王 軍,王 莉,鐘巧澄
(華東交通大學 理學院,江西 南昌 330013)
本文考慮下列Schr?dinger-Poisson系統(tǒng):
(1)
其中:位勢函數(shù)V是不定的,即V有有限維負空間;Ω是R3的有界子集。
文獻[2-11]研究了Schr?dinger-Poisson系統(tǒng)各種解的存在性,但在不定位勢的情形下的研究較少。對于不定位勢的問題,正如文獻[12]所述,由于V在某些地方可能為負,能量泛函I將不再滿足一般的環(huán)繞定理。文獻[13]利用Morse理論得到方程(1)非平凡解的存在性。本文在其基礎上考慮更一般的增長性條件,并在此條件下依然得到相同的結果。本文還運用改進后的Clark’s定理得到無窮多解的存在性。對位勢函數(shù)V作如下假設:
對于非線性項,作如下假設:
為了保證全局緊性,通常對非線性項f(x,t)施加次臨界增長性條件:存在一個常數(shù)C0>0使得:
其中:1
αG(x,t)+c≥G(x,st)
成立,其中G(x,t):=tf(x,t)-4F(x,t)≥0。
αG(x,t)≥G(x,st)
成立,這等價于(f2)當c=0。
顯然,F(xiàn)(x,t)=t4ln(1+t4)滿足條件(f1)~(f3)。
下面陳述本文的主要結果:
定理1 假設條件(V)和條件(f1)~(f3)成立,那么方程(1)有一個非平凡解。
定理2 假設條件(V)和條件(f1)~(f3)成立,如果f(x,·)是奇函數(shù),那么方程(1)有一列解使得I(un,φn)→+∞。
定理3 假設條件(V)和條件(f1)~(f3)成立,如果f(x,-t)=-f(x,t)對所有(x,t)∈Ω×R都成立,那么方程(1)有一列解{uk}滿足當k→∞時有‖uk‖X→0。
下面回顧無窮維Morse理論的一些概念和結論。
設X是一個Banach空間,I:X→R是一個C1的能量泛函,u是I的一個孤立臨界點以及I(u)=c,那么:
Cq(I,u):=Hq(Ic,Ic{0}),q=0,1,2,…
稱為I在u的第q階臨界群,其中Ic:=I-1(-∞,c]和H*表示系數(shù)在z上的奇異同調。
若I滿足Palais-Smale(PS)條件(即任意滿足I(un)→c,I′(un)→0的序列{un}有收斂子列)且I的臨界值有下界α,那么由文獻[14]可知:
Cq(I,∞):=Hq(X,Iα),q=0,1,2,…
指I在無窮遠處的第q階臨界群。眾所周知,上式的右邊并不取決于α的選擇。
命題1[15]如果I∈C1(X,R)滿足PS條件且對于某些k∈有Ck(I,0)≠Ck(I,∞),那么I有一個非零臨界點。
命題2[16]假設I∈C1(X,R)在0處局部環(huán)繞,即X=Y⊕Z且對于某些ρ>0有:
I(u)≤0,?u∈Y∩Bρ;
I(u)>0,?u∈(Z{0})∩Bρ,
其中:Bρ={u∈X|‖u‖≤ρ}。如果k=dimY<∞,那么Ck(I,0)≠0。
為了研究泛函I,本文將利用涉及φu的項的以下性質:
命題4[18]設X是一個Banach空間,I∈C1(X,R)。假設I滿足PS條件,是偶泛函和下有界的,以及I(0)=0。如果對于任意的k∈,存在X的一個k維子空間Xk和ρk>0使得其中那么下列結論至少有一個成立:
X上的等價范數(shù),泛函I可以改寫為:
(2)
其中:u±表示u在X上的正交投影。
引理1 若條件(V)和條件(f1)~(f3)成立,那么泛函I滿足PS條件。
證明對于c∈R,設{un}是X上的PS序列,即I(un)→c且I′(un)→0,n→∞,這表明:
c=I(un)+o(1)且〈I′(un),un〉=o(1)。
(3)
在X上,wn弱收斂到w,
在Lr(Ω)(2≤r<2*)上,wn強收斂到w,
在Ω上,wn幾乎處處收斂到w,
(4)
設Ω1={x∈Ω,w(x)≠0},則在Ω1上有:
因此,
|un(x)|→+∞幾乎處處在Ω1上。
(5)
(6)
再次利用條件(f3),存在常數(shù)C2>0使得對任意x∈Ω和|t|≤C2,有:
(7)
F(x,t)≤M。
(8)
(9)
接下來證明|Ω1|=0。如果|Ω1|≠0,那么結合命題3、式(4)、式(6)、式(9)和Fatou引理,可得:
(10)
I(tnun)→+∞當n→∞。
(11)
由于I(0)=0,I(un)→c,所以tn∈(0,1)且
(12)
根據假設條件(f2),對于0≤tn≤1有αG(x,un)+c≥G(x,tnun),那么利用式(11)和式(12)可得:
(13)
(14)
證明反證。存在序列{un}?X使得I(u)≤-n但
(15)
因此,
4I(un)-〈I′(un),un〉≤-4n。
(16)
因此,利用式(15)可得:
這與式(16)矛盾。引理2證畢。
引理3Cq(I,∞)=0,q=0,1,2…。
成立。所以存在sv>0使得I(svv)=-A。令u=svv,則根據引理2可得:
因此,Cq(I,∞)=Hq(X,I-A)=Hq(X,XB)=0,q=0,1,2,…。引理3證畢。
定理2的證明 根據引理1可知I滿足PS條件,定理2的證明與文獻[12]中定理1.2的證明非常類似,故這里不再重復。
定理3的證明 根據f(x,-t)=-f(x,t),易證泛函I是偶泛函以及滿足I(0)=0。此外,由于V∈C(Ω)有界,顯然I是下有界的。對于?k∈和ρk>0,令