吳國慶
[摘 要]根據(jù)皮亞杰等人的研究,兒童直到具體運算階段后期(11-12歲)才會形成一定的逆向思維和平衡觀念,即代數(shù)思維要等到這個時候才能成熟。然而,通過設(shè)計數(shù)學實驗,可以將抽象的思維于操作流程中外顯,讓低年段學生也能夠運用數(shù)學視角思考問題,形成初級的代數(shù)思維。
[關(guān)鍵詞]代數(shù)思維;同化;思維可視化;符號化
[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068(2022)02-0030-03
在一次家長開放日中,一位一年級的家長反映,自己的孩子對“20以內(nèi)加減法”早已手到擒來,但是遇到變形算式“□=2+4”時,孩子居然束手無策。她的言下之意是,既然孩子會做“2+4=□”,那調(diào)換等號左右兩邊的內(nèi)容后也應(yīng)該會做。那么,“2+4=□”“□=2+4”這兩個式子真的一模一樣嗎?其實,雖然兩個式子的字符一樣,但是解題的思路卻是互逆的。對于“2+4=□”,就是將兩個數(shù)字通過加法合并成一個數(shù),這是典型的加法運算,是順向思維;對于“□=2+4”,則是將一個未知數(shù)拆成兩個數(shù)的和的形式,運用的是加法的逆向思維,這對一年級學生來說是有難度的。
一、追根溯源,理論研究
等式左右平衡的觀念其實就是代數(shù)思想。學生從具體的算術(shù)思維跨度到抽象的代數(shù)思維困難重重。一方面,具體數(shù)字的表象根深蒂固;另一方面,代數(shù)思維的體驗和情境太少。代數(shù)思維的教學應(yīng)從何時開始?按教材設(shè)計,學生要等到五年級學習用字母表示數(shù)時,為了順利學習方程才開始初步接觸代數(shù)思維。那么,可否在低年級學習數(shù)字運算時交織滲透代數(shù)思維?
路易斯·拉弗德研究發(fā)現(xiàn),低年級學生可以部分理解以及表層接受非符號化的代數(shù)思維??上В惶岢鲞@種可能性的設(shè)想,卻沒有找到可靠的措施去實現(xiàn)學生的代數(shù)思維的發(fā)展。國內(nèi)學者張丹則從另一個角度給了我們提示:學生排斥代數(shù)思維的原因,主要在于他們習慣將等號看成是導出結(jié)果的流程性符號,而不是連接相等關(guān)系的連接符號。換言之,我們不妨從等式的意義著手來開發(fā)學生的代數(shù)思維。等號的意義究竟是什么?它具有什么功能?大多數(shù)學生覺得等號只是導出計算結(jié)果的流程性符號,如加、減、乘、除運算的結(jié)果都用等號導出。其實,等號的價值遠不止于此。首先,等號是沒有方向性的,既可以從左看到右,也可以從右看到左。其次,等號兩邊的性質(zhì)都是一樣的,如方程里的等號、化學方程式里的等號都是等價的意思,也就是左右兩邊具有同等效應(yīng)。但是這種觀念在學生心目中很難根植,學生一見到等號就會聯(lián)想到左邊是運算、右邊是結(jié)果,這樣一來,遇到分解數(shù)字的題目就束手無策了。另外,“2+4=□”“□=2+4”這兩個式子里的等號還涉及集合映射概念,如“2+4=□”,左邊的算式集合具有多個元素,右邊的數(shù)字集合只有一個元素,學生容易接受這樣多對一的聚合狀映射。反過來,如“□=2+4”,左邊的數(shù)字集合只有一個元素,右邊的算式集合有多個元素,一對多的離散狀映射呈現(xiàn)不確定性,學生接受起來有難度。
二、實驗過程
等式的理解對低年級學生來說是難點,教師的教學需要生動有趣,并以直觀的實驗探究為主。本校開發(fā)了《數(shù)學實驗》的校本課程,正好為本次研究帶來了契機。結(jié)合家長的反饋,本校數(shù)學教研組開展了“玩轉(zhuǎn)數(shù)字天平”的數(shù)學實驗課。
1.實驗前測
5+3=2+□? ? 1+□=6+3? ? ? ? □=5+5
7+2=□+4? ? 9=□+□+□? ? □+□=□+□
2.數(shù)學實驗課
時長:60分鐘。
實驗?zāi)康模簼B透和培植等式的平衡意義。
實驗材料:模擬數(shù)字天平、若干金屬螺栓。
【實驗一】認識天平,記錄“平衡”。
(1)教師可以先隱去數(shù)字,從生活中的蹺蹺板引入,讓學生了解天平的功能和工作原理。教師出示實驗材料,并提問:“用2個相同的螺栓,怎么配置可以讓天平穩(wěn)定在平衡狀態(tài)?”學生操作后得知,只要2個螺栓離支點距離相等,天平就能穩(wěn)定在平衡狀態(tài)。學生根據(jù)總結(jié)出的規(guī)律,將螺栓數(shù)量用數(shù)字代替。教師再次引導提問:“這時天平怎樣可以穩(wěn)定在平衡狀態(tài)呢?”學生經(jīng)過數(shù)字推演,發(fā)現(xiàn)只要左右兩邊數(shù)字相等,天平就能達到平衡狀態(tài)。
(2)教師提問:“天平平衡時,如何描述和記錄這個擺放情形?”學生嘗試用各種圖標、符號表示。果然如路易斯·拉弗德所說,低年級學生僅可以部分理解以及表層接受非符號化的代數(shù)思維。
(3)教師介紹“=”,用等號可以表示左右兩端的平衡關(guān)系,如1=1,2=2,3=3,…,10=10。
【實驗二】當天平左邊放置6個螺栓時,右邊怎么放螺栓,天平才會達到平衡狀態(tài)?
