江蘇灌云經(jīng)濟(jì)開發(fā)區(qū)實(shí)驗(yàn)學(xué)校（222000） 劉曉月

例題教學(xué)是數(shù)學(xué)知識(shí)傳授的必經(jīng)之路，也是學(xué)生間接掌握知識(shí)的一種手段，例題教學(xué)出彩，配套練習(xí)給力，學(xué)生掌握的知識(shí)就牢固。學(xué)生在做習(xí)題的過(guò)程中將習(xí)題和例題進(jìn)行對(duì)比辨析，不斷磨煉、加深印象、夯實(shí)根基，領(lǐng)悟基本數(shù)學(xué)思想，形成基本數(shù)學(xué)解題技能。

令人憂慮的是，部分教師在設(shè)計(jì)例題教學(xué)時(shí)，并不能每節(jié)課都將例題中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)精華傳達(dá)到位，也并不能每節(jié)課都充分利用例題所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)知識(shí)和教育功能。有些例題的教學(xué)就是隨波逐流，成了集體無(wú)意識(shí)，甚至有時(shí)為了省事省心，干脆以做完題為目標(biāo)……長(zhǎng)此以往，例題教學(xué)成了數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)薄弱點(diǎn)。

蘇教版教材四年級(jí)下冊(cè)“倍數(shù)和因數(shù)”的新授內(nèi)容包含三道例題：例1 是通過(guò)用正方形擺成長(zhǎng)方形提出倍數(shù)和因數(shù)的概念，例2 是探究倍數(shù)及其數(shù)學(xué)特征，例3 是探究因數(shù)及其數(shù)學(xué)特征。本文僅以例題1的教學(xué)為例進(jìn)行論述。

一、第一次試教

師：你能用12 個(gè)同樣大的正方形拼成一個(gè)長(zhǎng)方形嗎？每排擺幾個(gè)正方形？一共擺幾排？嘗試用乘法算式把你的擺法表示出來(lái)，并在小組里交流。

（學(xué)生先獨(dú)立擺12 個(gè)同樣大的正方形，并將不同擺法用乘法算式表示出來(lái)，然后在小組里交流，最后集體展示）

生1：我的第一種擺法是擺成1 排，共擺12 個(gè)，用算式表示是1×12=12。第二種擺法是擺成2 排，每排擺6個(gè)，用算式表示是2×6=12。第三種擺法是擺3排，每排擺4個(gè)，用算式表示是3×4=12。

師：還有其他擺法嗎？

生2：還可以擺成4排，每排擺3個(gè)，用算式表示是4×3=12。

生3：還可以擺成12 排，每排擺1 個(gè)，用算式表示是12×1=12。

師：還有嗎？

生4：我覺得還能擺成6排，每排擺2個(gè)，用算式表示是6×2=12。

師：大家真聰明，一共想出6 種不同的擺法?？戳诉@些圖形（電子屏幕展示6 種擺法對(duì)應(yīng)的圖形，略），你有沒有感到一絲不對(duì)勁？

（學(xué)生交流探討，發(fā)現(xiàn)所謂的6 種擺法中，有3種擺法得到的圖形是相同的，它們只是呈現(xiàn)和放置的角度不同，實(shí)際上只有3 種擺法。筆者順應(yīng)形勢(shì)，馬上以“4×3”的2 個(gè)重樣圖形為例，揭示倍數(shù)和因數(shù)之間的關(guān)系，學(xué)生根據(jù)筆者的示范嘗試解讀其他重樣的圖形）

以上教學(xué)中，筆者對(duì)例題的教學(xué)拘泥于教材，完全照搬教材呈現(xiàn)例題。這樣教學(xué)好處在于使學(xué)生描述擺法的語(yǔ)言準(zhǔn)確嚴(yán)謹(jǐn)，做到全員參與、完整經(jīng)歷操作，并用算式表示自己擺的圖形，再通過(guò)組內(nèi)交流互相學(xué)習(xí)。不足之處是，學(xué)生匯報(bào)展示時(shí)，教師為了突出不同的擺法，執(zhí)著于引導(dǎo)學(xué)生找出6種擺法，然后才發(fā)現(xiàn)其中有重樣的，進(jìn)而總結(jié)出實(shí)際只有3 種擺法，過(guò)程拖泥帶水。最后雖然得到了6 個(gè)乘法算式，但教學(xué)重心偏移到不同的擺法上，而沒有關(guān)注到算式的異同，導(dǎo)致后面要花費(fèi)大量不必要的時(shí)間去補(bǔ)救。

