

于是②-①×5得 q=4或者q=1（舍去）

㈤、說(shuō)解題總結(jié)

一般地，求比值的問(wèn)題，應(yīng)把有關(guān)的兩個(gè)量都用另一個(gè)量表示出來(lái)，解題中應(yīng)注意消元的方法.

又例： 若函數(shù)f（x）=102-x+a（a為常數(shù)），且f-1（12）=1，則a= .

按照以上分析，學(xué)生不難得出兩種解法，一是直接求出反函數(shù)，再求a的值;二是根據(jù)反函數(shù)與原函數(shù)圖象間的關(guān)系知f （1）=12，從而易得解.經(jīng)過(guò)上述思維過(guò)程，學(xué)生再遇到此類(lèi)問(wèn)題就會(huì)靈活地選擇解法了。這樣，我們不僅教會(huì)了學(xué)生知識(shí)，更重要地是教會(huì)了學(xué)生方法。

四、培養(yǎng)和提高學(xué)生的基本數(shù)學(xué)能力

經(jīng)常有這樣的例子：題目不太難，學(xué)生也會(huì)做，就是速度太慢或者解題過(guò)程有少許疏漏.前者反映學(xué)生的運(yùn)算能力不強(qiáng)，缺乏技巧，不明算理，不夠熟練;后者反映學(xué)生粗心大意，更多的時(shí)候是考慮問(wèn)題不全，對(duì)分類(lèi)討論不好.針對(duì)這些現(xiàn)象，筆者在教學(xué)中采取如下措施：

㈠、通過(guò)前述一、二、三使學(xué)生理解掌握數(shù)學(xué)概念公式性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí).

㈡、提高學(xué)生運(yùn)用性質(zhì)與公式來(lái)推理運(yùn)算的能力，加強(qiáng)運(yùn)算訓(xùn)練.

如等比數(shù)列{an}中，公比q=2，且a1a2…a30=230，求a3a6…a30的值.

分析：由題意有a1a2…a30=（a1a30）15=230，則a1a30=22，

a3a6…a30=（ a3a30）5=（a1a30q2）5=220

這樣做，簡(jiǎn)潔明了.本題若先求a1亦可，但運(yùn)算會(huì)很繁瑣.

㈢、加強(qiáng)分類(lèi)討論練習(xí)，這方面的例子很多，如指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、二次曲線、排列組合等等。

綜上，深入剖析概念，揭示公式本質(zhì)，學(xué)生的分析解題能力將會(huì)得到很大提高，學(xué)習(xí)的精神面貌將煥然一新。