(1)教師邊操作邊引導:“若左邊放置6個螺栓,右邊放置2個螺栓,要使天平穩(wěn)定在平衡狀態(tài),接下來該怎么放?”實驗探究的長處展露無遺。如果僅僅紙上談兵讓學生思考6=□+□,學生容易淺嘗輒止,而實驗游戲就不同,學生可以不斷嘗試、反思和調(diào)整策略。實驗中,有學生這樣做,左邊放置6個螺栓,右邊已有2個螺栓,嘗試在右邊添加6個螺栓,發(fā)現(xiàn)天平向右傾斜,于是下調(diào)到5個、4個,直到平衡。在反復(fù)的操作、記錄、對比、推理、猜想和驗證中,學生發(fā)現(xiàn)了只要天平兩邊的螺栓總數(shù)相等,即都為6個,天平就能穩(wěn)定在平衡狀態(tài),可以用“=”連接。式子6=2+4,左邊的數(shù)字“6”和右邊的數(shù)字“2”“4”表示兩種承重意義,等號在此處表示達到左右平衡,而不是導出計算結(jié)果的作用。
(2)交流與反饋。通過交流與反饋,學生厘清了思緒,并找出了其他平衡狀態(tài):6=1+5,6=2+4,6=3+3。
【實驗三】假設(shè)有20個螺栓,應(yīng)該怎么放置,天平才會達到平衡狀態(tài)?
通過前兩輪實驗,學生漸漸摸出規(guī)律:只要天平左右兩邊的螺栓總數(shù)相等,天平就會平衡。現(xiàn)在一共有20個螺栓,怎么分配,天平才會平衡呢?這一輪實驗有附加要求:①先設(shè)想左右各放多少個螺栓,天平才會平衡;②把設(shè)計的數(shù)字分左右兩側(cè)記錄下來;③在模擬平衡實驗中,如果數(shù)字天平平衡,就在中間畫“=”。將20個螺栓放到天平兩端,可以形成多少個等式?這個實驗在三個班級試點,課堂氛圍超出預(yù)設(shè)。有學生在天平左邊放10個螺栓,右邊分兩堆放入(3+7)個、(4+6)個、(5+5)個;有學生在天平兩邊各放10個;還有學生在天平左邊分兩堆放入(3+7)個、(8+2)個,右邊分三堆放入(3+3+4)個、(3+5+2)個……60分鐘的實驗課結(jié)束,學生意猶未盡。
回歸本源,學生在理論和心理上難以接受等式的平衡性,那么就只能返璞歸真,從基本的平衡工具——天平的平衡實驗出發(fā),讓學生直觀感受天平的平衡原理以及操作技巧:無論放置的是何種物品,無論是何種碼放形態(tài),只要兩邊等重,就可以讓天平平衡。這就最大程度地揭示出等式的性質(zhì)以及等號的真諦。特別是通過固定一端的物品,而不斷調(diào)整另一端的物品數(shù)量組合情況,甚至同時調(diào)整兩端的物品數(shù)量,讓天平從傾斜狀態(tài)逐漸調(diào)整到平衡狀態(tài)。在這個過程中,學生再次體會到,左右兩邊誰也不是主導,誰也不能主宰誰,誰也不是固定的“秤砣”,誰也不是誰的數(shù)值之和,二者在性質(zhì)、身份、本質(zhì)上均是平等的。類比到等式中,所有左右兩邊相等且用等號連接的式子都是等式,不論有沒有實際意義,如1=1,3+7=2×5,20÷5=2×2,9=3+6,這些都是合格的等式。只要學生嚴格遵循這一條,那么任何拆數(shù)分解的題就可以迎刃而解。
三、實驗反思
1.數(shù)據(jù)收集
隨后,我們開展后測,試題與前測相同。全班36人,前、后測數(shù)據(jù)對比如下。
數(shù)據(jù)顯示,通過實驗操作后,學生的認知水平直線上升。
2.反思分析
小學生和成人在思維上存在較大差別,反復(fù)講解并不利于學生接受和理解知識,原因是他們頭腦中的思維表象太少,可用的假想材料寥寥無幾。按照皮亞杰的理論,兒童的思維是在與周圍現(xiàn)實環(huán)境的互動中不斷積累的,外部世界直觀投射的映像塑造著學生的認知結(jié)構(gòu)。兒童思維與環(huán)境映像的相互作用有兩大基本環(huán)節(jié):同化與順應(yīng)。
