盧佳欣 孫靜宜 劉飛峰 劉泉華 繆穎杰

（北京理工大學(xué)信息與電子學(xué)院雷達技術(shù)研究所，北京 100081）

1 引言

分布式相參雷達最近逐漸獲得關(guān)注，其最早由林肯實驗室提出［1］，指若干機動式單元雷達通過接收相參和發(fā)射相參等效形成大孔徑相控陣雷達。針對分布式相參雷達提高信噪比的目標(biāo)，文獻［2-4］提出了新的思路，通過直接傳遞時鐘信號的方式實現(xiàn)多個雷達節(jié)點的時頻同步，通過開環(huán)發(fā)射相參以直接在目標(biāo)處實現(xiàn)相參積累，但這些方案需要對單元雷達節(jié)點的位置精確已知。

同時，文獻［5-6］提出了分布式相參雷達具有高精度測角的潛力，該模型作為統(tǒng)計MIMO 雷達的相參模式在文獻［7-8］中也被提出。但動平臺雷達節(jié)點的位置偏差和速度偏差會對目標(biāo)測角和測速造成很大影響。

針對分布式雷達節(jié)點位置偏差和速度偏差，可采用校準(zhǔn)算法對偏差量進行估計。根據(jù)文獻［9］可知，校準(zhǔn)算法分為有源校準(zhǔn)和自校準(zhǔn)，兩者的區(qū)別在于校準(zhǔn)點的位置是否精確已知。對于動平臺分布式相參雷達系統(tǒng)，其在工作場景中較難在觀測區(qū)域安置位置精確已知的校準(zhǔn)點，故而自校準(zhǔn)算法在分布式相參雷達中的應(yīng)用是必要的。對于自校準(zhǔn)算法，最關(guān)心的問題是多少個校準(zhǔn)點可以實現(xiàn)誤差參數(shù)估計的可分辨。參數(shù)可分辨意味著具有更加精確參數(shù)估計結(jié)果的潛力，這對校準(zhǔn)問題是一個極具吸引力的性質(zhì)。［10-11］均采用混合克拉美羅界（hybrid Cramer-Rao Bound，HCRB）對參數(shù)估計的可分辨性進行分析。而HCRB緊致性是其應(yīng)用的前提，故而本文首先對HCRB緊致性進行分析，之后應(yīng)用HCRB推導(dǎo)了目標(biāo)角度估計精度曲線趨于水平時的精度大小的解析式。

后續(xù)內(nèi)容安排如下：文章第2節(jié)對動平臺分布式相參雷達進行建模，闡明待估計參數(shù)；第3節(jié)對混合克拉美羅界的緊致性和測角精度的顯性表達式進行推導(dǎo)；第4節(jié)進行了仿真驗證；第5節(jié)總結(jié)全文。

2 動平臺分布式相參雷達建模

本小節(jié)主要是對動平臺分布式相參雷達的系統(tǒng)拓撲、回波信號以及誤差進行建模。動平臺分布式相參雷達拓撲如圖1所示。

圖1 中，在t=0 時刻，以首個雷達節(jié)點為坐標(biāo)系原點，首個雷達節(jié)點和第二雷達節(jié)點的連線方向為x軸。x軸附近的實心點和實線箭頭分別代表雷達節(jié)點的真實位置和真實速度；空心點和虛線箭頭分別代表雷達節(jié)點的理論位置和理論速度。圖中的分別代表第q個目標(biāo)的角度、距離、切向速度和徑向速度。

設(shè)分布式雷達系統(tǒng)K發(fā)L收，并設(shè)目標(biāo)個數(shù)為Q。則分別為第k個雷達節(jié)點發(fā)射，第q個目標(biāo)反射，第l個雷達節(jié)點接收的回波時延和多普勒。則第m個慢時間，第l個接收機的回波數(shù)據(jù)如下：

設(shè)第k個發(fā)射機和第l個接收機的真實位置分別為。設(shè)第k個發(fā)射機和第l個接收機的真實速度分別為和。設(shè)第q個目標(biāo)的位置和速度分別為

其中c代表光速，‖·‖2代表l2范數(shù)。

其中λ代表載頻波長。

設(shè)

此時中間待估計量所構(gòu)成的向量可被定義如下：

其中

假設(shè)動平臺分布式相參雷達收發(fā)共址，則最終待估計參量所構(gòu)成的向量可被定義如下：

其中

設(shè)y=[y11[1]，y11[2]，…，y11[N]，…，yLM[N]]T∈CLMN×1。

3 HCRB緊致性研究及誤差對目標(biāo)參數(shù)估計精度惡化性能評估

克拉美羅界的使用通常是通過緊致性來證明其合理性，即若下界是緊致的，則此下界是有效的；反之，則下界無效。緊致性表明在性能界曲線進入漸近區(qū)時，即當(dāng)信號擁有“足夠大”的信噪比（SNR）或長時間積累時，最大似然估計器的估計精度會貼合此性能界曲線的現(xiàn)象。因而只有當(dāng)所推導(dǎo)的性能界是緊致的，該性能界才可以準(zhǔn)確表征估計器的性能。

