上海市嘉定區(qū)教育學(xué)院（201800） 湯麗紅

空間觀念是“數(shù)學(xué)十大核心概念”之一?？臻g觀念主要是指能根據(jù)物體特征抽象出幾何圖形，根據(jù)幾何圖形想象出所描述的實際物體，想象出物體的方位和物體之間的位置關(guān)系，描述圖形的運(yùn)動和變化，依據(jù)語言描述畫出圖形等。培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念非常重要，下面筆者就結(jié)合實際教學(xué)，對培養(yǎng)學(xué)生空間觀念的途徑做初步探索。

一、在視覺直觀中發(fā)展空間觀念

空間觀念的形成基于對事物的觀察與想象。觀察是分析和解決問題的基礎(chǔ)，是認(rèn)識事物最直接的方法，也是發(fā)展數(shù)學(xué)技能的基本方法之一。觀察策略對認(rèn)識幾何概念、理解和掌握圖形的特征、提升空間想象力等都有十分重要的作用。觀察策略在“圖形與幾何”的教學(xué)中是必不可少的。

1.在比較中觀察

教學(xué)中，教師通常會把相似或相反的事物放在一起，讓學(xué)生在認(rèn)識各個事物特征的基礎(chǔ)上，發(fā)現(xiàn)它們的相同點(diǎn)與不同點(diǎn)。

例如，教學(xué)“長方形和正方形的初步認(rèn)識”時，學(xué)生通過對長方形和正方形的觀察、對比，列出了長方形和正方形的異同點(diǎn)（見表1），從而發(fā)現(xiàn)兩者之間的關(guān)系：正方形是特殊的長方形。

表1 長方形和正方形的異同點(diǎn)

通過觀察、對比，學(xué)生對圖形的特征進(jìn)行抽象與概括，從而發(fā)展空間觀念。

2.在變化中觀察

學(xué)生對于實物、圖片、圖形等的直觀認(rèn)識應(yīng)重在觀察、比較、辨析異同，不僅要觀察物體的表面特征，還要抓住其本質(zhì)。在教學(xué)中，教師通常會在不改變幾何圖形特征的情況下，通過變換圖形位置或改變圖形形狀讓學(xué)生認(rèn)識幾何圖形的本質(zhì)。

例如，教學(xué)“線段”時，當(dāng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)線段都是直直的、有兩個端點(diǎn)后，教師出示一組圖形讓學(xué)生判斷是否是線段（如圖1）。

圖1

有學(xué)生認(rèn)為⑤和⑥不是線段，理由是⑤太粗、⑥太短。對于學(xué)生的這個觀點(diǎn)，教師并沒有直接下定論，而是讓學(xué)生各抒己見，在爭論中逐漸理解線段可長可短、可粗可細(xì)，位置也可變化，只要它是直直的、有兩個端點(diǎn)，那它就是線段。

3.在有序中觀察

在“圖形與幾何”單元中有數(shù)圖形個數(shù)的題目（如圖2），這類題學(xué)生的正答率比較低。教學(xué)中，教師可先給學(xué)生獨(dú)立思考的時間，再讓學(xué)生交流，分享不同的想法。有的學(xué)生是隨便數(shù)的；有的學(xué)生是先數(shù)邊長是1 cm 的正方形的個數(shù)（9 個），再依次數(shù)出邊長是2 cm、3 cm 的正方形的個數(shù)（分別有4個和1個），最后把邊長是1 cm、2 cm、3 cm 的正方形的個數(shù)相加，得出這個圖形中一共有14 個正方形；還有的學(xué)生數(shù)的方法與第二種類似，就是數(shù)的順序不同。教師對三種不同數(shù)法給予肯定的同時，引導(dǎo)學(xué)生思考：哪種數(shù)法能做到不重復(fù)、不遺漏，又有序？學(xué)生得出結(jié)論：面對比較復(fù)雜的圖形時，先分類，再計數(shù)，能做到不重復(fù)、不遺漏，又有序。

圖2

二、在動作直觀中發(fā)展空間觀念

對學(xué)生而言，獲取知識的最好途徑就是動手操作。學(xué)生只有在活動的基礎(chǔ)上才能構(gòu)建幾何知識體系。空間觀念的形成離不開動手實踐，只有讓學(xué)生自主參與、親歷體驗，他們才能充分表達(dá)自己的想法。

1.操作

小學(xué)生的思維處于由直觀形象思維向抽象邏輯思維過渡的階段。教學(xué)“圖形與幾何”時，學(xué)生往往離不開動手操作，教師只有充分調(diào)動學(xué)生的各種感官，才有助于學(xué)生積累學(xué)習(xí)經(jīng)驗。教師可以結(jié)合教學(xué)內(nèi)容適當(dāng)?shù)匕才牌磾[、折疊、劃分、測量、割補(bǔ)以及制作模型等活動，以便促進(jìn)學(xué)生空間觀念的發(fā)展。