當兒童能用現(xiàn)有思維同化異質(zhì)信息時,就是內(nèi)外平衡的狀態(tài)(同化);反之則代表內(nèi)外平衡被打破,此時就需要建立新思維構(gòu)架來容納外部刺激,以達到新的平衡(順應(yīng))。兒童的思維水平就是在不斷同化和順應(yīng)的良性循環(huán)中逐步建立的。那么,實驗中如何催動思維的順應(yīng)與同化呢?無疑,數(shù)學實驗是首選。在實驗操作中,學生會不斷讓實驗結(jié)果朝著自己的固有認知方向發(fā)展(同化),假如實驗結(jié)果出人意料,學生就會調(diào)整思維,重新預(yù)設(shè)結(jié)果(順應(yīng)),直到結(jié)果符合自己的構(gòu)想為止。
在實驗中,學生的第一層意識是“同數(shù)即等式”,如1=1,2=2,3=3……一般常見的天平是等臂杠桿,只需在天平左右兩邊各放一堆物品,就能達到“一對一”平衡。而上面的實驗,物品是分堆放置的,需重新建立“一對二”“二對二”“二對三”形式的平衡。用天平做這個實驗有兩個優(yōu)勢:一是維持總量持平;二是非常直觀,左右兩邊誰也不是誰的結(jié)果,它們只是一種對等關(guān)系。平衡的狀態(tài)可以用等式表示,直觀現(xiàn)象直接數(shù)字化。
學生的第二層意識是“等量即等式”。當天平左邊放置一堆6個螺栓,右邊的兩堆螺栓各設(shè)置多少個,天平才會平衡呢?原先“放同一個數(shù)”的固有認知被打破,學生嘗試實驗,先確定一堆有5個,另一堆通過調(diào)試:4→3→2→1,天平的傾斜角度逐漸縮小,直到放置1個時,天平平衡了!學生記下第一個等式:6=5+1。在實驗中,學生通過觀察、預(yù)估、思考和操作,成功記錄第一個等式。整個過程,由于不斷調(diào)整思路與修改操作,抽象思維外顯為操作步驟,認知過程的同化與順應(yīng)不斷交迭,學生的思維能力得到了內(nèi)化。
學生的第三層意識是突破“總和相等即等式”。當實驗增加到用20個螺栓時,要求兩邊均不少于一堆,怎么放天平才會平衡呢?新的異質(zhì)信息出現(xiàn),學生的潛能被激發(fā)出來。有學生在左邊放兩堆,在右邊也放兩堆,如2+8=4+6,1+9=3+7;有學生在左邊放兩堆,在右邊放三堆,如2+8=1+3+6,3+7=2+5+3,等等。學生發(fā)現(xiàn)只要左右兩邊螺栓的總數(shù)相等,天平就會平衡,其結(jié)果就能數(shù)字化為等式。在這樣的數(shù)學實驗課中,學生意識到每個數(shù)字都可以自由變動,結(jié)果不是唯一的,只要兩邊各堆加起來的和相等即可,數(shù)值并不重要,它只是一個抽象的符號,要淡化數(shù)字的“絕對值”,突顯其“符號化”。
實驗操作永遠是掌握真知的康莊大道,但是,如果僅僅通過單調(diào)的操作,就對新知識、新規(guī)律、新概念進行直觀演示與赤裸披露,這樣對學生產(chǎn)生的沖擊力過大、過猛。學生接受暴風雨式的洗禮,一時難以適應(yīng),導致新知進入原有認知結(jié)構(gòu)產(chǎn)生排異反應(yīng),這就是所謂的異質(zhì)結(jié)構(gòu)。學生習慣將等號看成是計算結(jié)果的導出標志,如果突然來個180°大轉(zhuǎn)彎,不由分說地證明等號是平衡的標志,學生在遇到相關(guān)題目后,不知如何是好,就會產(chǎn)生激烈的思想沖突,說不定原有的偏執(zhí)會報復(fù)性反彈,他們會更加頑固地認定,等號就是計算結(jié)果的導出標志,只是算式和得數(shù)調(diào)換了位置。只有在學生原有的認知結(jié)構(gòu)中找到同質(zhì)成分,將外來觀念一步步同化,才能被學生順利接受,且毫無違和感。要做到這種理想的同化吸收,還得依靠天平的演示類比,只不過此時的操作已經(jīng)不是彼時的操作,而是帶有理性思考的求證性操作。
這樣的數(shù)學實驗課叫好又叫座。教師不用多費唇舌,可以放手讓學生嘗試。只有在實驗中才有同化與順應(yīng)的機會,思維才能得到發(fā)展與提升。實驗的優(yōu)勢在于操作步驟可以直觀反映思維過程,操作有直觀、確定、權(quán)威的結(jié)果,而操作的結(jié)果又可以反饋給思維,得到檢驗,如此不斷循環(huán)往復(fù),思維層層攀升,把兒童代數(shù)思維的發(fā)展變得切實可行。
[ 參 考 文 獻 ]
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(責編 李琪琦)