這說(shuō)明筆者對(duì)學(xué)生起點(diǎn)的把握失準(zhǔn)，導(dǎo)致學(xué)生的知識(shí)遷移不徹底。學(xué)生在三年級(jí)學(xué)習(xí)周長(zhǎng)與面積時(shí)已經(jīng)對(duì)用正方形拼其他圖形很熟練了，因此教學(xué)例1 時(shí)，可以讓學(xué)生直接根據(jù)想象列算式表示擺法。綜合來(lái)看，設(shè)計(jì)用正方形拼長(zhǎng)方形的操作環(huán)節(jié)的用意在于引出三個(gè)乘法算式，再?gòu)闹刑暨x一個(gè)用于詮釋倍數(shù)和因數(shù)的概念，重點(diǎn)并不在于拼長(zhǎng)方形的方法。

細(xì)細(xì)分析不難發(fā)現(xiàn)，這種教法有些主次不分。本課的重點(diǎn)是教學(xué)倍數(shù)和因數(shù)的概念，那么前面過(guò)多教學(xué)拼擺圖形，讓學(xué)生把6 種擺法一一列出來(lái)，然后發(fā)現(xiàn)重樣的，這就顯得多余了。這一操作的本質(zhì)體現(xiàn)在算式上，就是1×12=12×1，2×6=6×2，3×4=4×3。這有點(diǎn)類似乘法交換律——交換兩個(gè)因數(shù)的位置，積不變。對(duì)應(yīng)到幾何里，就是轉(zhuǎn)換擺放角度得到的2 種擺法其實(shí)對(duì)應(yīng)著同一種圖形。而筆者最后提出倍數(shù)和因數(shù)的概念則有些突兀，也不合時(shí)宜。要使拼長(zhǎng)方形與倍數(shù)和因數(shù)深度融合，教學(xué)就要深入倍數(shù)和因數(shù)的概念本質(zhì)。倍數(shù)和因數(shù)是在正整數(shù)范圍內(nèi)討論的，用正方形擺長(zhǎng)方形的目的就是讓正方形的排數(shù)和列數(shù)（每排個(gè)數(shù)）都為整數(shù)，且每排個(gè)數(shù)相等、每列個(gè)數(shù)相等。排數(shù)一定，每排個(gè)數(shù)就一定；每排個(gè)數(shù)一定，排數(shù)就一定。排數(shù)和每排個(gè)數(shù)都為整數(shù)。此時(shí)，正方形總數(shù)是恒定不變的，那么排數(shù)和列數(shù)就是總數(shù)的因數(shù)，總數(shù)就是排數(shù)和列數(shù)的倍數(shù)。

二、第二次試教

師：你們已經(jīng)四年級(jí)了，能用1、2、3、4這4個(gè)數(shù)字即興編寫幾道乘法算式嗎？

生1：1×4=4，2×4=8，3×4=12。

師：其實(shí)這幾道乘法算式里隱含著一種數(shù)學(xué)關(guān)系，到底是什么關(guān)系這么神秘呢？我們今天就來(lái)探秘。就拿3×4=12 來(lái)說(shuō)，它在數(shù)學(xué)上還有另一種說(shuō)法，即 12 是 3 的倍數(shù)，也是 4 的倍數(shù)，3 是 12 的因數(shù)，4 也是 12 的因數(shù)。總的來(lái)說(shuō)，3 和 4 都是 12 的因數(shù)。

師：誰(shuí)能按我剛才說(shuō)的樣子試著描述其他兩個(gè)算式中的數(shù)的關(guān)系？

吸取第一次試教的經(jīng)驗(yàn)教訓(xùn)，筆者這一次的教學(xué)比較直白，直抵教學(xué)目的。為了不在多種擺法上浪費(fèi)時(shí)間，以及避免操作環(huán)節(jié)的“華而不實(shí)”，筆者此次試教棄用例1，單刀直入，引導(dǎo)學(xué)生即興編寫三道乘法算式，然后通過(guò)學(xué)生編寫的算式揭示倍數(shù)和因數(shù)的概念，節(jié)奏快，為后面尋找倍數(shù)和因數(shù)騰出時(shí)間，但學(xué)生的體驗(yàn)感被剝奪，對(duì)數(shù)學(xué)概念的抽象過(guò)程缺乏參與感。

試想，如果棄用一道例題對(duì)教學(xué)毫無(wú)影響，那么教材為何要編排這道例題呢？例題是不是還有其他深意？筆者終于在《教師教學(xué)用書》中找到答案，書中指出，介紹倍數(shù)和因數(shù)時(shí)，要結(jié)合具體乘法算式，使學(xué)生明白倍數(shù)和因數(shù)是相互依存的。那么，教材為何不惜降維使用初級(jí)的用正方形拼長(zhǎng)方形的例子呢？《教師教學(xué)用書》也給出了答案，即指引學(xué)生將擺法用算式表示出來(lái)，并反饋探討。這樣的操作經(jīng)歷既為歸納提煉倍數(shù)和因數(shù)的概念提供直觀表征，又使學(xué)生切實(shí)體驗(yàn)到倍數(shù)和因數(shù)的相互依存關(guān)系，為揭示概念內(nèi)涵做好鋪墊。可見，曲解編者意圖，武斷地棄用例題，而直接用乘法算式導(dǎo)入雖然省時(shí)，但是形象直觀的表象支架被無(wú)情拆除，會(huì)導(dǎo)致學(xué)生無(wú)法體驗(yàn)知識(shí)的形成過(guò)程。

