一類(lèi)奇攝動(dòng)分?jǐn)?shù)階微分方程的漸近解

李金洲，包立平

(杭州電子科技大學(xué)理學(xué)院，浙江 杭州 310018)

0 引 言

近些年來(lái)，分?jǐn)?shù)階微分方程不僅在熱傳導(dǎo)[1]、粘彈性力學(xué)[2]等物理學(xué)問(wèn)題上應(yīng)用廣泛，而且在初值問(wèn)題[3]、邊值問(wèn)題[4-5]、穩(wěn)定性理論[6]等分?jǐn)?shù)階微分方程理論方面取得了重大進(jìn)展。奇攝動(dòng)分析作為解決理論和應(yīng)用問(wèn)題的重要工具，在研究分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問(wèn)題方面起到重要作用。文獻(xiàn)[7-8]用微分不等式方法得到了奇攝動(dòng)分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問(wèn)題的一系列結(jié)果。本文討論一類(lèi)奇攝動(dòng)分?jǐn)?shù)階線性微分方程邊值問(wèn)題，運(yùn)用雙參數(shù)展開(kāi)法得到解的高階形式展開(kāi)以及邊界層矯正項(xiàng)，并運(yùn)用極值原理[9]進(jìn)行余項(xiàng)估計(jì)。

1 奇攝動(dòng)問(wèn)題外部解

一類(lèi)分?jǐn)?shù)階奇攝動(dòng)微分方程邊值問(wèn)題如下：

(1)

y(0)=α,y(1)=β

(2)

(3)

(1)a(x)在區(qū)間[0,1]連續(xù)，且對(duì)于任意x∈[0,1]，a(x)≥m>0，m與ε無(wú)關(guān)；

(2)b(x)在區(qū)間[0,1]連續(xù)，且對(duì)于任意x∈[0,1]，b(x)>0。

構(gòu)造原邊值問(wèn)題(1)—(2)的外部解展開(kāi)式為Y(x,ε,μ)，令

(4)

再進(jìn)行ε和μ雙參數(shù)展開(kāi)，令等式兩端ε和μ同次方冪系數(shù)相等，可得：

(5)

Yn,m(0)=0n>0或m>0

(6)

(7)

退化解Y0,0的微分方程式為：

(8)

Y0,0(0)=α

(9)

由式(8)—式(9)得到Volterra積分方程：

(10)

2 邊界層矯正項(xiàng)

由奇異攝動(dòng)理論構(gòu)造x=1點(diǎn)處的內(nèi)解，設(shè)邊值問(wèn)題(1)—問(wèn)題(2)的解為：

y(x)～Y(x,ε,μ)+Z(τ,ε,μ)

(11)

(12)

H1(x)=Zn,m(x)-Zn,m(0)

(13)

(14)

將式(4)、式(11)—(14)代入式(1)，得到：

(15)

Z0,0(0)=β

(16)

Zn,m(0)=0n>0或m>0

(17)

Zn,m(∞)=0

(18)

式中，Wn,m(τ)為由Z0,0(τ),…,Zn,m-1(τ),…,Zn-1,m(τ)決定的已知函數(shù)，當(dāng)n=m=0時(shí)，W0,0(τ)=0。將式(15)進(jìn)行q階積分，得到：

(19)

式中，C1為任意常數(shù)。結(jié)合定解條件(16)，對(duì)分?jǐn)?shù)階微分方程(19)求解，得到：

(20)

將式(18)代入式(20)，得到C1=0，由此可得：

(21)

為了使內(nèi)解存在，令Wn,m滿(mǎn)足如下條件

(22)

當(dāng)n或m>0時(shí)，將式(15)兩邊進(jìn)行q階積分后再p次迭代，得到

(23)

(24)

3 余項(xiàng)估計(jì)

證明將解y(x,ε,μ)=Y(x,ε,μ)+Z(x,ε,μ)+R(x)εN+1μM+1代入式(1)、式(2)，得到

(25)

由形式漸近展開(kāi)式構(gòu)造,可得：

(26)

R(0)=0,R(1)=0

(27)

(28)

(29)

結(jié)合式(26)、式(28)、式(29)可以得到：

(30)

(31)

(32)

4 結(jié)束語(yǔ)