破解雙變量函數(shù)最值問題的兩個“妙招”

陳鋌

含有雙變量的函數(shù)最值問題常與解三角形、不等 式、方程、三角函數(shù)、解析幾何、平面向量等知識相結(jié) 合，具有較強(qiáng)的綜合性.這類問題側(cè)重于考查同學(xué)們的 邏輯思維和運(yùn)算能力，其解法比較靈活.下面，重點(diǎn)探 討一下破解雙變量函數(shù)最值問題的兩個“妙招”.

一、化雙變量為單變量

對于單變量最值問題，我們比較熟悉，解答這類 問題常用的方法有函數(shù)性質(zhì)法、導(dǎo)數(shù)法、判別式法和 換元法等.對于較為復(fù)雜的雙變量問題，我們可以視其 中的一個變量為主元，將另一個變量視為參數(shù)；也可 以根據(jù)雙變量之間的關(guān)系，通過設(shè)參換元，將雙變量 函數(shù)最值問題轉(zhuǎn)化為單變量函數(shù)最值問題來求解.

當(dāng)函數(shù)中含有兩個變量a、b時，可以將其中的一 個變量a視為主元，將另一個變量b視為參數(shù)，并用含 有b的代數(shù)式表示a；再將其代入函數(shù)式，便可將函數(shù) 式轉(zhuǎn)化為關(guān)于單變量a的函數(shù)式，利用函數(shù)的單調(diào)性 即可求得最值.

例2.已知實數(shù)a，b滿足 a2 - b 2 = 1，求 3a2 + 4ab + 2b 2 的最小值.

解法一是通過引入?yún)?shù) m，并進(jìn)行換元，將雙變 量函數(shù)式轉(zhuǎn)化為關(guān)于 m 的單變量函數(shù)式，再利用對勾 函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解.解法二是通過“1”的代換，將 函數(shù)式化簡為含有 b a 的式子，然后設(shè) t = b a ，通過設(shè)參 換元，將雙變量函數(shù)最值問題轉(zhuǎn)化單變量函數(shù)最值問 題，借助導(dǎo)數(shù)法求得函數(shù)的最值.化雙變量為單變量， 便可將雙變量函數(shù)最值問題轉(zhuǎn)化簡單的、熟悉的單變 量函數(shù)最值問題來求解，這樣有利于降低解題的難 度，提升解題的效率.

二、利用基本不等式

函數(shù)與不等式聯(lián)系緊密.求解雙變量函數(shù)最值問題，有時可從不等式的角度進(jìn)行分析，利用基本不等 式來求最值.利用基本不等式求雙變量函數(shù)的最值時， 要注意把握“一正二定三相等”的條件.在求最值時，要 善于發(fā)現(xiàn)題中的等式與待求函數(shù)式之間的聯(lián)系，將函 數(shù)式配湊成兩式的和或積的形式，并使其中之一為定 值，這樣便可順利運(yùn)用基本不等式求得函數(shù)的最值. 以例1為例.

我們將目標(biāo)式看作 2a2 、1 + b 2 兩項的積，而這兩 項之和為定值，這便為運(yùn)用基本不等式創(chuàng)造了條件， 只需確保兩式均為正數(shù)，且取等號時函數(shù)式有最大 值，即可根據(jù)基本不等式求得函數(shù)的最值.

可見，在求解含有雙變量的函數(shù)最值問題時，既 可以從函數(shù)的角度來看待問題，運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)、導(dǎo) 數(shù)法來求解；也可以從不等式的角度來分析問題，利 用基本不等式來求最值.此外，還可以通過三角換元， 利用三角函數(shù)的性質(zhì)求解；通過數(shù)形結(jié)合，結(jié)合代數(shù) 式的幾何意義和幾何圖形的性質(zhì)來求解.在解題時，同 學(xué)們要學(xué)會從多角度思考，從多維度分析，尋找多種 解題的方法和一類題目的通法，以找到最佳的解題方 案.（作者單位：江蘇省啟東中學(xué)）