第二試教的教法顯然走向另一個(gè)極端，輕率棄用例1，直接讓學(xué)生組出乘法算式，然后指著乘法算式的各部分一個(gè)個(gè)命名，這其實(shí)只不過(guò)是一次意義不大的更名而已，將乘數(shù)更名為因數(shù)，積更名為倍數(shù)。這樣粗暴的教學(xué)會(huì)讓學(xué)生疑惑：難道這就是倍數(shù)和因數(shù)概念的由來(lái)？雖然筆者展示了幾個(gè)相關(guān)的乘法算式，但是教學(xué)中并未充分挖掘算式的含義，也未能借機(jī)揭示倍數(shù)和因數(shù)的豐富內(nèi)涵：同一個(gè)數(shù)可以是不同數(shù)的因數(shù)，也可以是不同數(shù)的倍數(shù)，如4的1倍數(shù)、2倍數(shù)、3倍數(shù)都是4的倍數(shù)，還分別是1、2、3 的倍數(shù)。倍數(shù)和因數(shù)的概念與積和（被）乘數(shù)的概念的本質(zhì)區(qū)別在于，倍數(shù)和因數(shù)是在一個(gè)集合內(nèi)的相對(duì)關(guān)系，而積和（被）乘數(shù)只是對(duì)一個(gè)乘法算式各部分的簡(jiǎn)單命名。

三、第三次試教

師：你會(huì)用12 個(gè)同樣大的正方形拼出一個(gè)長(zhǎng)方形嗎？

生1：當(dāng)然會(huì)！

師：比如每排擺4 個(gè)，連續(xù)擺3 排（電子屏幕展示圖樣，略），用算式表示是——

生2：4×3=12。

師：還可以換一個(gè)算式表示。

生3：3×4=12。

師：每排擺4 個(gè)，連續(xù)擺3 排，可以用算式 4×3=12 來(lái)表示，也可以用算式3×4=12 來(lái)表示。我們選定4×3=12好嗎？

生4：好！

師：4×3=12 這個(gè)算式也能表示這種圖形（電子屏幕展示圖形，略），這種圖形其實(shí)就是每排擺3個(gè)，連續(xù)擺4排。對(duì)比兩種圖形，你能發(fā)現(xiàn)什么嗎？

生5：這兩種擺法得到的圖形其實(shí)是一樣的，只是一個(gè)是橫著放置，另一個(gè)是豎著放置。

師：對(duì)！通過(guò)旋轉(zhuǎn)或者移位（動(dòng)態(tài)演示），我們可以發(fā)現(xiàn)兩種圖形其實(shí)并無(wú)區(qū)別。

師：用12 個(gè)同樣大的正方形擺長(zhǎng)方形，還有哪些不同的擺法？每排擺幾個(gè)，擺幾排？先想象一下，再把各種擺法用算式表示出來(lái)，獨(dú)立完成后，組內(nèi)交流，最后展示匯報(bào)。

師：剛才通過(guò)擺出的不同圖形，我們提煉出三道乘法算式，這些乘法算式大有乾坤。以算式4×3=12 為例，其中各數(shù)還有另一重身份——12 是4 和3的倍數(shù)，4 和3 是12 的因數(shù)。我們今天就來(lái)研究倍數(shù)和因數(shù)。

《教師教學(xué)用書》指出教材沒有直言倍數(shù)和因數(shù)的概念，只是結(jié)合具體的算式對(duì)算式各數(shù)據(jù)進(jìn)行身份認(rèn)定，一是為了降低理解難度，二是為后面完善認(rèn)知留有余地。這次試教筆者摸透了編者用意，借助數(shù)形結(jié)合既可以降低難度又能豐富體驗(yàn)，而例題中的擺拼操作意在轉(zhuǎn)化成“乘法算式”，而非“不同擺法”。“還有哪些不同的擺法？每排擺幾個(gè)，擺幾排？先想象一下，再把各種擺法用算式表示出來(lái)”的設(shè)計(jì)，將前期的操作經(jīng)歷作為想象的臺(tái)基，避免了重復(fù)機(jī)械操作，學(xué)生直接想象擺法，然后列式，空間觀念得到發(fā)展，這才找到了例1的精髓。