例如，在教學(xué)“平行四邊形的認(rèn)識”時，學(xué)生通過三次不同的操作活動，親歷平行四邊形的形成過程。第一次：用兩條寬度不同的長方形彩帶交疊出不同形狀的平行四邊形，在“實驗—觀察—概括”的過程中初步認(rèn)識平行四邊形。第二次：以問題“平行四邊形具有怎樣的特征”為任務(wù)驅(qū)動，用自己喜歡的方法自主探究平行四邊形的特征，在“觀察—猜想—驗證”的過程中發(fā)現(xiàn)平行四邊形的特征。第三次：想一想“如果用兩條寬度相同的長方形彩帶交疊，會出現(xiàn)什么圖形”，學(xué)生在“猜想—實驗—驗證”的過程中探究平行四邊形的特例，并梳理出平行四邊形、長方形、正方形之間的關(guān)系。通過教師的精心設(shè)計，學(xué)生在操作活動中既親歷平行四邊形的形成過程，又發(fā)展了空間觀念。

2.畫圖

特級教師曹培英在《跨越斷層，走出誤區(qū)：數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)核心詞的解讀與實踐研究》一書中提出：畫圖是學(xué)習(xí)幾何知識、發(fā)展空間觀念的常規(guī)直觀手段。教學(xué)“圖形與幾何”時常常會用到畫圖這一策略，通過畫圖可以豐富學(xué)生的幾何認(rèn)知，幫助學(xué)生理解幾何概念，變抽象為直觀，發(fā)展學(xué)生的空間觀念。有一些幾何問題往往是以大段文字的形式出現(xiàn)的，如果學(xué)生的空間想象力和理解能力比較弱，那么就很難解決問題。但畫圖能夠架構(gòu)起圖形與文字間的橋梁，溝通算法與算理，有利于培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念。

例如，有這樣一題：市民廣場原先有一個長方形水池，長7.5 米（如圖 3），改建后，這個水池的長增加了2 米，寬不變，占地面積增加了10.8 平方米，現(xiàn)在這個水池的占地面積是多少平方米？

圖3

如果不畫圖，很多學(xué)生想象不出改建后的水池的樣子，毫無解題思路?？扇绻鶕?jù)題目條件畫出增加的部分（如圖4），就讓抽象的數(shù)學(xué)條件變得直觀，能求出長方形水池的寬，那么改建后水池的面積也就可以算出來了。

圖4

三、在表達(dá)說理中發(fā)展空間觀念

特級教師曹培英老師在《跨越斷層，走出誤區(qū)：數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)核心詞的解讀與實踐研究》一書中還提出：小學(xué)生正處在以表象為主的直觀辨認(rèn)水平向以特征為主的初級概念判斷水平發(fā)展，這種發(fā)展的中介，就是用語言概括、描述物體的特征。教學(xué)中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生抽象概括，把圖形及其位置關(guān)系的本質(zhì)特征表達(dá)出來，在說理中發(fā)展學(xué)生的空間觀念。

例如，教師在教學(xué)時設(shè)計下題。

圖5

學(xué)生已經(jīng)認(rèn)識了正方形、長方形、平行四邊形和梯形，也知道了這些圖形的特征及它們的關(guān)系。當(dāng)只露出這些圖形的一部分時，學(xué)生就要調(diào)用已有的認(rèn)知經(jīng)驗，根據(jù)露出的部分圖形推測出完整的圖形。比如對第一個圖形，有學(xué)生這樣表達(dá)：“首先，正方形和長方形都有四個直角，而這個圖形露出的兩個角都不是直角，所以這個圖形不可能是正方形，也不可能是長方形。然后我看到這個圖形的一組對邊是平行的，又只看到了另一組對邊的其中一條邊，那么另一組對邊有可能平行，也可能不平行，所以它可能是平行四邊形，也可能是梯形。”

接著，教師利用多媒體驗證學(xué)生的猜想。這個環(huán)節(jié)不僅激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，給予學(xué)生思維的空間，彰顯學(xué)生的思維差異，更有助于學(xué)生在說理中深刻理解四邊形，有利于學(xué)生空間觀念的發(fā)展。

四、在想象辨析中發(fā)展空間觀念

課程標(biāo)準(zhǔn)中提出的幾何學(xué)習(xí)目標(biāo)：根據(jù)物體特征抽象出幾何圖形，根據(jù)幾何圖形想象出以文字描述的實際物體。如何更好地實現(xiàn)這一目標(biāo)呢？教師在教學(xué)中如果能提出有思維空間的問題，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察進(jìn)行思辨，經(jīng)歷想象與再現(xiàn)過程，便能更好地促進(jìn)學(xué)生空間觀念的發(fā)展。

例如，在教學(xué)“正方體的展開圖”時，很多教師都會引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行操作活動，通過拼搭學(xué)具來加深對正方體展開圖的認(rèn)識。的確，操作有助于學(xué)生積累學(xué)習(xí)經(jīng)驗，幫助學(xué)生根據(jù)物體特征抽象出幾何圖形，但學(xué)生脫離了學(xué)具之后，就不一定能根據(jù)幾何圖形想象出以文字描述的實際物體。在操作活動之后，教師要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷抽象推理的過程，只有這樣才能讓學(xué)生展開想象。

