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      Schr?dinger-Poisson系統(tǒng)解的存在性

      2022-02-24 04:12:34鐘巧澄
      關鍵詞:位勢命題定理

      王 軍,王 莉,鐘巧澄

      (華東交通大學 理學院,江西 南昌 330013)

      0 引言

      本文考慮下列Schr?dinger-Poisson系統(tǒng):

      (1)

      其中:位勢函數(shù)V是不定的,即V有有限維負空間;Ω是R3的有界子集。

      文獻[2-11]研究了Schr?dinger-Poisson系統(tǒng)各種解的存在性,但在不定位勢的情形下的研究較少。對于不定位勢的問題,正如文獻[12]所述,由于V在某些地方可能為負,能量泛函I將不再滿足一般的環(huán)繞定理。文獻[13]利用Morse理論得到方程(1)非平凡解的存在性。本文在其基礎上考慮更一般的增長性條件,并在此條件下依然得到相同的結果。本文還運用改進后的Clark’s定理得到無窮多解的存在性。對位勢函數(shù)V作如下假設:

      對于非線性項,作如下假設:

      為了保證全局緊性,通常對非線性項f(x,t)施加次臨界增長性條件:存在一個常數(shù)C0>0使得:

      其中:1

      αG(x,t)+c≥G(x,st)

      成立,其中G(x,t):=tf(x,t)-4F(x,t)≥0。

      αG(x,t)≥G(x,st)

      成立,這等價于(f2)當c=0。

      顯然,F(xiàn)(x,t)=t4ln(1+t4)滿足條件(f1)~(f3)。

      下面陳述本文的主要結果:

      定理1 假設條件(V)和條件(f1)~(f3)成立,那么方程(1)有一個非平凡解。

      定理2 假設條件(V)和條件(f1)~(f3)成立,如果f(x,·)是奇函數(shù),那么方程(1)有一列解使得I(un,φn)→+∞。

      定理3 假設條件(V)和條件(f1)~(f3)成立,如果f(x,-t)=-f(x,t)對所有(x,t)∈Ω×R都成立,那么方程(1)有一列解{uk}滿足當k→∞時有‖uk‖X→0。

      1 準備工作

      下面回顧無窮維Morse理論的一些概念和結論。

      設X是一個Banach空間,I:X→R是一個C1的能量泛函,u是I的一個孤立臨界點以及I(u)=c,那么:

      Cq(I,u):=Hq(Ic,Ic{0}),q=0,1,2,…

      稱為I在u的第q階臨界群,其中Ic:=I-1(-∞,c]和H*表示系數(shù)在z上的奇異同調。

      若I滿足Palais-Smale(PS)條件(即任意滿足I(un)→c,I′(un)→0的序列{un}有收斂子列)且I的臨界值有下界α,那么由文獻[14]可知:

      Cq(I,∞):=Hq(X,Iα),q=0,1,2,…

      指I在無窮遠處的第q階臨界群。眾所周知,上式的右邊并不取決于α的選擇。

      命題1[15]如果I∈C1(X,R)滿足PS條件且對于某些k∈有Ck(I,0)≠Ck(I,∞),那么I有一個非零臨界點。

      命題2[16]假設I∈C1(X,R)在0處局部環(huán)繞,即X=Y⊕Z且對于某些ρ>0有:

      I(u)≤0,?u∈Y∩Bρ;

      I(u)>0,?u∈(Z{0})∩Bρ,

      其中:Bρ={u∈X|‖u‖≤ρ}。如果k=dimY<∞,那么Ck(I,0)≠0。

      為了研究泛函I,本文將利用涉及φu的項的以下性質:

      命題4[18]設X是一個Banach空間,I∈C1(X,R)。假設I滿足PS條件,是偶泛函和下有界的,以及I(0)=0。如果對于任意的k∈,存在X的一個k維子空間Xk和ρk>0使得其中那么下列結論至少有一個成立:

      2 重要引理

      X上的等價范數(shù),泛函I可以改寫為:

      (2)

      其中:u±表示u在X上的正交投影。

      引理1 若條件(V)和條件(f1)~(f3)成立,那么泛函I滿足PS條件。

      證明對于c∈R,設{un}是X上的PS序列,即I(un)→c且I′(un)→0,n→∞,這表明:

      c=I(un)+o(1)且〈I′(un),un〉=o(1)。

      (3)

      在X上,wn弱收斂到w,

      在Lr(Ω)(2≤r<2*)上,wn強收斂到w,

      在Ω上,wn幾乎處處收斂到w,

      (4)

      設Ω1={x∈Ω,w(x)≠0},則在Ω1上有:

      因此,

      |un(x)|→+∞幾乎處處在Ω1上。

      (5)

      (6)

      再次利用條件(f3),存在常數(shù)C2>0使得對任意x∈Ω和|t|≤C2,有:

      (7)

      F(x,t)≤M。

      (8)

      (9)

      接下來證明|Ω1|=0。如果|Ω1|≠0,那么結合命題3、式(4)、式(6)、式(9)和Fatou引理,可得:

      (10)

      I(tnun)→+∞當n→∞。

      (11)

      由于I(0)=0,I(un)→c,所以tn∈(0,1)且

      (12)

      根據假設條件(f2),對于0≤tn≤1有αG(x,un)+c≥G(x,tnun),那么利用式(11)和式(12)可得:

      (13)

      (14)

      證明反證。存在序列{un}?X使得I(u)≤-n但

      (15)

      因此,

      4I(un)-〈I′(un),un〉≤-4n。

      (16)

      因此,利用式(15)可得:

      這與式(16)矛盾。引理2證畢。

      引理3Cq(I,∞)=0,q=0,1,2…。

      成立。所以存在sv>0使得I(svv)=-A。令u=svv,則根據引理2可得:

      因此,Cq(I,∞)=Hq(X,I-A)=Hq(X,XB)=0,q=0,1,2,…。引理3證畢。

      3 定理的證明

      定理2的證明 根據引理1可知I滿足PS條件,定理2的證明與文獻[12]中定理1.2的證明非常類似,故這里不再重復。

      定理3的證明 根據f(x,-t)=-f(x,t),易證泛函I是偶泛函以及滿足I(0)=0。此外,由于V∈C(Ω)有界,顯然I是下有界的。對于?k∈和ρk>0,令

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