這次教學(xué)可謂是對(duì)前兩次試教的高度融合，取長(zhǎng)補(bǔ)短，例1 的真正作用被充分發(fā)揮出來(lái)，收放自如、張弛有度，不該開放的地方堅(jiān)決不開放。筆者嚴(yán)格把關(guān)，沒有讓學(xué)生陷入循環(huán)往復(fù)的擺長(zhǎng)方形活動(dòng)中，這就避免了一股腦兒列出許多乘法算式，從而杜絕了后面交換乘數(shù)位置帶來(lái)的誤解。筆者只是單獨(dú)演示一種擺法（3排4列），讓學(xué)生列出算式：4×3=12，同時(shí)讓學(xué)生直接用算式語(yǔ)言換種說(shuō)法，其實(shí)就是換種算式，這時(shí)讓乘法交換律直接上場(chǎng)，就不會(huì)喧賓奪主，也不會(huì)岔開話題，主線仍很清晰。再就是通過(guò)圖形直觀啟示學(xué)生：3×4 和 4×3 其實(shí)只是擺放方向不同，對(duì)應(yīng)的圖形是一樣的。然后遷移類推，讓學(xué)生寫出另外兩對(duì)算式，大大縮短了學(xué)生尋找重樣擺法的周期。最后繼續(xù)以3×4 和4×3 為例，概括出倍數(shù)和因數(shù)的概念。整個(gè)教學(xué)過(guò)程緊湊有力。

在語(yǔ)言表達(dá)中提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)。“每排擺4 個(gè)，連續(xù)擺3 排，可以用算式4×3=12 來(lái)表示，也可以用算式 3×4=12 來(lái)表示，我們選定 4×3=12 好嗎？”，這樣表述有效地將兩個(gè)算式統(tǒng)一起來(lái)?！皩?duì)！通過(guò)旋轉(zhuǎn)或者移位（動(dòng)態(tài)演示），我們可以發(fā)現(xiàn)兩種圖形其實(shí)并無(wú)區(qū)別，是一樣的。”三言兩語(yǔ)將兩種擺法歸并，避免了混亂，形成合力直擊倍數(shù)和因數(shù)的概念內(nèi)涵。筆者帶頭示范，形成數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)的范式，用精練的語(yǔ)言統(tǒng)一了擺法上的分歧，避免了節(jié)外生枝。

四、對(duì)比啟示

設(shè)計(jì)教學(xué)方案時(shí)，教師不能武斷地根據(jù)個(gè)人喜好和經(jīng)驗(yàn)主義來(lái)取舍例題。教材例題畢竟是編者經(jīng)過(guò)審慎考慮編排的，其編排都有一定的道理。雖不提倡“唯教材論”，但如果因?yàn)楦鼡Q例題而使教學(xué)效果大打折扣，那就得不償失了。教師應(yīng)該對(duì)教材前后聯(lián)系通盤考慮。《教師教學(xué)用書》至少?gòu)乃膫€(gè)細(xì)節(jié)來(lái)說(shuō)明例題的用途，第一是單元教學(xué)建議，第二是課時(shí)教材說(shuō)明，第三是課時(shí)教學(xué)建議，第四是注釋。教師在設(shè)計(jì)教學(xué)后，應(yīng)該一一對(duì)照核查，看有沒有逐條落實(shí)到位。另外，教材所提供的語(yǔ)言范式、書寫格式、數(shù)學(xué)思維方式也是教師必須抓細(xì)、抓實(shí)的，這些都是教材的養(yǎng)分。

每一課時(shí)、每一板塊的教學(xué)目標(biāo)都是分層架設(shè)的，該如何貫徹落實(shí)呢？教師首先要找準(zhǔn)每個(gè)環(huán)節(jié)的核心問(wèn)題，再圍繞核心問(wèn)題展開教學(xué)。在處理核心問(wèn)題時(shí)，教師要做到高瞻遠(yuǎn)矚，同時(shí)要俯下身子體察學(xué)情，悉心指導(dǎo)學(xué)生，然后放手讓學(xué)生自主探究，讓學(xué)生有自我修正的機(jī)會(huì)。

對(duì)于某一課時(shí)的教學(xué)，教師不能只見樹木不見森林，而應(yīng)該把眼光放長(zhǎng)遠(yuǎn)，從整個(gè)教材體系著眼布局。就本課而言，對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)，由乘法算式引入倍數(shù)和因數(shù)的概念，非常實(shí)用，學(xué)生以后尋找倍數(shù)和因數(shù)就可以利用乘法口訣（因式分解）成對(duì)地縮小范圍查找。往前追溯，這是三年級(jí)的拼圖經(jīng)歷、二年級(jí)倍數(shù)的認(rèn)識(shí)；往后眺望，這是五年級(jí)的公因數(shù)和公倍數(shù)問(wèn)題。有意思的是，公因數(shù)和公倍數(shù)概念的滲透也是以拼圖活動(dòng)作為表象支撐。這種數(shù)形結(jié)合的方式貫穿于整個(gè)蘇教版教材。