本節(jié)是基于第2 節(jié)的建模進行的HCRB 相關(guān)性質(zhì)推導(dǎo)，主要推導(dǎo)了HCRB 的緊致性及在不可分辨場景下目標(biāo)角度估計的最佳測角精度的顯性表達式。

3.1 HCRB的緊致性

由于待估計參數(shù)中目標(biāo)參數(shù)是非隨機參數(shù)，而定位誤差和速度誤差是隨機參數(shù)，因此根據(jù)文獻［12］，可以利用HCRB 工具對待估計參數(shù)的估計精度進行建模。

HCRB的公式如下：

其中

上式中，Jγ是中間待估計參量γ的信息矩陣；P為鏈?zhǔn)椒▌t矩陣；Jr是雷達節(jié)點位置偏差的方差和速度偏差的方差構(gòu)成的對角矩陣。

由文獻［13］可知，當(dāng)PTJγP中不含有最終待估計參量α中的隨機參量時，

若PTJγP中不含有最終待估計參量α中的隨機參量，則

上式中，α0代表雷達節(jié)點偏差量均為0 的場景，即

由于式（13）僅在雷達節(jié)點偏差量較小時才能近似成立，故而HCRB 僅在雷達節(jié)點偏差量較小時才是緊致的。

3.2 目標(biāo)參數(shù)估計不可分辨情況建模及解析式推導(dǎo)

不可分辨指待估計參量的估計精度曲線隨著信噪比的提高而趨于水平，這是由于誤差的存在導(dǎo)致目標(biāo)參數(shù)和雷達誤差參數(shù)無法更加精確的估計。本小節(jié)推導(dǎo)了目標(biāo)角度估計精度曲線趨于水平時的精度大小的解析式，旨在可以直觀的分析雷達系統(tǒng)參數(shù)及拓撲參數(shù)對于目標(biāo)參數(shù)估計精度的影響，有利于后續(xù)雷達系統(tǒng)硬件參數(shù)的選擇和設(shè)計。

設(shè)鏈?zhǔn)椒▌t中的矩陣

其中，R是中間待估計參量關(guān)于目標(biāo)參量的微分；S是中間待估計參量關(guān)于雷達系統(tǒng)偏差的微分。

那么

成立。其中Jγ=，k=SNR，則信息矩陣J如下所示

利用求逆公式可得目標(biāo)參數(shù)估計的性能界表達式如下

如果沒有偏差，則上式中S矩陣缺失，此時

當(dāng)k→∞時，

其中V-是V矩陣的偽逆。若采用MATLAB 代碼進行仿真，注意對函數(shù)容差進行人工設(shè)定；I代表單位矩陣。

4 仿真分析

為了驗證第3 節(jié)所推導(dǎo)的顯性表達式，本節(jié)進行了數(shù)值仿真，仿真參數(shù)表格如下表1所示。

圖2 為利用表1 的邊界條件仿真目標(biāo)角度位于雷達節(jié)點-45°時的目標(biāo)參數(shù)估計精度曲線圖。圖（a）是三節(jié)點雷達系統(tǒng)，單目標(biāo)的系統(tǒng)拓撲圖。圖（b）、（c）、（d）分別是仿真得到的目標(biāo)角度、切向速度和徑向速度估計精度曲線。其中黑色圓圈曲線為利用公式（24）求得的解析解曲線，黑色方框曲線為利用HCRB公式求得的目標(biāo)角度估計曲線，觀察得到在高信噪比情況下，圓圈曲線和方框曲線重合，印證了不可分辨情況下雷達節(jié)點系統(tǒng)誤差影響下的目標(biāo)參數(shù)估計精度的解析解公式推導(dǎo)的正確性。

表1 仿真參數(shù)Tab.1 Simulation parameters

5 結(jié)論

本文首先對系統(tǒng)誤差下的混合克拉美羅界進行建模，并且分析了混合克拉美羅界緊致性的條件，最后對測角精度的顯性表達式進行計算并通過數(shù)值仿真進行驗證。分布式相參雷達系統(tǒng)作為原理樣機最早在林肯實驗室已經(jīng)完成了測試，但是其在實際應(yīng)用中還面臨著諸如雜波、同步等問題，這些問題的解決也是我們后續(xù)的工作方向。