教學(xué)中，當(dāng)學(xué)生經(jīng)歷了將正方體展開，再折成正方體這個操作過程之后，教師給出一些用6 個正方形拼成的圖形，讓學(xué)生不操作學(xué)具而直接展開想象，判斷哪些圖形能夠折成正方體。學(xué)生在腦海中通過翻、折、拼、轉(zhuǎn)，思維實現(xiàn)了從立體到平面，再從平面到立體的飛躍，甚至還給出了一個推理的過程：選擇一個正方形作為正方體的底面，依次將各個對應(yīng)的面找到，用簡單的六個字概括就是“上”“下”“前”“后”“左”“右”?？此坪唵蔚南胂筮^程，卻讓學(xué)生經(jīng)歷了嚴(yán)謹(jǐn)?shù)某橄笸评磉^程，幫助學(xué)生擺脫了依賴實際物體的習(xí)慣，有利于學(xué)生空間觀念的發(fā)展。

五、在溝通聯(lián)系中發(fā)展空間觀念

幾何知識是由一個個章節(jié)、一個個知識點(diǎn)連接而成的。如果教師能根據(jù)知識點(diǎn)之間的內(nèi)在聯(lián)系巧妙設(shè)計學(xué)習(xí)活動，就能引導(dǎo)學(xué)生厘清知識點(diǎn)之間的關(guān)系，溝通它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的空間觀念。

例如，在教學(xué)“梯形”時，當(dāng)學(xué)生已經(jīng)認(rèn)識梯形，知道梯形各部分的名稱，并能正確辨析梯形后，教師提出問題：“梯形與你之前學(xué)過的平行四邊形、三角形之間有怎樣的關(guān)系呢？”學(xué)生看著屏幕上的梯形陷入了沉思。不一會兒就有學(xué)生激動地回答：“我知道！當(dāng)梯形的上底慢慢延長，直到與下底一樣長時，它就變成了平行四邊形?！庇钟袑W(xué)生搶著回答：“我要補(bǔ)充！當(dāng)梯形的下底慢慢縮短，直到變成與上底一樣長時，它也變成了平行四邊形。我還發(fā)現(xiàn)當(dāng)梯形的上底或下底縮短成一個點(diǎn)時，它就變成了三角形?！苯處煾鶕?jù)學(xué)生的說法利用多媒體演示梯形變成平行四邊或三角形的過程。以上教學(xué)中，教師巧妙地連通了梯形與平行四邊形、三角形的內(nèi)在聯(lián)系，有機(jī)滲透了轉(zhuǎn)化思想方法，進(jìn)一步發(fā)展了學(xué)生的空間觀念。

六、在學(xué)以致用中深化空間觀念

若將空間觀念的培養(yǎng)與生活情境緊密結(jié)合，會收到事半功倍的教學(xué)效果。教學(xué)中，教師可以結(jié)合生活情境巧設(shè)問題，讓學(xué)生在解決生活問題的過程中充分展現(xiàn)思維過程，進(jìn)一步發(fā)展空間觀念。

例如，在教學(xué)“長方體的表面積”后，教師設(shè)計以下練習(xí)。

勞動技術(shù)課上，小亮要做一個無蓋的盒子，老師提供了6 種規(guī)格的木板，在不切割木板的情況下，選擇其中幾種規(guī)格的木板來做盒子。請將選擇的木板序號和塊數(shù)填入表格中（見表2），并計算出該盒子的表面積。（接縫處忽略不計）

表2 選用木板情況及盒子表面積

交流反饋時，學(xué)生給出了三種不同的答案：②號木板2 塊，④號木板2 塊，⑥號木板1 塊，這個盒子的表面積是164 cm2；②號木板2 塊，④號木板1塊，⑥號木板2塊，這個盒子的表面積是152 cm2；②號木板1 塊，④號木板2 塊，⑥號木板2 塊，這個盒子的表面積是144 cm2。

教師順勢小結(jié)：“不同的選擇，做出來的無蓋盒子的表面積也不同?！闭f完話鋒一轉(zhuǎn)，馬上追問：“三種答案的背后有什么相同點(diǎn)？”經(jīng)過討論，學(xué)生一致認(rèn)為，實際上這個盒子的長、寬、高是相同的。在解決這道題時，首先根據(jù)長方體的特征（共有6 個面，其中相對的2 個面完全相同）在頭腦中想象出長方體，再選擇合適的木板，因為是無蓋的盒子，所以只要求出5 個面的面積總和，這樣去掉6 個面中的任意1 個面都行，因此會有三種不同的答案。在開放的問題情境中，學(xué)生不僅發(fā)展了空間觀念，也體驗到了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的價值。

培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念不是一蹴而就的，而是需要教師在研讀教材與分析學(xué)情的基礎(chǔ)上精心設(shè)計教學(xué)活動，引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷想象、探究的過程，將空間觀念的培養(yǎng)落到實處。